楊發(fā)寧

［摘 ?要］ “相似三角形的性質(zhì)”是蘇教版九年級(jí)下冊的章節(jié)內(nèi)容，是幾何知識(shí)體系構(gòu)建的關(guān)鍵. 教學(xué)中需要深刻解讀知識(shí)定理，圍繞核心知識(shí)設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié). 引導(dǎo)學(xué)生論證性質(zhì)，內(nèi)化吸收，獲得思維的提升. 文章立足知識(shí)核心，開展教學(xué)設(shè)計(jì)的探討.

［關(guān)鍵詞］ 相似三角形；性質(zhì)；教學(xué)設(shè)計(jì)

“相似三角形的性質(zhì)”是初中幾何重要的探究內(nèi)容，關(guān)于線段和圖形面積的性質(zhì)定理是教學(xué)的重點(diǎn). 實(shí)際教學(xué)需要深刻解讀性質(zhì)，基于學(xué)情進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)，下面圍繞“相似三角形的性質(zhì)”開展教學(xué)設(shè)計(jì)的探討.

核心知識(shí)解讀，教學(xué)設(shè)計(jì)探討

1. 關(guān)于定理核心的解讀

相似三角形的性質(zhì)定理內(nèi)容較為豐富，但總體上可以歸納為兩點(diǎn)：一是對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比，二是面積比等于相似比的平方. 對(duì)于“對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比”，課標(biāo)大綱提出了具體的要求，不能將其中的“線段”簡單理解為相似三角形的邊長，而應(yīng)延伸到三角形中的一些特殊線段上，如對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、角平分線以及三角形的周長等. 即性質(zhì)定理中的“對(duì)應(yīng)線段”是對(duì)三角形屬性線段的概括. 而性質(zhì)定理中的“面積比等于相似比的平方”實(shí)則表述的是面積比與相似比的關(guān)系，學(xué)生在理解上容易出現(xiàn)錯(cuò)誤. 教學(xué)中要立足三角形的面積公式，開展相似三角形面積比的代數(shù)推導(dǎo)，明確相似三角形的邊、邊上的高是同時(shí)縮放這一核心知識(shí).

2. 關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)的探討

關(guān)于“相似三角形的性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)遵循性質(zhì)定理的探究思路，從知識(shí)、技能、過程、方法等方面來提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力. 故對(duì)于相似三角形的兩大性質(zhì)定理的教學(xué)，建議采用過程引導(dǎo)、知識(shí)探究的方式，即圍繞核心知識(shí)，設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，讓學(xué)生自主探究，在實(shí)踐操作、猜想思考、驗(yàn)證歸納中掌握新知. 同時(shí)，性質(zhì)定理探究需要注意以下幾點(diǎn)：

（1）性質(zhì)定理全方位覆蓋，核心定理重點(diǎn)突出. 教學(xué)引導(dǎo)中，要使學(xué)生掌握性質(zhì)定理的全內(nèi)容，尤其是上述所闡述的兩大內(nèi)容，針對(duì)性質(zhì)定理內(nèi)容分別設(shè)計(jì)探究環(huán)節(jié)，突出性質(zhì)定理的關(guān)鍵點(diǎn)，如線段比例以直觀圖形來呈現(xiàn)，而周長、面積比例則突出代數(shù)推導(dǎo)過程.

（2）自主思考、合作探究融合并行. 性質(zhì)定理的探究實(shí)踐中要將學(xué)生獨(dú)立思考與小組合作探究的方式有機(jī)結(jié)合，給學(xué)生留足思考空間的同時(shí)，又能在信息共享中激發(fā)思維，拓展視野. 尤其是性質(zhì)定理中關(guān)于“相似三角形對(duì)應(yīng)線段”的內(nèi)容，可采用知識(shí)衍生的方式，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，自主證明猜想.

（3）過程探究滲透數(shù)學(xué)思想，在性質(zhì)定理探究中知識(shí)與方法是不相分離的，即性質(zhì)定理探究的同時(shí)需要滲透數(shù)學(xué)思想，利用科學(xué)思想有序探究. 如采用數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)學(xué)生感知性質(zhì)，完成驗(yàn)證；采用特殊到一般的思想，引導(dǎo)學(xué)生猜想，歸納結(jié)論.

過程環(huán)節(jié)思考，活動(dòng)引導(dǎo)探究

基于上述知識(shí)解讀與設(shè)計(jì)探究，開展教學(xué)實(shí)踐時(shí)需要分兩大環(huán)節(jié)逐一探究性質(zhì)定理的內(nèi)容，并且根據(jù)內(nèi)容采用不同的方式，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

1. 對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)探究

關(guān)于相似三角形對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)探究，建議整體上采用數(shù)形結(jié)合的探究方式，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知、探究論證. 同時(shí)，注意激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，根據(jù)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)思考，分析發(fā)現(xiàn)歸納，生成外延知識(shí). 以相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高的比例關(guān)系為引，設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，生成性質(zhì)結(jié)論，然后引導(dǎo)學(xué)生思考，衍生出關(guān)于其他“線段”的性質(zhì). 活動(dòng)設(shè)計(jì)鏈如下：相似三角形高的比→中線的比→角平分線的比；同時(shí)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)方式為：直觀感知→衍生探究→啟發(fā)思考.

活動(dòng)設(shè)計(jì)1：直觀感知.

如圖1所示，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，分別作出兩三角形底邊BC和B′C′上對(duì)應(yīng)的高，設(shè)為AD和A′D′，試分析高AD和A′D′的比.

設(shè)問①：請用邊長表述相似比k，可以表示為什么形式？

設(shè)問②：請采用測量的方式求k的值，再量取AD和A′D′的長度，計(jì)算其比值，可以得出什么猜想？

設(shè)問③：若采用幾何證明的方式，如何來證明猜想？

教學(xué)中采用測量猜想與幾何證明相結(jié)合的方式，多層次引導(dǎo)學(xué)生探究性質(zhì)，將直觀感知、測量猜想、幾何推理相融合，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維.

活動(dòng)設(shè)計(jì)2：衍生探究.

完成相似三角形對(duì)應(yīng)邊的高之比的探究論證后. 可以采用知識(shí)衍生、類比分析的方式來探究對(duì)應(yīng)邊的中線、對(duì)應(yīng)角的角平分線的比.

衍生過程構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)態(tài)角度進(jìn)行分析，若拖點(diǎn)D和D′分別在線段BC和B′C′上運(yùn)動(dòng)，設(shè)定其運(yùn)動(dòng)位置.

設(shè)問①：當(dāng)點(diǎn)D和D′分別運(yùn)動(dòng)到線段BC和B′C′的中點(diǎn)時(shí)，試分析的比值，是否等于k？

設(shè)問②：當(dāng)點(diǎn)D和D′分別運(yùn)動(dòng)到使得AD和AD′為兩個(gè)三角形的角平分線時(shí)，的比值是否等于k？

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生類比探究高的比值方法，把握線段AD和AD′的特性，構(gòu)建相似三角形，利用相似關(guān)系來推導(dǎo)線段比值. 雖然線段屬性不同，但說理證明的思路是一致的，教學(xué)中要啟發(fā)學(xué)生思考，開展定理衍生.

2. 周長比和面積比的探究

“相似三角形的周長比和面積比”同樣是相似三角形性質(zhì)的核心內(nèi)容，與線段比通過提取相似三角形論證的方法不同的是，周長比和面積比的探究論證需要注重其中的代數(shù)推導(dǎo)，將對(duì)應(yīng)的比值轉(zhuǎn)化為線段的和或乘積，可分別設(shè)計(jì)如下的探究活動(dòng).

活動(dòng)設(shè)計(jì)1：周長比的探究.

問題：如圖3所示，兩三角形為相似關(guān)系，相似比為k，探究兩三角形周長的相似比.

設(shè)問①：如何表示兩三角形的周長？

設(shè)問②：可以得出怎樣的結(jié)論？

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行探究：

第一步，用線段表示三角形的周長，即C=AB+BC+AC，C=A′B′+B′C′+A′C′，則研究的是的比值；

第二步，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比構(gòu)建線段關(guān)系，即AB=k·A′B′，BC=k·B′C′，AC=k·A′C′.

第三步，利用線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為周長比，即===k，則相似三角形的周長比等于相似比.

活動(dòng)設(shè)計(jì)2：面積比的探究.

對(duì)于面積比的探究，需要引導(dǎo)學(xué)生分為作圖和代算兩步進(jìn)行，必要時(shí)可以將其拓展到四邊形中，具體如下：

問題：如圖4所示，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，探究兩三角形的面積比.

設(shè)問①：分別作BC和B′C′邊上的高，設(shè)垂足為D和D′，則兩三角形對(duì)應(yīng)的高AD，A′D′的比為多少？

設(shè)問②：參考探究周長比的方式，分析兩三角形的面積比.

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生作三角形底邊上的高，構(gòu)建兩三角形的面積模型，將面積比轉(zhuǎn)化為線段乘積的比，即=，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)推導(dǎo)得==k2，從而得出相似三角形的面積比等于相似比的平方.

拓展探究：如圖5所示，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的相似比為k，參考上述相似三角形的面積比的探究方式，分小組討論兩四邊形的面積比.

多變探究引導(dǎo)，知識(shí)應(yīng)用強(qiáng)化

相似三角形的性質(zhì)定理的應(yīng)用極為廣泛，通過應(yīng)用可以強(qiáng)化知識(shí)，提升學(xué)生思維的靈活性，幫助學(xué)生積累知識(shí)經(jīng)驗(yàn). 而應(yīng)用教學(xué)需要注意兩點(diǎn)：一是設(shè)置多變的探究問題；二是引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)解題的思維過程.

1. 幾何題探究

問題設(shè)置建議以常規(guī)的三角形為背景，以鞏固學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，應(yīng)用探究引導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)強(qiáng)化. 具體如下：

問題：如圖6所示，在△ABC和△DEF中，已知AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，且△ABC的周長為24，面積為12，試求△DEF的周長和面積.

教學(xué)引導(dǎo)過程為：證明兩三角形為相似關(guān)系→求兩三角形的相似比→回顧相似三角形的性質(zhì)定理→直接求△DEF的周長和面積. 故教學(xué)中要合理設(shè)問，關(guān)注兩三角形的關(guān)系，利用相似三角形的性質(zhì)定理進(jìn)行推導(dǎo).

2. 變式問題探究

該環(huán)節(jié)需要設(shè)置復(fù)合圖形，引導(dǎo)學(xué)生提取圖形中的相似三角形，進(jìn)而開展推理探究. 具體如下：

問題：如圖7所示，ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E是邊AB的延長線上一點(diǎn)，已知AB=4BE，連接DE，與BC的交點(diǎn)設(shè)為F.

（1）試求的值；

（2）如果S=2，試求四邊形ABCD的面積.

關(guān)于第（1）問的引導(dǎo)過程如下：關(guān)注平行四邊形的性質(zhì)→提取相似三角形→求線段比；而第（2）問則需要引入三角形的高，將三角形的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系：推導(dǎo)△DCF的面積→構(gòu)建△DCF和四邊形ABCD的面積模型→推導(dǎo)高的比→構(gòu)建面積關(guān)系.

3. 實(shí)際問題探究

另外，建議結(jié)合生活實(shí)際設(shè)置問題，利用幾何知識(shí)求解，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

問題：如圖8所示，一條河的兩岸是平行的，站在距離南岸15 m的點(diǎn)P處看北岸，看到兩電線桿A和B剛好被南岸的兩棵樹C和D遮擋. 已知A和B相距50 m，C和D相距20 m，請同學(xué)們想方法測算河的寬度.

教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生抽象問題模型，構(gòu)建相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)定理求線段的長. 故思維引導(dǎo)為：構(gòu)建模型→提取相似圖形→由性質(zhì)定理構(gòu)建線段比→求河的寬度.

總之，“相似三角形的性質(zhì)”屬于性質(zhì)定理探索章節(jié)，深刻解讀性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與思想的融合是教學(xué)設(shè)計(jì)的前提. 教學(xué)實(shí)踐則應(yīng)圍繞知識(shí)核心精設(shè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體驗(yàn)探究過程，深刻理解性質(zhì)定理. 同時(shí)設(shè)置靈活多變的問題，引導(dǎo)學(xué)生探究應(yīng)用，幫助學(xué)生鞏固新知，積累解題經(jīng)驗(yàn).