[摘? 要] 隨著新課改的推進(jìn)，各種教學(xué)方式的探索開(kāi)展得如火如荼，但不論教學(xué)形式發(fā)生怎樣的變化，教學(xué)的基本原則——注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生改變. 揭露本質(zhì)是一切教學(xué)設(shè)計(jì)的基本思想，是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足之本. 文章以“配方法解一元二次方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)如何揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)，談一些具體的思路與看法.

[關(guān)鍵詞] 本質(zhì);教學(xué)設(shè)計(jì);一元二次方程

新課標(biāo)提出：形式化雖為數(shù)學(xué)的基本特征，但教學(xué)時(shí)不能拘泥于形式化的表達(dá)，更要強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，否則會(huì)讓生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維，淹沒(méi)在形式化的海洋中[1]. 然而，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，該如何順利揭示其本質(zhì)呢？實(shí)踐證明，初中數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)，是滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生形成良好思維習(xí)慣的教學(xué).

數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

從不同的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)的本質(zhì)有著不同的解釋：從學(xué)科結(jié)構(gòu)觀察，其本質(zhì)為模型;從表現(xiàn)形式來(lái)分析，其本質(zhì)是符號(hào);從實(shí)際應(yīng)用價(jià)值來(lái)看，其本質(zhì)為工具;從表現(xiàn)形式來(lái)分析，其本質(zhì)是方法;而從教學(xué)過(guò)程來(lái)看，其本質(zhì)是運(yùn)算與推理;從教育形態(tài)分析，其本質(zhì)是思考與過(guò)程. 本文以“配方法解一元二次方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，著重從教育形態(tài)的角度來(lái)揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì).

從數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程來(lái)看，要讓數(shù)學(xué)完全形式化，是絕對(duì)不可能的. 眾所周知，數(shù)學(xué)與生活有著密不可分的聯(lián)系，這種聯(lián)系越緊密，就越發(fā)凸顯出數(shù)學(xué)探索過(guò)程的重要，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的認(rèn)識(shí)與體驗(yàn)就越發(fā)深刻. 鑒于此，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中揭示知識(shí)的形成與發(fā)展的歷程，能讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)產(chǎn)生更加直觀的感受，體驗(yàn)到知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，從而獲得發(fā)現(xiàn)真理的方法.

教學(xué)設(shè)計(jì)分析

1. 教學(xué)簡(jiǎn)錄

在某次聽(tīng)隨堂課時(shí)，一位教師在執(zhí)教“配方法解一元二次方程”時(shí)，呈現(xiàn)出以下教學(xué)流程.

環(huán)節(jié)一：舊知復(fù)習(xí)，導(dǎo)入新知

師：大家在之前已經(jīng)接觸過(guò)完全平方公式，現(xiàn)在請(qǐng)大家回顧一下完全平方公式具有什么典型特征？

生1：完全平方公式為（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，其主要特征為等號(hào)左右兩邊的數(shù)據(jù)，具有一定的規(guī)律：一邊為兩個(gè)數(shù)的和或差的平方，還有一邊為兩個(gè)數(shù)的平方和“+”或“-”兩個(gè)數(shù)乘積的2倍.

師：這里提到了“+”或“-”兩個(gè)數(shù)乘積的2倍，什么時(shí)候加，什么時(shí)候減呢？

生2：這要看求兩個(gè)數(shù)和的平方還是差的平方了.

師：非常好，現(xiàn)在我們一起來(lái)做幾道練習(xí).

活動(dòng)1：在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，讓式子成立.

①x2+24x+（? ）=（x+12）2;

②x2-12x+（? ）=（x-6）2;

③x2+12x+（? ）=（x+___）2;

④x2-8x+（? ）=（x-___）2.

問(wèn)題：以上幾個(gè)式子的左邊常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)具有怎樣的聯(lián)系？遇到類似于x2+ax之類的式子，該怎樣配成完全平方式？

（學(xué)生小組合作交流）

環(huán)節(jié)二：活動(dòng)開(kāi)展，新課授課

活動(dòng)2：解方程x2+8x-9=0，師生共同探討此方程的解法.

活動(dòng)3：練一練，解以下方程.

①x2-10x+25=7;

②x2-14x=8;

③x2+2x+2=8x;

④x2+3x=1.

在學(xué)生自主解方程的基礎(chǔ)上，教師著重強(qiáng)調(diào)配方法的使用步驟，特針對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)的情況，進(jìn)行重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)與講解，以強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識(shí).

活動(dòng)4：課堂小練，解以下方程.

①x2+12x+25=0;

②x2-9x=-19;

③x2+4x-10=0;

④x2-6x-11=0;

⑤求證：式子x2+4x+5中，無(wú)論x的取值是多少，結(jié)論一定大于0.

活動(dòng)5：課堂總結(jié).

師生共同回顧本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)知識(shí)，總結(jié)、交流利用配方法解一元二次方程所遵循的基本思路與步驟，并著重強(qiáng)調(diào)配方法應(yīng)用過(guò)程中的注意事項(xiàng).

2. 教學(xué)分析

綜合分析本節(jié)課的教學(xué)，教師的活動(dòng)安排基本以配方法的實(shí)際應(yīng)用為主，試圖讓學(xué)生在反復(fù)的練習(xí)中，產(chǎn)生更加深刻的印象，達(dá)到熟能生巧的地步. 殊不知，課堂時(shí)間彌足珍貴，我們應(yīng)將課堂時(shí)間充分利用起來(lái)，本節(jié)課的重點(diǎn)是配方法的應(yīng)用，那么教師就應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生一起探索配方法應(yīng)用的具體過(guò)程，而不是將精力集中在練習(xí)訓(xùn)練中.

觀察學(xué)生所做的課堂小練，大家對(duì)于方法的掌握還不錯(cuò)，大部分學(xué)生都能順利應(yīng)用配方法來(lái)解決一元二次方程. 但細(xì)細(xì)回味，又覺(jué)得課堂過(guò)于淺顯，缺乏了數(shù)學(xué)思想的滲透過(guò)程，也沒(méi)有揭示配方法的實(shí)質(zhì)，這節(jié)課對(duì)提升學(xué)生的能力方面，還有待加強(qiáng).

經(jīng)過(guò)一定的思考，筆者認(rèn)為本節(jié)課首先要引導(dǎo)學(xué)生思考：用配方法解方程的意圖是什么？說(shuō)到底，用配方法解一元二次方程，就是將方程配成（x+m）2=n的一般形式，即將二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程形式，即（x+m）=±. 學(xué)生對(duì)于一元一次方程的解法已經(jīng)相當(dāng)熟悉，這就是將未知轉(zhuǎn)化為已知的過(guò)程，也是化歸思想在教學(xué)中的滲透過(guò)程.

本節(jié)課，我們不僅要引導(dǎo)學(xué)生如何用配方法解題，還要讓學(xué)生知道配方法應(yīng)用的實(shí)際目的是什么？這位教師將目光聚焦在學(xué)生的解題練習(xí)上，而忽略了對(duì)知識(shí)間聯(lián)系的剖析，學(xué)生也少了自主探索的過(guò)程，問(wèn)題的本質(zhì)并未暴露出來(lái).

3. 教學(xué)改進(jìn)

新課標(biāo)提出：學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)主動(dòng)、生動(dòng)、富有個(gè)性的過(guò)程，教師應(yīng)給予學(xué)生充足的時(shí)間與空間，讓學(xué)生親歷實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、驗(yàn)證、推理等過(guò)程.? 鑒于此，本節(jié)課應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)配方法進(jìn)行自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生自主揭露這種方法的本質(zhì).

制定教學(xué)目標(biāo)：

（1）根據(jù)平方根的意義，能解類似于（x+m）2=n（n≥0）之類的方程;

（2）理解配方法的目的及意義，能用它解簡(jiǎn)單的一元二次方程，感知數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.

學(xué)情分析：

在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)“開(kāi)平方”的相關(guān)內(nèi)容，對(duì)一元二次方程的概念、方程根的估算、方程解的意義、作用等都有了一定的認(rèn)識(shí)，這些內(nèi)容都是本節(jié)課教學(xué)的基礎(chǔ). 鑒于此，學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)上，有能力通過(guò)自主思考、合作交流等方式，來(lái)探討本節(jié)課的教學(xué)主題.

基于這幾點(diǎn)思考，筆者對(duì)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了如下改進(jìn).

環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)舊知，引入主題

活動(dòng)1：思考以下幾個(gè)問(wèn)題：

①如果已知一個(gè)數(shù)的平方為7，那么這個(gè)數(shù)可能是多少？②非負(fù)數(shù)a存在幾個(gè)平方根？平方根之間具有怎樣的聯(lián)系？③因式分解的完全平方公式，該如何用字母符號(hào)來(lái)表示？

環(huán)節(jié)二：自主探究，啟發(fā)思維

問(wèn)題：（1）你們會(huì)解的一元二次方程有哪些？

（2）解下列方程：①x2=5;②2x2+3=5;③x2+1+2x=5;④72+（x+6）2=102.

（3）在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究了梯子底端滑動(dòng)距離x m，滿足方程x2+12x-15=0，大家能仿照以上幾個(gè)方程的求解方法，獲得x的準(zhǔn)確值嗎？說(shuō)說(shuō)你們所遇到的困難.

（學(xué)生進(jìn)入合作交流狀態(tài)）

此環(huán)節(jié)參考了教材進(jìn)行設(shè)計(jì)，三個(gè)問(wèn)題由淺入深、逐層遞進(jìn)，讓學(xué)生的思維呈階梯狀上升.

第一個(gè)問(wèn)題具有啟迪、指向的作用，讓學(xué)生思考簡(jiǎn)單的一元二次方程的求解方法，如果學(xué)生想起來(lái)比較困難，第二個(gè)問(wèn)題則是為第一個(gè)問(wèn)題所服務(wù)，讓學(xué)生通過(guò)解幾道題來(lái)啟發(fā)思維. 如解方程x2=5，利于學(xué)生回顧平方根的意義;解方程2x2+3=5，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x2=1，根據(jù)平方根的意義可獲得x的兩個(gè)解;解方程x2+1+2x=5，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x+1）2=5，將它與x2=5進(jìn)行比較，可順利獲解;而方程72+（x+6）2=102則可轉(zhuǎn)化成（6+x）2=51，運(yùn)用以上求解方法，也可快速獲得問(wèn)題的解.

第二個(gè)問(wèn)題，待求解的方程，看似形式多樣，但每個(gè)方程都具有明確的指向性，即用開(kāi)方法，將一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程進(jìn)行求解，而且這幾個(gè)方程間又存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生的思維也隨著方程的變化而逐漸深化. 求解過(guò)程中，教師也可沿著學(xué)生的思路，適當(dāng)?shù)丶右渣c(diǎn)撥，以滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生邊轉(zhuǎn)化邊求解，從而獲得更多、更深的思想感悟.

第三個(gè)問(wèn)題則從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)開(kāi)方法的實(shí)際應(yīng)用，這是配方法的基礎(chǔ)，也是解一元二次方程的根本.

環(huán)節(jié)三：新課授課，合作學(xué)習(xí)

沿著以上解決梯子底部滑動(dòng)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)往下思考，要求學(xué)生先自主探究，再與教師積極地互動(dòng)交流. 在交流過(guò)程中，教師將本題的解題過(guò)程板書(shū)在黑板上.

環(huán)節(jié)四：課堂小結(jié)，知識(shí)梳理

要求學(xué)生用小組合作交流的方式來(lái)討論：用這種方法來(lái)解一元二次方程，應(yīng)遵循怎樣的思路與步驟，其中的關(guān)鍵點(diǎn)與難點(diǎn)是什么？

4. 設(shè)計(jì)意圖

改進(jìn)后的教學(xué)方法，通過(guò)師生積極、有效的互動(dòng)，對(duì)例題進(jìn)行講解、分析，完整地展示了規(guī)范配方法求解一元二次方程的步驟與過(guò)程，讓學(xué)生深切體驗(yàn)到這種解方程的方法與主要思路，并對(duì)解題過(guò)程中的關(guān)鍵點(diǎn)，即用轉(zhuǎn)化思想，將方程轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n（n≥0）的形式，實(shí)現(xiàn)求解.

值得注意的是，有些方程雖存在兩個(gè)異同的解，但我們應(yīng)結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際情況，檢驗(yàn)解的合理性，對(duì)于不合理的解需要舍掉. 關(guān)于梯子底部滑動(dòng)的問(wèn)題，在之前的教學(xué)中就有涉及，本節(jié)課繼續(xù)引用這個(gè)例子，不僅達(dá)到前后呼應(yīng)的作用，還讓學(xué)生心理上產(chǎn)生一種親近感，為形成良好的情感態(tài)度奠定基礎(chǔ).

課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，要求學(xué)生思考配方法解一元二次方程的步驟與思路等，主要是為了幫助學(xué)生梳理知識(shí)的脈絡(luò)，讓學(xué)生自主抽象出相關(guān)的定義，并學(xué)會(huì)自主應(yīng)用配方法來(lái)求解方程. 其中，教師還特地提出用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵點(diǎn)與難點(diǎn)是什么問(wèn)題，主要是讓學(xué)生重新審視自己的思維過(guò)程，對(duì)于易錯(cuò)點(diǎn)或思維的障礙點(diǎn)，再次鞏固、提升，以有效揭露數(shù)學(xué)本質(zhì).

幾點(diǎn)思考

1. 建構(gòu)新知顯本質(zhì)

張奠宇教授提出：數(shù)學(xué)本質(zhì)涵蓋知識(shí)間的規(guī)律、聯(lián)系、思想方法以及數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)[2]. 從中也能看出數(shù)學(xué)本質(zhì)與其他學(xué)科有著顯著區(qū)別. 要在課堂教學(xué)中彰顯知識(shí)的本質(zhì)，首先要從新知的建構(gòu)著手，通過(guò)教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，凸顯出知識(shí)的內(nèi)涵，讓學(xué)生建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得求真求簡(jiǎn)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

量子論的創(chuàng)設(shè)者普朗克認(rèn)為：數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是客觀存在的內(nèi)容，教學(xué)中幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，不僅能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，還能建立良好的認(rèn)知體系，為知識(shí)的記憶、遷移、檢索與應(yīng)用奠定基礎(chǔ). 因此，新知的建構(gòu)，最利于揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，這也是課堂重要性的體現(xiàn).

本節(jié)課，新知建構(gòu)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過(guò)新知的引入、交流、探究與合作等方式，成功地幫助學(xué)生理清了知識(shí)間的聯(lián)系，讓學(xué)生建立了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有效地揭露了知識(shí)間的邏輯關(guān)系，使得學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中，達(dá)到“見(jiàn)木成林”的能力. 通過(guò)兩節(jié)課的分析，顯然經(jīng)過(guò)改進(jìn)后的課程顯得更加厚重且有深度.

2. 親身經(jīng)歷悟本質(zhì)

課堂教學(xué)不僅僅是知識(shí)與技能的教學(xué)，更重要的是能力的培養(yǎng). 本節(jié)課，值得思考的問(wèn)題在于如何讓學(xué)生親歷知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程，并獲得良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，為揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)奠定基礎(chǔ). 第一種教學(xué)設(shè)計(jì)，將本節(jié)課非常清晰地分解為幾個(gè)環(huán)節(jié)，著重以課堂練習(xí)訓(xùn)練為主，學(xué)生看似學(xué)會(huì)了解題，但并沒(méi)有掌握知識(shí)的本質(zhì)與解方程過(guò)程中所蘊(yùn)含的基本思想，這樣的課堂過(guò)于淺顯，很難讓學(xué)生的思維獲得提升.

改進(jìn)后的教學(xué)，需要學(xué)生積極地參與互動(dòng)與探究，親身感受配方法解一元二次方程的原理. 此過(guò)程不僅揭示了問(wèn)題的本質(zhì)，還能有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

3. 滲透思想傳本質(zhì)

數(shù)學(xué)思想是人類對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象抽象與概括的認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)有可能會(huì)被遺忘，但獲得的數(shù)學(xué)思想?yún)s能伴隨人一生. 它作為知識(shí)形成與發(fā)展所依賴的基本思想，是學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)與沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的思維差異所在. 因此我們應(yīng)重視教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這也是揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)的基本途徑.

本教學(xué)過(guò)程涉及的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、方程思想、推理思想等. 改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)思想滲透于教學(xué)的方方面面，讓課堂充滿了思想性與靈動(dòng)感，學(xué)生思維也隨著數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用而螺旋式上升.

總之，作為新時(shí)代的一線數(shù)學(xué)教師，應(yīng)立足于長(zhǎng)遠(yuǎn)的“育人”目標(biāo)，摒棄“高分低能”“速成教育”的理念，認(rèn)真鉆研教學(xué)，領(lǐng)悟新課標(biāo)的精神，將揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的教育理念落到實(shí)處[3]. 讓學(xué)生在課堂中學(xué)有所得，學(xué)有所成. 實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭露過(guò)程是自然、本真、水到渠成的過(guò)程. 我們只要緊扣本質(zhì)的精髓，就能讓教學(xué)變得豐富而又實(shí)用.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 張奠宙. 教育數(shù)學(xué)是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005（03）：1-4.

[3] 史寧中. 數(shù)學(xué)教育的未來(lái)發(fā)展[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（01）1-3+18.

作者簡(jiǎn)介：蔡麗娟（1985—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.