謝飛燕

[摘? 要] 文章對(duì)2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷立體幾何解答題進(jìn)行了評(píng)析，指出其“文科的面孔，理科的難度”特點(diǎn)，針對(duì)考生的典型錯(cuò)誤，提出了相關(guān)的教學(xué)啟示.

[關(guān)鍵詞] 立體幾何;核心素養(yǎng);教學(xué)啟示

2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷的數(shù)學(xué)卷沒(méi)了文理之別，往年立體幾何解答題一般以棱柱或棱錐為載體分步設(shè)問(wèn)：第一步，常以平行、垂直證明為主;第二步，文科主要考查幾何體的表面積和體積的計(jì)算等，理科主要考查線線角、線面角和二面角的計(jì)算.以往理科難度比文科大，那么如今新高考的立體幾何解答題是“偏文”還是“偏理”呢？2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷立體幾何解答題的第二步以求幾何體的體積為主，實(shí)質(zhì)是求二面角，具有“文科的面孔，理科的難度”特點(diǎn). 下面筆者通過(guò)深入剖析此題的典型錯(cuò)誤并提出相關(guān)的教學(xué)啟示.

原題 如圖1所示，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).

（1）證明：OA⊥CD;

（2）若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

[?]解法介紹

對(duì)于第（1）問(wèn)：因?yàn)锳B=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以AO⊥BD. 又平面ABD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，AO?平面ABD，因此AO⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，所以AO⊥CD.

對(duì)于第（2）問(wèn)：

1. 幾何法

作EF⊥BD于F，則EF∥AO;作FM⊥BC于M，連接EM，如圖2所示.

因?yàn)锳O⊥平面BCD，所以AO⊥BD，AO⊥CD，所以EF⊥BD，EF⊥CD. 又BD∩CD=D，BD?平面BCD，CD?平面BCD，所以EF⊥平面BCD.

因?yàn)锽C?平面BCD，所以EF⊥BC.又FM⊥BC，F(xiàn)M∩EF=F，F(xiàn)M?平面EFM，EF?平面EFM，所以BC⊥平面EFM. 又ME?平面EFM，所以BC⊥EM，則∠EMF為二面角E-BC-D的平面角，所以∠EMF=.

因?yàn)锽O=OD，△OCD為正三角形，所以BO=OC，則∠OBC=∠OCB=30°.

因?yàn)镈E=2EA，所以在Rt△FMB中，F(xiàn)M=BF·sin∠OBC=×

因?yàn)锳O⊥平面BCD，所以三棱錐A-BCD的體積V=AO·S=×1××1×=.

2. 坐標(biāo)法

取OD的中點(diǎn)F，因?yàn)椤鱋CD是正三角形，所以CF⊥OD，過(guò)O作OM∥CF與BC相交于點(diǎn)M，則OM⊥OD，所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直.

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M，OD，OA為x軸、y軸、z軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，-1，0），C

[?]試題分析

1. 題目設(shè)置順序

2021年新高考破例把立體幾何解答題放在后三題中，可見(jiàn)其難度有所加強(qiáng)，令許多考生措手不及，但也是預(yù)料之中. 因?yàn)樾赂呖既∠送甑慕獯疬x做題，所以立體幾何題往后移了一個(gè)位置，位于解答題第四題，所以難度較往年有所增加，相對(duì)于往年的理科立體幾何解答題的難度也是略有提升的.新高考立體幾何解答題放在大題的后三道將會(huì)成為常態(tài)，說(shuō)明新高考對(duì)數(shù)學(xué)六大主干知識(shí)里的立體幾何的要求有所提升.

2. 題目考查內(nèi)容

本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理，二面角的定義、線線垂直的證明及三棱錐體積的求解;考查了考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 典型錯(cuò)誤

（1）空間圖形的位置關(guān)系混亂，缺乏直觀想象核心素養(yǎng).

在第（1）問(wèn)中，有不少考生憑感覺(jué)由平面ABD⊥平面BCD直接得出OA⊥平面BCD，可能是受到“平面與平面平行則其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線都與另一個(gè)平面平行”的影響，究其原因，主要是考生對(duì)空間圖形位置關(guān)系的理解混亂，缺乏直觀想象能力而造成了錯(cuò)誤. 同樣，在第（2）問(wèn)中，不少考生也會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤：由平面ABD⊥平面BCD得出OC⊥平面ABD，接著錯(cuò)誤地認(rèn)為OA，OB和OC是兩兩垂直的直線并以它們分別為坐標(biāo)軸建立錯(cuò)誤的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)然最后就是“一錯(cuò)全錯(cuò)”.

在第（2）問(wèn)中，采用傳統(tǒng)的幾何法尋求二面角的平面角時(shí)，有些考生出現(xiàn)了雜亂無(wú)章的由線面垂直與線線垂直得出二面角的平面角是∠EMF，過(guò)程是錯(cuò)誤的但又能寫(xiě)出正確的結(jié)論，充分暴露了其對(duì)空間圖形位置關(guān)系的理解不到位.

（2）解題“對(duì)而不全”，邏輯推理不夠嚴(yán)謹(jǐn).

在第（1）問(wèn)中，有些考生能夠根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理推導(dǎo)出OA⊥平面BCD，但沒(méi)有能夠把定理中的四個(gè)條件一一羅列出來(lái)，最典型的錯(cuò)誤是遺漏了直線在平面內(nèi)即OA?平面ABD;也有少數(shù)考生缺少了關(guān)鍵的條件平面ABD∩平面BCD=BD，沒(méi)有說(shuō)明平面與平面的相交線，可能是考生把平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理混淆了，在平時(shí)的教學(xué)中教師可以要求學(xué)生對(duì)這兩個(gè)定理進(jìn)行對(duì)比記憶，應(yīng)該不難理解.

在第（2）問(wèn)中，采用傳統(tǒng)的幾何法“找角與證角”的過(guò)程中，兩次用到了直線與平面垂直的判定定理，考生在平時(shí)的訓(xùn)練中應(yīng)該會(huì)很熟悉，但不夠細(xì)心，典型的錯(cuò)誤就是把FM∩EF=F給丟掉了，從而丟分了，說(shuō)明其對(duì)課本中立體幾何的重要定理理解得不夠透徹，未能把握其真諦，造成“對(duì)而不全”的錯(cuò)誤.

（3）解題“懂而不會(huì)”，數(shù)學(xué)運(yùn)算錯(cuò)漏百出.

在第（2）問(wèn)中，采用幾何法求解時(shí)，不少考生犯了一個(gè)典型的錯(cuò)誤：不能由BF=1+=推導(dǎo)出FM=BF=而導(dǎo)致解題到此止步不前. 本來(lái)是一個(gè)簡(jiǎn)單的平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，但考生面對(duì)相對(duì)繁雜的多個(gè)三角形或由于對(duì)多個(gè)三角形的關(guān)系不清楚，導(dǎo)致不能正確地求出∠FBM=30°，最終無(wú)法得出FM的值，這是典型的“懂而不會(huì)”的錯(cuò)誤.

在第（2）問(wèn)中，采用坐標(biāo)法求解時(shí)，建立了空間直角坐標(biāo)系后，求解點(diǎn)E與C的坐標(biāo)，不少考生互換了兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo). 計(jì)算法向量時(shí)，由于多了字母t的干擾，部分考生認(rèn)為復(fù)雜而“望而生畏”，停滯不前;部分考生求解法向量時(shí)取了t=1，法向量中沒(méi)有了參數(shù)t，雖然最終答案是正確的，但不是正確的做法.

4. 教學(xué)啟示

（1）注重坐標(biāo)法的過(guò)程性教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

對(duì)于立體幾何解答題，很多考生無(wú)論如何都會(huì)想盡辦法去建立空間直角坐標(biāo)系解題，但本題建立空間直角坐標(biāo)系是有一定困難的，多數(shù)考生由于對(duì)坐標(biāo)系的基本要求不太理解，最終造成了不必要的錯(cuò)誤. 在平時(shí)的立體幾何教學(xué)中，教師應(yīng)該注重坐標(biāo)法的過(guò)程性教學(xué)，每個(gè)步驟都不可忽略，強(qiáng)調(diào)確保有兩兩垂直的三線才能建立空間直角坐標(biāo)系.

另外，坐標(biāo)法中的數(shù)學(xué)運(yùn)算讓不少考生“懂而不會(huì)”，加強(qiáng)考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力迫在眉睫.部分考生對(duì)含有分?jǐn)?shù)、根號(hào)、負(fù)號(hào)的運(yùn)算特別畏懼，而且運(yùn)算速度慢，要想拿高分，運(yùn)算能力是一道門(mén)檻.因此在平時(shí)的教學(xué)中，教師要“舍得”花時(shí)間讓學(xué)生在課堂上進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的練習(xí)，不能為了完成教學(xué)進(jìn)度而匆忙.

（2）加強(qiáng)幾何法的教學(xué)，提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).

題目用幾何法求解可能容易一些，而且是平時(shí)的教學(xué)中常用的求二面角的方法，即三垂線定理法：過(guò)二面角其中一個(gè)平面上的點(diǎn)A作另一個(gè)平面的垂線（垂足為B），過(guò)垂足B向二面角的棱作垂線（垂足為C），連接AC，則∠ACB為二面角的平面角. 教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生這個(gè)尋找二面角的平面角的基本方法. 但由于教材中刪減了三垂線定理，所以證明二面角的平面角時(shí)要用到直線與平面垂直的判定定理，既能讓學(xué)生發(fā)揮其直觀想象能力，也能鍛煉其邏輯推理能力.

（3）關(guān)注新課改，加強(qiáng)新舊教材的比較研究.

對(duì)于實(shí)行新高考使用舊教材的省份，若能夠結(jié)合新課標(biāo)在核心素養(yǎng)方面的要求[1]，在高三復(fù)習(xí)的教學(xué)中關(guān)注新教材的內(nèi)容變化，可以給我們指明一定的方向. 新舊教材的重合部分是教學(xué)的重要內(nèi)容也是高考的重點(diǎn)，新舊教材的不同部分是我們教學(xué)變革的內(nèi)容也是高考中“穩(wěn)中有變”的“變”的部分，立體幾何模塊中，新舊教材都借助了大量的生活實(shí)物圖片[2]，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的立體結(jié)構(gòu)，運(yùn)用這樣的方式向考生呈現(xiàn)立體幾何知識(shí)，符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，直觀想象始終是立體幾何教學(xué)與高考中的重點(diǎn)考查的核心素養(yǎng). 另外，對(duì)新舊教材的例習(xí)題進(jìn)行比較分析后發(fā)現(xiàn)：新教材的題目更注重對(duì)知識(shí)的“識(shí)記”與“理解”，難度較低，同時(shí)，新教材在一定程度上提高了推理題的比例[3]，注重培養(yǎng)學(xué)生推理證明的能力，所以新高考更加注重考查考生的邏輯推理能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 章建躍. 核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的立體幾何教材變革[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（11）：1-6.

[3]? 章建躍. 核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的立體幾何教材變革（續(xù)）[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（12）：1-3+20.