周佳泉

2022年4月，最新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）新鮮出爐?！墩n標(biāo)（2022年版）》以習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會主義思想為指導(dǎo)，全面貫徹黨的教育方針，遵循教育教學(xué)規(guī)律，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育。它是中國教育改革向深水區(qū)持續(xù)推進(jìn)的最新成果，是保障中國義務(wù)教育工作持續(xù)、有效開展的基石。

《課標(biāo)（2022年版）》的主要變化之一，是優(yōu)化了課程設(shè)置。落實(shí)黨中央、國務(wù)院“雙減”政策要求，在保持義務(wù)教育階段九年9522總課時(shí)數(shù)不變的基礎(chǔ)上，調(diào)整優(yōu)化課程設(shè)置，設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容。當(dāng)前，雖未見到體現(xiàn)“結(jié)構(gòu)化”課程設(shè)置的最新教材，卻可以通過新《課標(biāo)（2022年版）》文本的仔細(xì)閱讀窺見一斑?，F(xiàn)以“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?yàn)槔?，試述己見?/p>

一、理解數(shù)概念和數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性

《課標(biāo)（2022年版）》更加強(qiáng)調(diào)數(shù)概念和數(shù)運(yùn)算本質(zhì)的一致性。由此，把過去孤立的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）的認(rèn)識及其運(yùn)算方法高度整合，成為具有共同內(nèi)涵的“數(shù)群”，打通了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）概念及其運(yùn)算之間的“隔斷”，既降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，又提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的整體效率。具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

（一）突出建立“計(jì)數(shù)單位”的重要作用

《課標(biāo)（2022年版）》明確指出：數(shù)的認(rèn)識與數(shù)的運(yùn)算具有密切的聯(lián)系，既要注重各自的特征，也要關(guān)注二者的聯(lián)系。也就是說：數(shù)的認(rèn)識是數(shù)的運(yùn)算的重要基礎(chǔ)，數(shù)的運(yùn)算是在數(shù)的認(rèn)識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的;同時(shí)，通過數(shù)的運(yùn)算又加深了對數(shù)的深刻認(rèn)識。

因此，理解數(shù)的產(chǎn)生及演進(jìn)過程是數(shù)的認(rèn)識學(xué)習(xí)進(jìn)階中極其重要的一環(huán)。量是刻畫客觀世界的手段，數(shù)是對量的抽象，任何一種數(shù)的產(chǎn)生都源自生產(chǎn)、生活的實(shí)際需求。在數(shù)產(chǎn)生之初，都要有一個(gè)大家公認(rèn)的“標(biāo)準(zhǔn)”——即計(jì)數(shù)單位。例如：在遠(yuǎn)古時(shí)代，人們狩獵時(shí)對獵物數(shù)量的刻畫，是以不分大小但完整的個(gè)體作為單位來計(jì)量，于是產(chǎn)生了“一（個(gè)）”的計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)——也就是最初的整數(shù)的計(jì)數(shù)單位。隨著數(shù)量的增加，以“一（個(gè)）”為計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)不能滿足需要時(shí)，又把原來的10個(gè)“一（個(gè)）”合并“凝結(jié)”成更大的計(jì)數(shù)單位“十”。并以此類推，創(chuàng)造了更大的計(jì)數(shù)單位“百”“千”“萬”……反向思考：當(dāng)原來的以“一（個(gè)）”為計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)在刻畫客觀事物的數(shù)量時(shí)顯得太過“粗獷”、不夠精微時(shí)，又把“一（個(gè)）”拆分成更小的計(jì)數(shù)單位“十分之一（0.1）”“百分之一（0.01）”……在不需要以“十”累進(jìn)或以“十”拆分的情況下，又產(chǎn)生了任意等分的計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)“二分之一”“三分之一”……以這些計(jì)數(shù)單位為“準(zhǔn)則”、為“樣板”，大千世界的萬事萬物之?dāng)?shù)量，就可以囊而括之。

可見，計(jì)數(shù)單位是“數(shù)”之“根脈”，各種系列數(shù)的產(chǎn)生，均由計(jì)數(shù)單位開始。

（二）凸顯各種數(shù)的計(jì)數(shù)原理本質(zhì)一致

各種系列數(shù)的“群落”，無一不是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)累加的結(jié)果。幾個(gè)“一”就是“幾”，幾個(gè)“十”就是“幾十”，幾個(gè)“百”就是“幾百”……小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)方法與原理概莫能外。這樣，我們用“0～9”十個(gè)數(shù)字與“一（個(gè)）”“十”“百”“千”等計(jì)數(shù)單位組合，就能表示無窮無盡的整數(shù)。整數(shù)與小數(shù)點(diǎn)、分?jǐn)?shù)線的組合，使原來的整數(shù)系在微觀尺度上向著精細(xì)化的方向不斷演進(jìn)，并使得原來相鄰兩個(gè)整數(shù)之間的“縫隙”變得無限“廣闊”，使得“數(shù)”在刻畫客觀世界的時(shí)候幾乎無所不能，體現(xiàn)出了“盡精微，致廣大”的神威。

無獨(dú)有偶，在圖形與幾何領(lǐng)域也同樣存在相似的結(jié)構(gòu)——長度是長度單位的累加，面積是面積單位的累加，體積是體積單位的累加，乃至角度是角度單位的累加。這種結(jié)構(gòu)化的思維方式，通過高度匹配的課程載體——教材呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率無疑會大大提升，并有力促進(jìn)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)活動(dòng)向高階思維的層次邁進(jìn)。

（三）理解各種數(shù)“運(yùn)算”的法則本質(zhì)相似

各種數(shù)的運(yùn)算，歸根到底其實(shí)就是相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加或拆分。相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)不均等地累加或拆分，就是加法與減法;均等地累加或拆分，就是乘法或除法。

無論何種運(yùn)算，它們都遵循一個(gè)基本原則——只有相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)才能直接相加減。學(xué)生在低年級的整數(shù)加減法中，借助直觀操作表象就能很好地理解——“1個(gè)十”的“1”與“2個(gè)一”的“2”不能直接相加，因?yàn)槿绻苯酉嗉?，得到的既不是?個(gè)十”也不是“3個(gè)一”，減法亦然。同理，小數(shù)加減法也是如此。分?jǐn)?shù)加減法的理解相對更隱蔽一些，但是通過直觀圖形也能很好理解“分?jǐn)?shù)單位不同不能直接相加減”（如圖1、圖2）。

乘法和除法是加減法的“升級版”，無非就是把相同加數(shù)的個(gè)數(shù)按“組”來累加或拆分。雖然，小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘除法的理解要更困難一些，但其根本仍然是建立在相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加或拆分基礎(chǔ)之上的。

二、具體應(yīng)用中體會數(shù)量關(guān)系的一般性

世界是變化的，萬事萬物，方生方滅。常見數(shù)量關(guān)系的歸納總結(jié)，讓我們把復(fù)雜的事物變化關(guān)系用最簡潔明了的方式表達(dá)出來。

（一）數(shù)量關(guān)系具有簡潔性

結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，以富有挑戰(zhàn)性的現(xiàn)實(shí)生活情境為載體，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出加法模型，用于表現(xiàn)“總量等于各分量之和”的各種情況;用乘法模型表現(xiàn)“與個(gè)數(shù)有關(guān)”和“與物理量有關(guān)”的兩大類現(xiàn)象。

（二）數(shù)量關(guān)系具有一般性

在實(shí)際的問題情境中，學(xué)生通過解決問題可以深刻地體會到：無論是以何種數(shù)的形式來計(jì)量的數(shù)量，求“幾個(gè)部分量的總和”或是“已知總和求其中一個(gè)部分量”都用加法模型。尤其是類似的問題：湖里原來有26只天鵝，先飛走了7只，又飛走了14只，一共飛走了多少只天鵝？就是把兩次飛走的天鵝數(shù)量看作兩個(gè)部分，求這兩個(gè)部分的總和用加法。再如購物問題：無論購買何種商品，也無論商品的單價(jià)與數(shù)量多少，求總價(jià)都是把若干個(gè)單價(jià)相加，都是用單價(jià)×數(shù)量來解決。

通過這樣的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，學(xué)生能夠初步體會同一系列數(shù)量在類似的情境中的關(guān)系都是相同的。換言之，只要是這一類數(shù)量，只要是相同的問題情境，解決問題的“程序”都是一樣的。

（三）數(shù)量關(guān)系具有互通性

加法模型與乘法模型既可以結(jié)合起來表達(dá)更加復(fù)雜的情況，也可以在某些具體情境下互換互通。例如：以“加法模型”為主干、以“乘法模型”為分支，就直觀地表達(dá)了“相遇問題”的一般數(shù)量關(guān)系——“甲車路程+乙車路程=總路程”。再如：以“乘法模型”為主干、以“加法模型”為分支，就能簡潔地表達(dá)“漲價(jià)問題”的數(shù)量關(guān)系“現(xiàn)在單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”，其中用“原價(jià)+漲價(jià)部分”表達(dá)“現(xiàn)在單價(jià)”。以上是兩種基本模型的結(jié)合。

而兩種模型的互換，則體現(xiàn)著學(xué)習(xí)者對同一數(shù)學(xué)問題中數(shù)量“聚焦”的差異。如：對“乘法分配律”的理解——每張課桌80元，每把椅子40元。買20套課桌椅一共需要多少元？既可以用加法模型表達(dá)為“課桌總價(jià)+椅子總價(jià)=全部總價(jià)”，也可以用乘法模型表達(dá)為“每套課桌椅單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”，乘法分配律的理解就順理成章了。

三、未知轉(zhuǎn)化為已知策略運(yùn)用的進(jìn)階性

《課標(biāo)（2022年版）》中多次強(qiáng)調(diào)通過“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的學(xué)習(xí)策略，以此助力學(xué)生形成初步的推理意識。通過類比遷移，把“相似”的知識加以對照，找出相似的學(xué)習(xí)“路徑”，就能做到化“新”為“舊”，化“難”為“易”，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識越學(xué)越“少”，真正做到結(jié)構(gòu)化地學(xué)習(xí)。

例如在學(xué)習(xí)小數(shù)加減法中，可以借助“元角分”知識，把小數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為整數(shù)加減法計(jì)算再還原，在此基礎(chǔ)上再借助計(jì)數(shù)器聯(lián)想整數(shù)加減法的算理理解小數(shù)加減法的算理。同理，在異分母分?jǐn)?shù)加減法中，讓學(xué)生借助直觀圖形（前文圖1、圖2）理解統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位的必要性，從而把異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法來計(jì)算。在小數(shù)乘法中，是用假設(shè)的方法把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法計(jì)算，再利用積的變化規(guī)律進(jìn)行“還原”。

在“圖形測量”中，也有這樣的學(xué)習(xí)“路徑”。面積計(jì)算的通則是“每行的面積單位個(gè)數(shù)×行數(shù)=面積單位總數(shù)”，體積的計(jì)算則是“每層的體積單位個(gè)數(shù)×層數(shù)=體積單位總數(shù)”。

在“未知轉(zhuǎn)化為已知”策略的學(xué)習(xí)進(jìn)階中，都遵循這樣的基本規(guī)律：先學(xué)習(xí)掌握“原型”，再在低階“變型”情境中簡單類比，最后在高階“變型”情境中遷移應(yīng)用。這對激發(fā)學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中的想象力與創(chuàng)造性，具有極其重要的價(jià)值。

結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容，是促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維形成的重要途徑。每一位小學(xué)數(shù)學(xué)老師，都應(yīng)該積極行動(dòng)起來，把數(shù)學(xué)書教得越來越“薄”的同時(shí)，把學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)養(yǎng)得越來越“厚”。