顧珺博

［摘 ?要］ 文章通過(guò)理論研究并結(jié)合自身工作經(jīng)驗(yàn)，論述了幾何概念教學(xué)的基本路徑，即聯(lián)系學(xué)生生活，構(gòu)建概念模型；在操作活動(dòng)中，引發(fā)深度思考；在辨析比較中，感悟概念內(nèi)涵；在概念強(qiáng)化中，促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)。

［關(guān)鍵詞］ 幾何概念；操作活動(dòng)；小學(xué)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)概念是客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映。幾何概念是小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的重要內(nèi)容，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的空間觀念具有重要意義。幾何概念作為幾何的基礎(chǔ)知識(shí)， 是學(xué)生解決問(wèn)題、形成技能的重要基礎(chǔ)。然而，幾何概念具有較強(qiáng)的抽象性，小學(xué)生以形象思維為主，這就意味著學(xué)生在認(rèn)知和理解幾何概念的過(guò)程中必然要面臨不小的挑戰(zhàn)。筆者通過(guò)理論研究并結(jié)合自身工作經(jīng)驗(yàn)，論述了幾何概念教學(xué)的基本路徑，期望對(duì)廣大教育同人有所借鑒和參考。

一、聯(lián)系學(xué)生生活，構(gòu)建概念模型

小學(xué)生對(duì)于抽象數(shù)學(xué)概念的理解，往往是從現(xiàn)實(shí)生活中的具體事物開(kāi)始的。因此，在幾何概念教學(xué)中，教師要基于學(xué)生在日常生活中所認(rèn)知的事物，積極尋找?guī)缀胃拍畹摹吧钤汀?，激活學(xué)生豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，以幫助學(xué)生構(gòu)建幾何概念的數(shù)學(xué)模型。

比如，“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”教學(xué)節(jié)選。

（教師拿出一張A4紙）

師：我們可以把A4紙看成什么圖形？

生：長(zhǎng)方形。

師：對(duì)。這張紙很薄，如果我們只看其中的一個(gè)面，而不考慮它的厚度，我們可以把這張紙看成一個(gè)長(zhǎng)方形。現(xiàn)在，老師把20張紙疊加到一起，它變成了什么形狀呢？

生1：長(zhǎng)方體。

師：生活中有很多物體都是長(zhǎng)方體，你能展示收集到的長(zhǎng)方體嗎？

生2：我找到了一個(gè)牙膏盒，它就是個(gè)長(zhǎng)方體。

生3：我的鉛筆盒也是一個(gè)長(zhǎng)方體。

生4：我的漢語(yǔ)字典也是一個(gè)長(zhǎng)方體。

……

師：如果我們不考慮這些物體的顏色和材質(zhì)，只保留它們的形狀和大小，那么它們就可以稱之為長(zhǎng)方體。

“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體”是學(xué)生首次學(xué)習(xí)立體圖形，從平面圖形過(guò)渡到立體圖形，是學(xué)生認(rèn)知上的重大飛躍。教師從一張A4紙說(shuō)起，通過(guò)不斷疊加A4紙，使學(xué)生完成從長(zhǎng)方形到長(zhǎng)方體的認(rèn)知轉(zhuǎn)變，真正將數(shù)學(xué)知識(shí)“建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上”。其次，學(xué)生在生活中會(huì)接觸到各種各樣的長(zhǎng)方體，這些生活經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。教師充分利用這一點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生收集、展示生活中的長(zhǎng)方體，這就打通了現(xiàn)實(shí)生活與幾何概念的溝通和聯(lián)系， 通過(guò)生活中的具體事物幫助學(xué)生建構(gòu)長(zhǎng)方體的幾何模型。

二、在操作活動(dòng)中，引發(fā)深度思考

操作活動(dòng)是學(xué)生智力發(fā)展的源泉。幾何概念具有很強(qiáng)的抽象性，這就決定了學(xué)生認(rèn)知幾何概念的過(guò)程是一個(gè)主動(dòng)、復(fù)雜的思維過(guò)程。因此，教師不能簡(jiǎn)單地采取“拿來(lái)主義”，將課本上的概念原封不動(dòng)地灌輸給學(xué)生，而應(yīng)利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)提煉幾何概念，抑或讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)理解數(shù)學(xué)概念。

比如，在講到“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，為了使學(xué)生深刻理解圓的本質(zhì)，教師設(shè)計(jì)了具有鮮明層次性的操作活動(dòng)：

操作活動(dòng)1：教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用瓶蓋和硬幣等生活中的實(shí)物讓學(xué)生畫圓，并讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)圓是怎樣的一種圖形。

操作活動(dòng)2：教師讓學(xué)生用圓規(guī)畫圓，并說(shuō)一說(shuō)圓規(guī)畫圓的操作要領(lǐng)，再次總結(jié)圓的特點(diǎn)。

操作活動(dòng)3：教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用小圖釘、棉線和筆這三個(gè)小工具畫圓，畫完后再次總結(jié)圓的特征。

操作活動(dòng)1盡管材料很直觀生動(dòng)，但是學(xué)生畫完圓后對(duì)圓的認(rèn)識(shí)僅僅停留在外在特征的感知，不能把握?qǐng)A的本質(zhì)特征；操作活動(dòng)2能夠揭示圓“一中同長(zhǎng)”的本質(zhì)特征，但是圓規(guī)作為一種畫圖工具，圓的本質(zhì)是隱藏的、含蓄的，學(xué)生并不容易感受到；操作活動(dòng)3的材料看上去“簡(jiǎn)陋”些，但是它生動(dòng)地還原了圓規(guī)畫圓的基本原理，將圓的本質(zhì)特征直觀生動(dòng)地展現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生看得見(jiàn)、摸得著，對(duì)圓的理解自然就更加深刻了。

教學(xué)中，為了引導(dǎo)學(xué)生理解圓“一中同長(zhǎng)”的本質(zhì)，教師安排了層層遞進(jìn)的操作活動(dòng)，圓的本質(zhì)屬性在動(dòng)手操作和動(dòng)腦思考中逐漸顯露出來(lái)，從而起到了化抽象為具體的教學(xué)功效，也使學(xué)生對(duì)圓的本質(zhì)理解變得水到渠成。

三、在辨析比較中，感悟概念內(nèi)涵

教育家烏申斯基說(shuō)：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教材中，考慮到小學(xué)生認(rèn)知水平的局限性，教材對(duì)幾何概念的定義往往是建立在實(shí)物或者直觀圖示的基礎(chǔ)上，這雖然有利于學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握，但是也容易讓學(xué)生把教材中出示的圖形作為幾何概念的唯一解釋，從而形成對(duì)幾何概念理解的思維定式。這個(gè)時(shí)候，教師要把正面揭示概念本質(zhì)和變式材料相結(jié)合，不斷改變幾何概念的表現(xiàn)形式，使其非本質(zhì)屬性時(shí)有時(shí)無(wú)，而本質(zhì)屬性卻保持恒定，從而引導(dǎo)學(xué)生在辨析和對(duì)比中厘清概念的內(nèi)涵和外延。

比如，在講到“認(rèn)識(shí)梯形”時(shí)，教材中明確指出“只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫梯形”，但是部分學(xué)生仍然將圖1作為心目中標(biāo)準(zhǔn)的梯形。教師為學(xué)生出示圖2，讓學(xué)生判斷這些圖形是否是梯形。這個(gè)時(shí)候，有的學(xué)生錯(cuò)誤地判斷這些圖形不是梯形，究其原因就是學(xué)生將梯形的非本質(zhì)屬性（比如兩條平行線的長(zhǎng)短和位置、兩腰相等、有兩個(gè)角是直角等）當(dāng)成了本質(zhì)屬性。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)梯形的概念展開(kāi)辨析，就能使學(xué)生對(duì)梯形概念的理解更加精準(zhǔn)。

又如，在講到“認(rèn)識(shí)梯形的高”時(shí)，教師首先為學(xué)生出示梯形的高，然后通過(guò)多媒體對(duì)梯形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換（如圖3），讓學(xué)生判斷虛線是否仍然是這條底上的高。在學(xué)生做出肯定的回答后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，這條虛線仍然是這條底所對(duì)應(yīng)的高呢？”學(xué)生通過(guò)分析討論得出如下結(jié)論：只要是從上底的一點(diǎn)向下底作垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的線段長(zhǎng)就是這條底上的高。最后教師引導(dǎo)學(xué)生判斷：（如圖4）豎著的這條虛線是梯形的高嗎？為什么？學(xué)生在辨析比較后認(rèn)為，這條虛線并非上底任一點(diǎn)到下底的垂線段，因此不是梯形的高。這樣學(xué)生就建立了豐富的“梯形的高”的表象，理解了高的本質(zhì)屬性。

四、在概念強(qiáng)化中，促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)

馬芯蘭老師在《馬芯蘭小學(xué)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)與實(shí)踐》 一書中指出：“課堂教學(xué)要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，按照思維過(guò)程的規(guī)律展開(kāi)，要給予起決定作用的核心概念以核心的地位，并在建立、運(yùn)用和深化這些概念的過(guò)程中，勾連知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，溝通數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系，使學(xué)生在不斷完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程中， 形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！睅缀胃拍畈⒎侨藗冎庇^看到的零碎、孤立和分散的狀態(tài)，而是密切聯(lián)系著的。因此，教師在教學(xué)時(shí)要幫助學(xué)生對(duì)幾何概念進(jìn)行歸納和梳理，讓學(xué)生經(jīng)歷分類的過(guò)程，把相關(guān)的幾何概念貫穿起來(lái)，從而形成比較系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

比如，在講到“認(rèn)識(shí)平行四邊形”時(shí)，教師為學(xué)生出示圖形（圖5），要求學(xué)生完成如下任務(wù)：“如果用一個(gè)大圈表示所有的四邊形，那么‘平行四邊形‘長(zhǎng)方形‘正方形是其中哪個(gè)圈？請(qǐng)你在圖中填一填，并說(shuō)明理由。”學(xué)生在討論后認(rèn)為，平行四邊形有兩組對(duì)邊互相平行，它是一種特殊的四邊形，所以它應(yīng)該填在左邊大圈中；長(zhǎng)方形不但是兩組對(duì)邊互相平行，而且四個(gè)角都是直角，因此，長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形，它應(yīng)該填在平行四邊形里面的那個(gè)圓中；正方形又是特殊的長(zhǎng)方形，所以它應(yīng)該填在左邊最小的圓中。然后教師進(jìn)一步追問(wèn)：“平行四邊形是特殊的四邊形，那么它為什么不填在右面的大圈里，卻要填在左邊的大圈里呢？”學(xué)生經(jīng)過(guò)討論后認(rèn)為，如果把平行四邊形填在右邊的大圈里，那就不能體現(xiàn)出平行四邊形、長(zhǎng)方形和正方形之間的關(guān)系了。

與教師直接為學(xué)生呈現(xiàn)韋恩圖相比，教師要求學(xué)生自己建構(gòu)韋恩圖的教學(xué)方式更能激發(fā)其思考，給予其深刻的印象。教學(xué)中，教師為學(xué)生呈現(xiàn)一幅完整的韋恩圖，要求學(xué)生在圈子數(shù)多于圖形種類的圖中進(jìn)行思考和判斷，使學(xué)生經(jīng)歷了迷茫、困惑甚至失敗之后，正確地建構(gòu)起四邊形、平行四邊形、長(zhǎng)方形和正方形之間的關(guān)系，由此形成對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而將“新概念”建立在原有的“舊概念”的基礎(chǔ)之上。

幾何概念教學(xué)是一個(gè)值得深入挖掘和不斷探索的課題。在幾何概念教學(xué)中，教師要激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生直觀感受，把動(dòng)手操作和動(dòng)腦思考結(jié)合起來(lái)，通過(guò)辨析和比較使學(xué)生獲得對(duì)概念的精準(zhǔn)理解，并在概念的貫通和聯(lián)系中，幫助學(xué)生建構(gòu)起完整的知識(shí)框架。