徐懷安，林松，江競(jìng)宇

基于五桿支鏈性能優(yōu)化和配置的并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)方法研究

徐懷安，林松*，江競(jìng)宇

（同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

隨著運(yùn)動(dòng)任務(wù)要求的多樣化和復(fù)雜化，傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)方法的不透明性和動(dòng)平臺(tái)的不變性，導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)偏差且柔性化程度較低。因此提出一種基于五桿支鏈性能優(yōu)化和配置的并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)方法。首先利用解析和幾何法結(jié)合，完成五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析和奇異性分析，根據(jù)相關(guān)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)完成支鏈五桿的尺度綜合。之后，提出平面幾何投影法將要求工作空間投影到支鏈五桿的最佳工作區(qū)，綜合考慮工作空間及運(yùn)動(dòng)性能的需求，實(shí)現(xiàn)了并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和配置，提高了設(shè)計(jì)透明度。

并聯(lián)機(jī)器人；支鏈五桿機(jī)構(gòu)；尺度綜合；工作空間投影

并聯(lián)機(jī)器人是由若干個(gè)運(yùn)動(dòng)支鏈連接動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)組成的，一般具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的自由度[1]，如Stewart平臺(tái)[2]、Delta機(jī)器人[3]、H4機(jī)器人[4]等。隨著應(yīng)用和研究的不斷深入，并聯(lián)機(jī)器人也出現(xiàn)了諸多問題。在支鏈設(shè)計(jì)方面，現(xiàn)有并聯(lián)機(jī)器人多采用若干相同的開鏈結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致支鏈運(yùn)動(dòng)性能和力學(xué)性能較差，因此在支鏈機(jī)構(gòu)中引入閉環(huán)結(jié)構(gòu)成為提高并聯(lián)機(jī)器人性能的主要方法。劉辛軍等[5]分析了3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在某些位形會(huì)出現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)自由度增加的狀況，采用四桿閉環(huán)子鏈代替UU運(yùn)動(dòng)副，實(shí)現(xiàn)了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)傳遞的有效性。Gosselin[6]利用三條含平面五桿機(jī)構(gòu)的支鏈設(shè)計(jì)了一種并聯(lián)機(jī)器人，實(shí)現(xiàn)了六自由度的調(diào)整。葉偉[7]將閉環(huán)五桿機(jī)構(gòu)作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的子鏈，實(shí)現(xiàn)了不同的可重構(gòu)運(yùn)動(dòng)方案?？梢?，五桿機(jī)構(gòu)已經(jīng)作為支鏈應(yīng)用到并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)中，但目前對(duì)于五桿機(jī)構(gòu)作為獨(dú)立支鏈的運(yùn)動(dòng)性能研究系統(tǒng)性不足，缺乏對(duì)五桿機(jī)構(gòu)最佳工作區(qū)的研究分析。

在工作空間分析上，常用的方法有幾何法和解析法[1]兩大類。Arrouk等[9]利用CAD幾何軟件求解平面并聯(lián)機(jī)器人的工作空間，避免了復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算過程。李旭等[10]基于蒙特卡洛離散的方法求解了3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。但以上方法都是基于確定的并聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型分析工作空間的大小，缺少針對(duì)目標(biāo)工作空間需求完成并聯(lián)機(jī)器人尺度綜合的正向設(shè)計(jì)方法，導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果不透明，甚至出現(xiàn)設(shè)計(jì)結(jié)果不滿足要求的情況。

針對(duì)以上問題，本文通過建立平面五桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，基于奇異性分析和性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，完成對(duì)支鏈五桿機(jī)構(gòu)的尺度綜合，實(shí)現(xiàn)性能最優(yōu)的支鏈五桿設(shè)計(jì)?；诠ぷ骺臻g需求進(jìn)行并聯(lián)機(jī)器人的正向設(shè)計(jì)，提出平面幾何投影法將三維工作空間轉(zhuǎn)換到平面五桿支鏈的最佳工作區(qū)，計(jì)算支鏈尺度是否滿足工作空間要求，并明確支鏈的配置范圍，設(shè)計(jì)出具有可變動(dòng)平臺(tái)的并聯(lián)機(jī)器人。

1 面向性能最優(yōu)的支鏈五桿設(shè)計(jì)

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

五桿機(jī)構(gòu)如圖1所示，建立坐標(biāo)系，5為機(jī)架桿，1和4為輸入桿，2和6為輸出桿，3為連桿，其中2＝，6＝，l為虛擬桿。點(diǎn)為6末端參考點(diǎn)，1～5分別為桿件1～5與軸正方向的逆時(shí)針夾角，其中5＝0。

圖1 五桿機(jī)構(gòu)示意圖

對(duì)于五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，由閉環(huán)矢量法建立關(guān)于點(diǎn)的投影方程為：

由式（1）可得：

則點(diǎn)位置為：

1.2 奇異性分析

機(jī)構(gòu)奇異性是指當(dāng)機(jī)構(gòu)達(dá)到奇異位置時(shí)，導(dǎo)致末端無法驅(qū)動(dòng)或處于運(yùn)動(dòng)不確定的狀態(tài)。機(jī)構(gòu)的奇異性判斷一般是基于雅克比矩陣確定，對(duì)式（1）求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得：

式中：為雅克比矩陣；det()為的行列式值。

式（5）表明雅克比矩陣行列式值是關(guān)于各角度參數(shù)的函數(shù)。?。?1,0,1，則針對(duì)圖1五桿機(jī)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)兩種情況：

（1）當(dāng)1＝2＋π或4＝3＋π時(shí)，det()＝0，此時(shí)只有當(dāng)1和4的驅(qū)動(dòng)速度無窮大才能在末端輸出有限的速度，機(jī)構(gòu)末端達(dá)到工作空間的邊界，稱為邊界奇異；

與此同時(shí)，積極融入云南“一核一圈兩廊三帶六群”的區(qū)域發(fā)展，推進(jìn)物流基地規(guī)劃和配套建設(shè)，有效發(fā)揮鐵路物流基地的集聚效應(yīng)和輻射帶動(dòng)作用，服務(wù)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展和產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)。

（2）當(dāng)2＝3＋π時(shí)，det()＝∞，此時(shí)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不確定，機(jī)構(gòu)末端在工作空間內(nèi)部，稱為內(nèi)部奇異。

1.3 平面五桿機(jī)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

考慮到全局運(yùn)動(dòng)傳遞性能，文獻(xiàn)[12]提出：

考慮機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)出現(xiàn)變形，根據(jù)求出剛度矩陣＝(T)-1，得到：

此時(shí)定義：

式中：為全域剛度性能平均水平指標(biāo)。

在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，提高安裝空間利用率是實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)性的重要指標(biāo)，因此針對(duì)圖1機(jī)構(gòu)定義：

1.4 基于APSO算法的尺度綜合

在設(shè)計(jì)時(shí)，需要根據(jù)最優(yōu)的綜合性能評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行機(jī)構(gòu)尺度優(yōu)化，選擇自適應(yīng)粒子群優(yōu)化（Adaptive Particle Swarm Optimization，APSO）算法。APSO算法引入了自適應(yīng)權(quán)重因子，能夠增強(qiáng)粒子群算法的全局搜索能力，避免陷入局部最優(yōu)[13]。

為了實(shí)現(xiàn)五桿支鏈的模塊化設(shè)計(jì)，對(duì)圖1機(jī)構(gòu)尺寸進(jìn)行歸一化處理，使得5＝1、6＝5、1＝3、2＝4。根據(jù)設(shè)計(jì)要求[14]和性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)：

將該目標(biāo)函數(shù)模型利用APSO算法實(shí)現(xiàn)，迭代100次，得到最優(yōu)結(jié)果如圖2所示，可以看出，指標(biāo)、、、都得到了優(yōu)化。經(jīng)過20代之后，設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)值趨于穩(wěn)定，尋到最優(yōu)結(jié)果，即＝(3.61, 1.47)。

2 面向工作空間的并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)

基于對(duì)五桿機(jī)構(gòu)的性能優(yōu)化，可以配置若干對(duì)稱或非對(duì)稱的支鏈構(gòu)成并聯(lián)機(jī)器人，并聯(lián)機(jī)器人的工作空間就是支鏈工作空間的交集。但由于并聯(lián)機(jī)器人正向尺度設(shè)計(jì)方法的缺少，需要建立一種基于工作空間需求進(jìn)行含可變動(dòng)平臺(tái)的并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)方法，在設(shè)計(jì)并聯(lián)機(jī)器人之初就考慮所需工作空間的要求。

圖2 五桿尺寸比例優(yōu)化結(jié)果

2.1 支鏈五桿機(jī)構(gòu)的工作空間

假設(shè)所需工作空間0為200 mm×200 mm×200 mm，首先分析五桿支鏈的工作空間，根據(jù)0大小和尺度綜合的結(jié)果，選擇五桿尺寸1＝3＝361 mm、2＝4＝147 mm、5＝100 mm、6＝500 mm，建立圖3（a）所示的坐標(biāo)系和五桿機(jī)構(gòu)。根據(jù)并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)要求，選擇1和4的輸入范圍為[π, 2π]，步長都為1°，采用均勻離散的方法遍歷1和4的取值范圍，保證避免并遠(yuǎn)離奇異位置，得到五桿機(jī)構(gòu)非奇異工作空間。根據(jù)運(yùn)動(dòng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，在非奇異工作空間內(nèi)計(jì)算所有點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)，確定支鏈五桿最佳工作區(qū)，即圖3（b）白色線條包絡(luò)區(qū)域。

2.2 基于平面投影的工作空間分析

針對(duì)由五桿支鏈組成的并聯(lián)機(jī)器人，提出一種基于平面投影的工作空間分析方法，該并聯(lián)機(jī)器人如圖4所示。

圖3 支鏈五桿機(jī)構(gòu)及其工作空間

圖4 可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)模型

矩形體為所要求工作空間0，動(dòng)平臺(tái)位于工作空間內(nèi)，各支鏈在未抓取動(dòng)平臺(tái)之前相互獨(dú)立，支鏈11為2.1節(jié)所選擇的五桿機(jī)構(gòu)，與靜平臺(tái)通過轉(zhuǎn)動(dòng)副1連接，1軸線和靜平臺(tái)垂直，1為支鏈11所在平面。該結(jié)構(gòu)中，支鏈可以繞轉(zhuǎn)動(dòng)副旋轉(zhuǎn)一周形成三維空間，并聯(lián)機(jī)器人的工作空間便是支鏈三維空間的交集。平面幾何投影方法即根據(jù)不同任務(wù)的工作空間要求，通過工作空間極限位置的平面投影，以支鏈五桿機(jī)構(gòu)的最佳工作區(qū)域確定尺度是否滿足需求，并明確支鏈機(jī)架安裝范圍。

如圖5所示，將整個(gè)機(jī)構(gòu)在平面上投影，為并聯(lián)機(jī)器人原點(diǎn)，1點(diǎn)為支鏈機(jī)架點(diǎn)，矩形為工作空間投影。顯然，1為矩形相對(duì)支鏈機(jī)架點(diǎn)1的最遠(yuǎn)極限位置；1為矩形相對(duì)支鏈機(jī)架點(diǎn)1的最近極限位置。依據(jù)圓弧投影法，將工作空間極限點(diǎn)1、1往平面1上進(jìn)行圓弧投影，即以1為圓心、11為半徑作圓，得到投影點(diǎn)2；以1為圓心、11為半徑作圓，得到投影點(diǎn)2。計(jì)算投影點(diǎn)2、2和支鏈最佳工作區(qū)的關(guān)系，就可確定支鏈尺度是否滿足要求且保證最佳運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖5 并聯(lián)機(jī)器人xOy幾何投影

在圖5中，建立基坐標(biāo)系，根據(jù)給定工作空間要求，確定極限位置坐標(biāo)1＝(-100, 100, -400)、1＝(100, -100, -400 )、1＝(1,1, 0)。根據(jù)幾何投影關(guān)系，在投影面上，得：

將極限投影位置轉(zhuǎn)換到五桿機(jī)構(gòu)中分析，可以在最佳工作區(qū)尋到最大矩形，即圖6中的，坐標(biāo)為：(160, -440)、(500, -440)、(500, -680)、(160, -680)。

圖6 支鏈五桿機(jī)構(gòu)非奇異工作空間

確定支鏈五桿機(jī)構(gòu)的最大矩形后，將點(diǎn)、點(diǎn)投影到平面得到2、2，如圖7（a）所示。

支鏈機(jī)架需滿足12＜12且12＞12，可見圖7（a）支鏈機(jī)架位置并不滿足條件，因此需調(diào)整1的位置。根據(jù)幾何投影關(guān)系，機(jī)架安裝范圍具有兩個(gè)極限位置，即2和2重合，1＝304 mm，如圖7（b）；2和2重合，1＝351 mm，如圖7（c）所示。因此，可以確定支鏈機(jī)架點(diǎn)安裝位置在以為圓心、半徑分別為304 mm和351 mm的圓環(huán)內(nèi)。

圖7 五桿支鏈機(jī)架安裝位置范圍

基于對(duì)單支鏈五桿機(jī)構(gòu)工作空間的分析和平面幾何投影法，可以根據(jù)工作空間要求尋找支鏈的最佳工作區(qū)，實(shí)現(xiàn)多支鏈的、含可變動(dòng)平臺(tái)的并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)。假定以三支鏈并聯(lián)機(jī)器人為例，按照所選擇機(jī)構(gòu)的尺寸關(guān)系，建立整個(gè)并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)，如圖8所示。圓1和圓2形成的圓環(huán)即為支鏈可配置范圍，運(yùn)動(dòng)過程中，可以根據(jù)可變動(dòng)平臺(tái)的位置和運(yùn)動(dòng)要求合理配置支鏈位置。

圖8 三支鏈并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)

3 結(jié)論

本文通過解析和幾何結(jié)合的方法完成了支鏈五桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和奇異性分析，綜合出了支鏈五桿機(jī)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。利用APSO算法，得到了具有最優(yōu)性能的支鏈五桿尺度比例，為實(shí)現(xiàn)模塊化支鏈提供了依據(jù)。

利用性能最優(yōu)的五桿支鏈，針對(duì)不同的工作空間要求，提出了基于極限位置平面投影的工作空間分析方法，將并聯(lián)機(jī)器人工作空間與支鏈五桿最佳工作區(qū)相聯(lián)系，簡化了三維空間分析過程，把工作空間作為設(shè)計(jì)要素納入并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)之中，提高了并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)的有效性和透明度。同時(shí)，可以組合不同支鏈構(gòu)型應(yīng)對(duì)復(fù)雜的工作空間要求，有利于實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)器人的可重構(gòu)設(shè)計(jì)。

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Research on Parallel Robot Design Methods Based on the Performance Optimization and Configuration of Five-Bar Chains

XU Huaian，LIN Song，JIANG Jingyu

( School of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 201804,China)

With the diversification and complexity of motion requirements, the opaqueness of traditional parallel robot design methods and the invariance of the moving platform lead to deviations in design results and a low degree of flexibility. This paper therefore proposes a parallel robot design method based on the optimisation and configuration of the performance of a five-bar chain. Firstly, the analysis of the motion and singularity of the planar five-bar mechanism was completed using a combination of analytical and geometric methods. The scale synthesis of the five rods of the branch chain was completed according to the relevant performance evaluation indicators. Then, the planar geometric projection method is proposed to project the parallel robot workspace to the optimal working area of the planar five-bar mechanism. The design and configuration of the parallel robot is completed taking into account the requirements of the workspace and the motion performance, which improves the transparency of the design.

parallel robots；pivot chain five-bar mechanism；scale synthesis；workspace projection

TH112

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2022.05.009

1006-0316 (2022) 05-0055-06

2022-01-18

徐懷安（1997－），男，山東聊城人，碩士，主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)，E-mail：17853141235@163.com。*

林松（1957－），男，四川廣元人，工學(xué)博士（德），主要研究方向?yàn)楫a(chǎn)品研發(fā)方法及其智能設(shè)計(jì)、虛擬產(chǎn)品生產(chǎn)及其數(shù)字孿生、智能裝置及其人機(jī)協(xié)調(diào)、技術(shù)系統(tǒng)可靠性及其安全設(shè)計(jì)，E-mail：slin@#edu.cn。