崔曙剛

[摘? 要] 動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題較為特殊，需要在分析圖形特性的基礎(chǔ)上構(gòu)建線段之間的函數(shù)關(guān)系，故問(wèn)題解析需立足幾何特性，結(jié)合與“數(shù)”聯(lián)系緊密的性質(zhì)定理破題. 文章結(jié)合考題探究解題方法，并深入總結(jié)思考，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 幾何;線段;函數(shù)關(guān)系;勾股定理;相似

問(wèn)題綜述

數(shù)學(xué)因“運(yùn)動(dòng)”而精彩紛呈，動(dòng)態(tài)幾何也成為近幾年中考的熱點(diǎn)，圍繞圖形運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了一些探究數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，涉及點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)多種類型. 圖形運(yùn)動(dòng)帶來(lái)了一系列的規(guī)律，衍生了眾多研究函數(shù)關(guān)系與圖像、面積最值、線段長(zhǎng)度等問(wèn)題.

函數(shù)關(guān)系與圖像是其中較為常見的問(wèn)題類型，往往問(wèn)題以動(dòng)點(diǎn)為依托，形成線動(dòng)，探究其中點(diǎn)、線、面之間的函數(shù)關(guān)系，如線段之間的關(guān)系式、幾何面積函數(shù)等. 問(wèn)題解析要采用“以靜制動(dòng)”的策略，即分析運(yùn)動(dòng)中的規(guī)律，把握其中的特殊狀態(tài)，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題. 解析過(guò)程要充分采用數(shù)形結(jié)合、分類討論、模型構(gòu)建等思想方法，簡(jiǎn)化圖形，降低思維難度.

問(wèn)題探究

2021年無(wú)錫市中考幾何壓軸題為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，且以“點(diǎn)動(dòng)”為背景探究關(guān)系構(gòu)建，下面筆者深入探究問(wèn)題的破解方法.

1. 考題呈現(xiàn)

考題：已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，設(shè)BE=m.

（1）如圖1所示，若點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，EF交CD于點(diǎn)P，AF交CD于點(diǎn)Q，連接CF.

①當(dāng)m=時(shí)，求線段CF的長(zhǎng);

②在△PQE中，設(shè)邊QE上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值;

（2）設(shè)過(guò)BC的中點(diǎn)且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫出y與m的關(guān)系式.

2. 問(wèn)題解讀

問(wèn)題圖形較為復(fù)雜，需要學(xué)生把握?qǐng)D形構(gòu)建過(guò)程，充分提取其中的特殊關(guān)系. 根據(jù)題干信息可知關(guān)系構(gòu)建思路：動(dòng)點(diǎn)E→動(dòng)線段AE→動(dòng)△AEF. 而復(fù)合圖形中存在如下特殊性質(zhì).

四邊形ABCD：正方形，具有正方形的性質(zhì);

△AEF：等腰直角三角形.

3. 逐問(wèn)剖析

第（1）①問(wèn)為設(shè)定BE長(zhǎng)m=，則動(dòng)態(tài)圖形固定，求CF的長(zhǎng)，可依托CF構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求線段長(zhǎng).

過(guò)點(diǎn)F作BC延長(zhǎng)線上的垂線，設(shè)垂足為G，如圖2所示. 根據(jù)題意可知，在△ABE和△EGF中，有∠B=∠G，

∠AEB=∠EFG，

AE=EF， 所以△ABE≌△EGF（AAS）.由全等特性可得GF=BE=，EG=AB=BC，所以EG-EC=BC-EC，即CG=BE=. 在Rt△CGF中，由勾股定理可得CF==.

第（1）②問(wèn)實(shí)則分析m與h的函數(shù)關(guān)系，其中m表示BE的長(zhǎng)，h為△PQE的邊QE上的高，需要依托幾何性質(zhì)來(lái)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系. 分析可知高的位置較為一般，需要對(duì)其加以轉(zhuǎn)化，幾何中可通過(guò)全等或相似來(lái)實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)化，具體如下.

將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE′，再過(guò)點(diǎn)P作EQ的垂線，設(shè)垂足為H，如圖3所示.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可得△ABE≌△ADE′，∠B=∠ADE′=90°，∠BAE=∠DAE′，∠AEB=∠E′，AE=AE′，BE=DE′，所以∠ADC+∠ADE′=180°，即C，D，E′三點(diǎn)共線. 在△EAQ和△E′AQ中，有AE=AE′，

∠EAQ=∠E′AQ

AQ=AQ， ，所以△EAQ≌△E′AQ（SAS），則∠E′=∠AEQ，EQ=E′Q. 因?yàn)椤螾EC=90°-∠AEB，∠QEP=90°-∠AEQ=90°-∠AE′D=90°-∠AEB，所以∠PEC=∠QEP，所以EF是∠QEC的平分線，由角平分線的性質(zhì)可知PH=PC. 由（1）知∠BAE=∠CEP，∠B=∠C=90°，可證△ABE∽△ECP. 所以=，即=，可得CP=m（1-m），所以PH=h= -m2+m=-

m-2+，由函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)m=時(shí)，h取得最大值，且最大值為.

第（2）問(wèn)則是研究BC上垂直平分線被△AEF所截線段長(zhǎng)，E為動(dòng)點(diǎn)，其位置將影響到△AEF的位置，進(jìn)而導(dǎo)致所截線段長(zhǎng)不同. 分析線段長(zhǎng)y與BE長(zhǎng)m的關(guān)系，可以以BC的中點(diǎn)為分界點(diǎn)來(lái)分別討論，并結(jié)合圖像構(gòu)建關(guān)系.

①當(dāng)點(diǎn)E位于BC中點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，即m<，如圖4所示.

設(shè)點(diǎn)H為EP和MG的交點(diǎn)，因?yàn)椤螧AE=90°-∠AEB=∠HEG，∠B=∠HGE=90°，可證△ABE∽△EGH. 所以=，即=，所以GH=-m2+m. 因?yàn)镸G∥CD，G是BC的中點(diǎn)，則MN為△ADQ的中位線，所以MN=DQ. 由（1）問(wèn)可知EQ=DQ+BE，可設(shè)DQ=x，則EQ=x+m，CQ=1-x. 在Rt△EQC中，由勾股定理可得EC2+CQ2=EQ2，則（1-m）2+（1-x）2=（x+m）2，可解得x=，所以MN=.從而可推知y=NH=MG-GH-MN=1--m2+

m-，整理可得y=1-m-+m2.

②當(dāng)點(diǎn)E位于BC中點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，即m>，如圖5所示. 因?yàn)镸G∥AB，則=，=，所以HG=. 同情形①，可得MN=DQ=，所以NH=MG-HG-MN=1--=，即y=.

綜上可知，y=1-m-+m2或y=.

總結(jié)思考

1. 策略分析

上述為動(dòng)態(tài)幾何綜合題，共分兩大問(wèn)，從解析過(guò)程來(lái)看，需要利用幾何線段來(lái)探究其中的線段長(zhǎng)度關(guān)系，第（1）①問(wèn)屬于特殊情形，而第（1）②問(wèn)及第（2）問(wèn)則屬于一般情形下的線段關(guān)系探究. 從根本上來(lái)看，需要解析圖形的結(jié)構(gòu)，把握性質(zhì)特征，利用幾何知識(shí)來(lái)構(gòu)建關(guān)于線段長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系.

對(duì)于動(dòng)態(tài)幾何，求線段之間函數(shù)關(guān)系的問(wèn)題需要關(guān)注其中的特殊結(jié)構(gòu)和關(guān)系. 一是特殊結(jié)構(gòu)，即直角三角形，利用勾股定理對(duì)三邊關(guān)系的體現(xiàn)來(lái)構(gòu)建函數(shù);二是全等關(guān)系和相似關(guān)系，利用全等關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)等線段轉(zhuǎn)化，利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)構(gòu)建線段的比例關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)關(guān)系. 故求解線段之間的函數(shù)關(guān)系，有兩大解題策略：

一是提取復(fù)合圖形中的直角三角形，由勾股定理構(gòu)建線段關(guān)系;二是提取復(fù)合圖形中相似三角形，由相似性質(zhì)構(gòu)建線段比例關(guān)系，或提取其中的平行線段，構(gòu)建線段比例關(guān)系.

2. 題型探究

動(dòng)態(tài)幾何中分析線段之間的函數(shù)關(guān)系，主要有兩種題型：一是考題中所呈現(xiàn)的直接求線段間的函數(shù)關(guān)系，二是與面積或周長(zhǎng)相關(guān)的，間接分析線段間的函數(shù)關(guān)系. 對(duì)于題型二，則還需要構(gòu)建對(duì)應(yīng)模型，如周長(zhǎng)問(wèn)題中將其轉(zhuǎn)化為線段之和，重點(diǎn)分析其中的未知線段;面積問(wèn)題中結(jié)合面積公式構(gòu)建面積模型，必要時(shí)可采用面積割補(bǔ)的方法. 下面筆者舉例探究題型二中的動(dòng)態(tài)幾何面積函數(shù)關(guān)系問(wèn)題.

例題：如圖6所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=12，BC=5，點(diǎn)M在邊AB上，且AM=6. 動(dòng)點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動(dòng)，且不與點(diǎn)A和C重合，設(shè)CD=x.

（1）設(shè)△ABC與△ADM的面積之比為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍;

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，△ADM為等腰三角形？寫出你的理由.

解：（1）點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)，△ADM的邊DA會(huì)隨之變化，但該邊上的高不變，邊AM也不變. 結(jié)合面積公式可得S=AC·BC=30. 過(guò)點(diǎn)M作AC的垂線，設(shè)垂足為H，如圖7所示. 因?yàn)镸H∥CB，則△AMH∽△ABC，可得=，所以MH=，AD=12-x，所以S=AD·MH=（12-x）.可知y==（其中0

（2）要使△ADM為等腰三角形，有三種可能. ①當(dāng)AD=AM=6時(shí)，可求得x=6;②當(dāng)MD=MA時(shí)，可求得x=;③當(dāng)AD=MD時(shí)，可求得x=.

綜上可知，當(dāng)x=6，x=，x=時(shí)，△ADM均可以為等腰三角形.

教學(xué)建議

上述深入探究了動(dòng)態(tài)幾何中的線段函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，問(wèn)題雖為幾何，但同時(shí)具有了“數(shù)”的特性，也是該類問(wèn)題最大的特點(diǎn). 在教學(xué)探究時(shí)，需要強(qiáng)化學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法，掌握動(dòng)態(tài)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化策略，下面筆者提出幾點(diǎn)建議.

建議1：強(qiáng)化基本函數(shù)，總結(jié)函數(shù)性質(zhì)

線段函數(shù)關(guān)系問(wèn)題的解析過(guò)程必然涉及基本的函數(shù)，如常見的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，探究時(shí)需要?dú)w納函數(shù)，關(guān)注函數(shù)的變量及取值，同時(shí)結(jié)合圖像了解函數(shù)曲線特征性質(zhì). 尤其是二次函數(shù)，需要結(jié)合圖像分析其頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性，以及分析最值的研究方法. 教學(xué)中教師可引導(dǎo)學(xué)生采用對(duì)比歸納的方法，從單調(diào)性、變量取值、曲線圖像等方面加以分析，幫助學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí).

建議2：歸納解題方法，總結(jié)構(gòu)建技巧

動(dòng)態(tài)幾何中的線段函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，最為顯著的特點(diǎn)是為幾何賦予了“數(shù)”的特性，而構(gòu)建過(guò)程需要立足幾何特征，把握幾何性質(zhì)，這就要求探究時(shí)重點(diǎn)關(guān)注具有“數(shù)”屬性的性質(zhì)定理. 勾股定理和相似比例式在問(wèn)題解析時(shí)最為常用，前者構(gòu)建了三角形的三邊平方和關(guān)系，后者則構(gòu)建了兩三角形的邊長(zhǎng)比例關(guān)系. 兩大性質(zhì)定理巧妙地串聯(lián)了線段之間的關(guān)系，是破題的核心定理，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻理解性質(zhì)定理，掌握關(guān)系構(gòu)建的方法技巧.

建議3：把握特殊位置，“動(dòng)中取靜”破題

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題具有諸多的不確定因素，對(duì)于因動(dòng)點(diǎn)引起的幾何變化，可采用兩大策略破題：一是關(guān)注圖形中的特殊位置，利用特殊點(diǎn)來(lái)分類討論;二是設(shè)定線段未知量，推導(dǎo)線段關(guān)系，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的相對(duì)“靜態(tài)”. 以上述考題為例，就采用了策略二，設(shè)定關(guān)鍵線段，提取線段關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于線段參數(shù)的函數(shù). 因此，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生充分掌握兩大解題策略，理解其中的思想內(nèi)涵，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.