張 四 保

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 喀什 844008)

0 引 言

φ2(φ6(m))=2ω(m),

(1)

其中ω(m)表示m的互異素因數(shù)個數(shù).

1 引 理

引理2[10]當m≥3時,φ(m)為偶數(shù).

引理3[11]當m≥3時,φ2(m)=φ(m)/2.

其中Ω(m)表示m的素因數(shù)個數(shù)(計重數(shù)).

2 主要結(jié)果

定理1方程(1)的所有正整數(shù)解為m=31,53,61,73,115,119,141,143,145,153,155,175,177,178,183,185,188,194,208,209,213,217,219,224,236,244,248,267,284,292,296,304,318,356,357,358,362,368,385,429,442,455,465,476,520,530,555,560,572,574,582,610,616,618,624,636,646,672,705,728,730,732,740,744,760,806,814,836,854,868,876,888,912,940,1 086,1 155,1 326,1 428,1 560,1 680,1 716,1 722,1 830,1 848,1 938,2 184,2 190,2 220,2 280,2 418,2 442,2 562.

情形1)α=0, 且qi≡5(mod 6), 1≤i≤k.

(2)

其中(2ω(m),n1)為2ω(m)和n1的最大公因數(shù).

當(2ω(m),n1)=1時, 由式(2)有φ(2ω(m)×n1)=2ω(m)-1φ(n1)=2ω(m)+1, 從而φ(n1)=4, 進而n1=5.于是有

(3)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(3)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(3)有解k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=29.此時方程(1)有解m=5×29=145.

當(2ω(m),n1)=2δ1,δ1≥1時, 令n1=2δ1γ1, (2,γ1)=1, 由式(2)有

2δ1×φ(γ1)=22.

(4)

當γ1=1時, 由式(4)有δ1=2, 從而n1=4, 進而有

(5)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(5)有解k=1,χ1=1,q1=53.此時方程(1)有解m=53； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(5)有解k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=23.此時方程(1)有解m=5×23=115.

(6)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(6)有解k=1,χ1=1,q1=11, 此時m=11.經(jīng)驗算m=11不是方程(1)的解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(6)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解.

φ(2k+1×n2)=2k+2.

(7)

顯然當n2=2時, 方程(1)無解, 從而n2≥3, 進而由式(7)有

(8)

其中(2k+1,n2)為2k+1和n2的最大公因數(shù).

當(2k+1,n2)=1時, 由式(8)有φ(2k+1×n2)=2kφ(n2)=2k+2, 即φ(n2)=4, 從而n2=5, 進而有

(9)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(9)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(9)有解k=1,χ1=1,q1=59.此時方程(1)有解m=3×59=177.當(2k+1,n2)=2δ2,δ2≥1時, 令n2=2δ2γ2, (2,γ2)=1, 則由式(8)有

2δ2φ(γ2)=22.

(10)

當γ2=1時, 由式(10)有δ2=2, 從而n2=4, 進而有

(11)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(11)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(11)有解k=1,χ1=1,q1=47.此時方程(1)有解m=3×47=141.

當γ2≥3為奇數(shù)時, 令φ(γ2)=2t2.由式(10)有δ2=1,t2=1, 從而γ2=3, 則n2=6, 進而有

(12)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(12)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(12)有解k=1,χ1=1,q1=71.此時方程(1)有解m=3×71=213.

(13)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(13)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(13)有解k=1,χ1=1,q1=5, 則有m=3×5=15.經(jīng)驗算m=15不是方程(1)的解.

(14)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(14)有解k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=47, 此時方程(1)有解m=3×5×47=705； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(14)有解k=1,χ1=1,q1=89, 此時方程(1)有解m=3×89=267.

情形2)α=1, 且qi≡5(mod 6), 1≤i≤k.

(15)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(15)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(15)有解k=1,χ1=1,q1=11, 則有m=2×11=22, 經(jīng)驗算m=22不是方程(1)的解.從而n3≥2, 進而2kn3≥4.再結(jié)合引理3, 有

φ(2k×n3)=2k+2.

(16)

顯然當n3=2時, 方程(1)無解, 則n3≥3.從而由式(16)有

(17)

其中(2k,n3)為2k和n3的最大公因數(shù).

當(2k,n3)=1時, 由式(17)有φ(2k×n3)=2k-1φ(n3)=2k+2, 即φ(n3)=8, 從而n3=15, 進而有

(18)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(18)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(18)有解k=1,χ1=1,q1=179.此時方程(1)有解m=2×179=358.

(19)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(19)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(19)有解k=1,χ1=1,q1=5, 從而m=2×5=10.經(jīng)驗算m=10不是方程(1)的解.

(20)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(20)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解; 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(20)有解k=1,χ1=1,q1=89.此時方程(1)有解m=2×89=178.

(21)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(21)有解k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=53, 此時方程(1)有解m=2×5×53=530； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 結(jié)合k≥2可知式(21)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解.

(22)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(22)有解k=1,χ1=1,q1=5.從而m=2×3×5=30, 經(jīng)驗算m=30不是方程(1)的解； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(22)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解.

(23)

此時無論Ω(m)為奇數(shù)還是偶數(shù), 式(23)均無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解.

情形3)α≥2, 且qi≡5(mod 6), 1≤i≤k.

φ(2k+1×n5)=2k+2.

(24)

顯然當n5=1,2時, 方程(1)無解, 從而n5≥3, 進而由式(24)有

(25)

其中(2k+1,n5)為2k+1和n5的最大公因數(shù).

當(2k+1,n5)=1時, 由式(25)有φ(2k+1×n5)=2kφ(n5)=2k+2, 即φ(n5)=4, 從而n5=5, 進而有

(26)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(26)有解k=1,χ1=1,q1=59, 此時方程(1)有解m=22×59=236； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(26)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解.

當(2k+1,n5)=2δ4,δ4≥1時, 令n5=2δ4γ4, (2,γ4)=1.由式(25)有2k+δ4φ(γ4)=2k+2, 即有φ(γ4)=22-δ4, 從而δ4=1,2.當δ4=2時, 有φ(γ4)=1, 則n5=4, 從而有

(27)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(27)有解k=1,χ1=1,q1=47, 此時方程(1)有解m=22×47=188； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(27)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解.當δ4=1時, 有φ(γ4)=2, 則n5=6, 從而有

(28)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(28)有解k=1,χ1=1,q1=71.此時方程(1)有解m=22×71=284； 當Ω(m)為偶數(shù)時, 式(28)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解.

(29)

當Ω(m)為奇數(shù)時, 式(29)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解； 當Ω(m)為偶數(shù),α=2時, 結(jié)合Ω(m)為偶數(shù)可知式(29)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解; 當Ω(m)為偶數(shù),α=3時, 式(29)無滿足qi≡5(mod 6), (qi,6)=1的奇素數(shù)解; 當Ω(m)為偶數(shù),α≥4時, 式(29)不成立.

情形4) 當m為其他情形時, 可分m為奇數(shù)與m為偶數(shù)2種情形.

φ(2k×n6)=2k+1.

(30)

顯然當n6=2時, 方程(1)無解, 從而n6≥3, 進而由式(30)有

(31)

其中(2k,n6)為2k和n6的最大公因數(shù).

當(2k,n6)=1時, 由式(31)有φ(2k×n6)=φ(2k)φ(n6)=2k-1φ(n6)=2k+1, 從而φ(n6)=4, 進而n6=5, 于是有

(32)

式(32)解的情形如下: 當k=1,χ1=1,q1=61時， 方程(1)有解m=61； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=31時， 方程(1)有解m=5×31=155； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=61時， 方程(1)有解m=3×61=183； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=11,q2=13時， 方程(1)有解m=11×13=143； 當k=2,χ1=2,χ2=1,q1=5,q2=7時， 方程(1)有解m=52×7=175； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=5,q3=31時， 方程(1)有解m=3×5×31=465； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=11,q3=13時， 方程(1)有解m=3×11×13=429； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=5,q2=7,q3=11時， 方程(1)有解m=5×7×11=385； 當k=4,χ1=χ2=χ3=χ4=1,q1=3,q2=5,q3=7,q4=11時， 方程(1)有解m=3×5×7×11=1 155.

當(2k,n6)=2δ5,δ5≥1時, 令n6=2δ5γ5, (2,γ5)=1， 則由式(31)有

即φ(γ5)=22-δ5, 從而δ5=1,2.

當δ5=2, 有φ(γ5)=1, 則n6=4, 從而有

(33)

式(33)解的情形如下： 當k=2,χ1=χ2=1,q1=7,q2=17時， 方程(1)有解m=7×17=119； 當k=2,χ1=2,χ2=1,q1=3,q2=17時， 方程(1)有解m=32×17=153； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=7,q3=17時， 方程(1)有解m=3×7×17=357.

當δ5=1時, 有φ(γ5)=2, 則n6=6, 從而有

(34)

式(34)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=73時， 方程(1)有解m=73； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=73時， 方程(1)有解m=3×73=219； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=37時， 方程(1)有解m=5×37=185； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=5,q3=37時， 方程(1)有解m=3×5×37=555； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=5,q2=7,q3=13時， 方程(1)有解m=5×7×13=455.

(35)

式(35)解的情形如下： 當k=2,χ1=χ2=1,q1=11,q2=19時， 方程(1)有解m=11×19=209； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=7,q2=31時， 方程(1)有解m=7×31=217.

(36)

當n7≥2時, 由方程(1)有φ(2α+k-1×n7)=2k+2, 從而

(37)

其中(2α+k-1,n7)為2α+k-1和n7的最大公因數(shù).

當(2α+k-1,n7)=1時, 由式(37)有φ(2α+k-1)φ(n7)=2k+2, 從而有φ(n7)=24-α, 進而α=1,2,3,4.

當α=1時, 有φ(n7)=23, 則n7=15, 從而有

(38)

式(38)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=181時， 方程(1)有解m=2×181=362； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=181時， 方程(1)有解m=2×3×181=1 086； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=7,q2=61時， 方程(1)有解m=2×7×61=854； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=11,q2=37時， 方程(1)有解m=2×11×37=814; 當k=2,χ1=χ2=1,q1=13,q2=31時， 方程(1)有解m=2×13×31=806； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=7,q3=61時， 方程(1)有解m=2×3×7×61=2 562； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=11,q3=37時， 方程(1)有解m=2×3×11×37=2 442； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=13,q3=31時， 方程(1)有解m=2×3×13×31=2 418.

當α=2時, 有φ(n7)=22, 則n7=5, 從而有

(39)

式(39)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=61時， 方程(1)有解m=22×61=244； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=61時， 方程(1)有解m=22×3×61=732； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=11,q2=13時， 方程(1)有解m=22×11×13=572； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=11,q3=13時， 方程(1)有解m=22×3×11×13=1 716.

當α=3時, 有φ(n7)=2, 則n7=3, 從而有

(40)

式(40)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=37時， 方程(1)有解m=23×37=296； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=37時， 方程(1)有解m=23×3×37=888； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=19時， 方程(1)有解m=23×5×19=760； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=7,q2=13時， 方程(1)有解m=23×7×13=728； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=5,q3=19時， 方程(1)有解m=23×3×5×19=2 280； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=7,q3=13時， 方程(1)有解m=23×3×7×13=2 184.

當α=4時, 有φ(n7)=1, 則n7=1, 從而有

(41)

式(41)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=13時， 方程(1)有解m=24×13=208； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=13時， 方程(1)有解m=24×3×13=624； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=7時， 方程(1)有解m=24×5×7=560； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=5,q3=7時， 方程(1)有解m=24×3×5×7=1 680.

當(2α+k-1,n7)=2δ6,δ6≥1時, 令n7=2δ6γ6, (2,γ6)=1, 則有φ(γ6)=24-α-δ6, 從而有α+δ6=2,3,4.

當α+δ6=2時, 有α=δ6=1, 且φ(γ6)=22, 從而γ6=5, 則n7=10, 進而有

(42)

式(42)解的情形如下： 當k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=61時， 方程(1)有解m=2×5×61=610； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=7,q2=41時， 方程(1)有解m=2×7×41=574； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=5,q3=61時， 方程(1)有解m=2×3×5×61=1 830； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=7,q3=41時， 方程(1)有解m=2×3×7×41=1 722.

當α+δ6=3時, 有α=1,δ6=2或α=2,δ6=1.當α=1,δ6=2時, 有φ(γ6)=2, 從而γ6=3, 則n7=12, 進而有

(43)

式(43)解的情形如下： 當k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=73時， 方程(1)有解m=2×5×73=730； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=17,q2=19時， 方程(1)有解m=2×17×19=646； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=5,q3=73時， 方程(1)有解m=2×3×5×73=2 190； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=17,q3=19時， 方程(1)有解m=2×3×17×19=1 938.

當α=2,δ6=1時, 有φ(γ6)=2, 從而γ6=3, 則n7=6, 進而有

(44)

式(44)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=73時， 方程(1)有解m=22×73=292； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=73時， 方程(1)有解m=22×3×73=876； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=37時， 方程(1)有解m=22×5×37=740； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=5,q3=37時， 方程(1)有解m=22×3×5×37=2 220.

當α+δ6=4時, 有α=1,δ6=3或α=2,δ6=2或α=3,δ6=1.當α=1,δ6=3時, 有φ(γ6)=1, 從而γ6=1, 則n7=8, 進而有

(45)

式(45)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=97時， 方程(1)有解m=2×97=194； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=97時， 方程(1)有解m=2×3×97=582； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=13,q2=17時， 方程(1)有解m=2×13×17=442； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=13,q3=17時， 方程(1)有解m=2×3×13×17=1 326.

當α=2,δ6=2時, 有φ(γ6)=1, 從而γ6=1， 則n7=4, 進而有

(46)

式(46)解的情形如下： 當k=2,χ1=χ2=1,q1=7,q2=17時， 方程(1)有解m=22×7×17=476； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=7,q3=17時， 方程(1)有解m=22×3×7×17=1 428.

當α=3,δ6=1時, 有φ(γ6)=1, 從而γ6=1, 則n7=2, 進而有

(47)

式(47)解的情形如下： 當k=2,χ1=χ2=1,q1=5,q2=13時， 方程(1)有解m=23×5×13=520； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=5,q3=13時， 方程(1)有解m=23×3×5×13=1 560.

(48)

式(48)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=7時， 有φ2(2α+k-2)=φ2(2α-1)=22, 則α=5, 此時方程(1)有解m=25×7=224； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=7時, 有φ2(2α+k-2)=φ2(2α-1)=22, 則α=5, 此時方程(1)有解m=25×3×7=672.

(49)

式(49)解的情形如下： 當k=2,χ1=χ2=1,q1=7,q2=31時， 方程(1)有解m=22×7×31=868； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=11,q2=19時， 方程(1)有解m=22×11×19=836.

(50)

式(50)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=31時， 方程(1)有解m=23×31=248； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=31時， 方程(1)有解m=23×3×31=744； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=7,q2=11時， 方程(1)有解m=23×7×11=616； 當k=3,χ1=χ2=χ3=1,q1=3,q2=7,q3=11時， 方程(1)有解m=23×3×7×11=1 848.

(51)

式(51)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=19時， 方程(1)有解m=24×19=304； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=19時， 方程(1)有解m=24×3×19=912.

(52)

式(52)解的情形如下： 當k=1,χ1=1,q1=7時， 方程(1)有解m=25×7=224； 當k=2,χ1=χ2=1,q1=3,q2=7時， 方程(1)有解m=25×3×7=672.

綜上各情形的討論, 可得定理1.