趙 童， 袁海龍

(陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710021)

引言

種群模型的動力學(xué)行為是生物數(shù)學(xué)研究的一個重要內(nèi)容,并且受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,它在生態(tài)環(huán)境保護(hù)、治理與開發(fā)等方面有著重要的作用。在生態(tài)學(xué)中,捕食者與食餌之間的相互關(guān)系由于其普遍性和重要性而長期存在,并將成為生物數(shù)學(xué)中的重要主題。隨著研究的不斷深入和拓展,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)在自然社會中,很多現(xiàn)象的產(chǎn)生除了受當(dāng)前狀態(tài)的影響,還與過去的某個時刻或某個時間段的狀態(tài)密切相關(guān),這種現(xiàn)象稱為時滯現(xiàn)象。由于在捕食模型中,考慮時滯效應(yīng)可能會導(dǎo)致食餌或捕食者達(dá)到平衡狀態(tài)或最終導(dǎo)致其中一方滅絕,因此捕食模型的時滯研究已成為當(dāng)下學(xué)者關(guān)注的焦點和熱點,時滯微分方程也更為廣泛的應(yīng)用到生物數(shù)學(xué)等領(lǐng)域。近年來,越來越多的學(xué)者把時滯效應(yīng)引入到捕食—食餌模型中,并對其動力學(xué)行為進(jìn)行了全面的研究,得到了許多結(jié)果[1-8]。

Hopf分支是時滯微分動力學(xué)中一種常見的分支現(xiàn)象。該現(xiàn)象是指研究對象的參數(shù)在某一特定值微小范圍內(nèi)產(chǎn)生變化時,模型在經(jīng)過某些臨界值時某些性質(zhì)會發(fā)生改變,比如平衡狀態(tài)改變,周期穩(wěn)定性發(fā)生突變等,發(fā)生改變的相應(yīng)參數(shù)的臨界值被稱為分支值。Yi和Wei[9]研究了一類具有齊次Neumann邊界條件的捕食—食餌擴(kuò)散模型

(1)

其中,u(x,t)和v(x,t)分別代表食餌和捕食者在時間t>0和空間位置x時的密度,拉普拉斯算子Δ表示種群的自由擴(kuò)散效應(yīng),種群的棲息地Ω∈Rn(n≥1)是有界區(qū)域,ν是單位外法向量,d1,d2>0是物種的擴(kuò)散系數(shù),k是環(huán)境的承載能力,r代表捕食者的死亡率,m指兩個物種之間相互作用的強(qiáng)度。更多生物意義詳見[1，9-13]。文獻(xiàn)[9]以β為分支參數(shù),對模型(1)正常數(shù)平衡解的Hopf分支和穩(wěn)態(tài)分支進(jìn)行了分析,證明了在模型參數(shù)都是空間齊次的條件下多個空間非齊次周期解的存在性。

由于種群的成長期,當(dāng)前時刻的種群增長率總是與某個時刻之前的種群數(shù)量有關(guān)。這種由于成長期而導(dǎo)致的時滯現(xiàn)象在種群中普遍存在,因此Chen和Shi[1]考慮給捕食者加入時滯,則模型(1)變?yōu)?/p>

(2)

基于文獻(xiàn)[1]的研究,考慮到捕食者和食餌均具有成長期,因此本文在模型(2)中對捕食者u和食餌v同時引入時滯,從而獲得如下模型

(3)

(2)0

則模型(1)的正平衡解(β,vβ)是局部漸近穩(wěn)定的。本文在討論過程中發(fā)現(xiàn),若同時考慮給捕食者u和食餌v引入時滯參數(shù),只有在情況(1)下模型(3)的正常數(shù)平衡解(β,vβ)是局部漸近穩(wěn)定的,因此在本文中,只對情況(1)進(jìn)行討論。

本文的結(jié)構(gòu)如下,第二部分主要討論了模型(3)正常數(shù)平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性。第三部分討論了Hopf分支的方向和分支周期解的穩(wěn)定性。

1 平衡點的穩(wěn)定性和分支的存在性分析

本小節(jié)主要分析模型(3)的正平衡點(β,vβ)的穩(wěn)定性以及Hopf分支的存在性。定義

(4)

其中u=u(x,t),uτ=u(x,t-τ),v=v(x,t),vτ=v(x,t-τ)。模型(4)在抽象空間X=С([-τ,0],X)中具有如下形式的微分方程

其中dΔ=(d1Δ,d2Δ)。已知L:→X,F:→X,對于φ=(φ1,φ2)T∈X,有

其中,

模型(4)在(0,0)附近的線性化模型為

(5)

由文獻(xiàn)[14]可知,線性模型(5)的特征方程為:

λy-dΔy-L(eλ·y)=0,y∈dom(dΔ),y≠0,

(6)

將

代入方程(6)中,則有

因此,方程(6)的所有特征根由以下特征方程序列給出

Δn(λ,τ)=λ2+Anλ+(Bλ+Сn)e-λn+Dn=0,n=0,1,2,…,

(7)

其中,

當(dāng)τ=0時,方程(7)簡化為

λ2+(An+B)λ+Сn+Dn=0,n=0,1,2,…,

(8)

因此,當(dāng)條件H1成立時,若τ=0,則模型(3)的正平衡解E*=(β,vβ)是局部漸近穩(wěn)定的。

接下來,我們將討論時滯τ對模型(6)的正平衡解(β,vβ)穩(wěn)定性的影響。假設(shè)±iσ(σ>0)是特征方程(7)的一對純虛根,則有

-σ2+Anσi+(Bσi+Сn)e-τσi+Dn=0,

將上式的實部和虛部分離,于是

-σ2+Dn+Bσsinστ+Сncosστ=0,

(9)

Anσ+Bσcosστ-Сnsinστ=0。

(10)

對式(9)和式(10)分別平方后再相加可以得到

(11)

其中,

對于0

和

此外,根據(jù)式(9)和式(10),可以得到

因此,可以確定τ的表達(dá)式為

(12)

引理2.1若H1成立,則對于j=0,1,2,…,存在0

下面給出橫截條件。

證明：對模型(7)兩邊同時關(guān)于τ求導(dǎo),則有

則有,

經(jīng)過上述分析,我們可以得到下面結(jié)論。

定理2.1若條件H1滿足,則有

2 Hopf分支的方向和穩(wěn)定性

(13)

其中,

G(φ,μ)=μdΔφ(0)+μL0(φ)+(μ+τ0)F0(φ),

φ∈X=С([-1,0],X)。

模型(13)在(0,0)處的線性化模型是

(14)

由式(11)可知,±iσ0τ0是(14)的一對簡單的純虛特征值,其對應(yīng)的泛函微分方程為

(15)

顯然,L0(τ0)是映射С([-1,0],X)在X上的一個連續(xù)線性函數(shù)。根據(jù)Riesz表示定理,存在一個2×2的矩陣η(θ,μ)(θ∈[-1,0]),矩陣中的每個元素都是有界變差函數(shù)

事實上,我們有

η(θ,μ)=(τ0+μ)Eδ(θ)-(τ0+μ)Fδ(θ+1),

其中,

且對于δ(θ):[-1,0]→(X,X),有

若φ(θ)∈С1([-1,0],P2),則A(0)定義為

若ψ(s)∈С1([0,1],(P2)*),定義

A(0)和A*是雙線性形式下的伴隨算子

其中,ψ(s)∈С1([0,1],(P2)P*),φ(θ)∈С1([-1,0],P2)。

分別是特征值iσ0τ0和-iσ0τ0對應(yīng)的特征向量,其中

線性模型(14)的中心子空間由PCN給出,其中

其中,=PCNX⊕PSX,PSX是PCNX的互補(bǔ)子空間。

由文獻(xiàn)[14]知,線性模型(14)的無窮小生成元AU滿足

且ψ∈dom(AU)當(dāng)且僅當(dāng)

由于分支方向和穩(wěn)定性的計算都只與μ=0有關(guān),在模型(13)中設(shè)μ=0,則在穩(wěn)定子空間PS中可以確定一個中心

模型(13)在中心流形中的流可以寫為

其中,

(16)

將(16)記為

其中,

(17)

定義

將其泰勒展開,則有

其中,O(4)=O(‖(u,v)‖4)。

由G(φ,0)=τ0(G1,G2)T,可得

(18)

由式(17)和(18)得

通過鏈?zhǔn)椒▌t

我們有

(19)

對-1≤θ<0,

那么對于-1≤θ<0,我們有

由式(19)可得

當(dāng)θ=0時,由式(19)和定義的AU可得

且

E1=E11·E12,E2=E21·E22,

其中,

因此,可以確定g21的表達(dá)式。

基于上述分析,能計算出每個gij。于是,

其中,μ2確定Hopf分支方向,β2確定分支周期解在中心流形上的穩(wěn)定性,T2確定分支周期解的周期,由此我們可以確定分支周期解在臨界值τ0處的方向和穩(wěn)定性。

定理3.1對于模型(4),

(2)當(dāng)β2<0時,分支周期解是漸近穩(wěn)定,當(dāng)β2>0時,分支周期解是不穩(wěn)定的;

(3)當(dāng)T2>0時,周期是增大的,當(dāng)T2<0時,則周期是減少的。