張樹(shù)偉

[摘 要]在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)貪B透數(shù)形結(jié)合思想，以“形”的直觀彌補(bǔ)“數(shù)”的抽象，以“數(shù)”的準(zhǔn)確反哺“形”的粗略，對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)學(xué)習(xí)大有裨益，學(xué)生一旦具備了數(shù)形結(jié)合的基本思想，就能貫通圖形問(wèn)題和算術(shù)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)上的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)、互利互惠。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;概念;幾何圖形;數(shù)字運(yùn)算;解決問(wèn)題

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）14-0094-03

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)與形永遠(yuǎn)是并駕齊驅(qū)的，一直貫穿整個(gè)教學(xué)的始末，這與初中階段的代數(shù)與幾何不謀而合。代數(shù)的前身就是小學(xué)階段的算術(shù)，幾何的前身就是小學(xué)階段的平面圖形。到了高中、大學(xué)階段，它們就會(huì)巧妙融合，衍生出一門(mén)新學(xué)科——解析幾何，用代數(shù)知識(shí)解決幾何問(wèn)題，可以用函數(shù)圖像反映數(shù)量關(guān)系，數(shù)與形合二為一，辯證統(tǒng)一，不分彼此。數(shù)形結(jié)合思想的萌芽就是建立在這樣的背景下的，它可以看成是解析幾何的萌芽階段，在小學(xué)數(shù)學(xué)階段起著至關(guān)重要的作用，既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的捷徑和王牌武器。筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劷虒W(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透策略。

一、在數(shù)的概念中起步

萬(wàn)事開(kāi)頭難，數(shù)形結(jié)合思想的滲透最好從識(shí)數(shù)階段開(kāi)始，數(shù)域是小學(xué)學(xué)段的一個(gè)重頭戲，既是基礎(chǔ)，又是貫通全套教材的線索，更是全部數(shù)學(xué)知識(shí)賴(lài)以生存的土壤。但對(duì)于小學(xué)生而言數(shù)字的定義是朦朧的，因此，教師不妨借助圖形，將可視化的圖形與抽象的數(shù)字勾連起來(lái)，用清晰的圖形線條來(lái)揭示算術(shù)概念中的本質(zhì)，將抽象的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，從而為學(xué)生構(gòu)筑數(shù)學(xué)概念的樓宇，夯實(shí)地基。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)數(shù)字與圖形的和諧統(tǒng)一和高度對(duì)應(yīng)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建概念、理解概念及應(yīng)用概念的全套過(guò)程，以感性的圖形來(lái)證明和詮釋理性的概念，學(xué)生慢慢從感性材料中脫離表象，在思維深處建立抽象概念，這樣的理性概念可謂根基渾厚。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，教師可借助各種各樣的感性材料來(lái)揭示分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，從而讓學(xué)生直觀感知分?jǐn)?shù)的存在與用途。

教師在設(shè)計(jì)情境時(shí)，用符號(hào)來(lái)深入刻畫(huà)“一半”的意義。可以選用圖形符號(hào)，也可以選用文字符號(hào)，還可以選用特殊字符，如 [ ] 、[12]等，在比較與商議中凸顯符號(hào)的長(zhǎng)處：簡(jiǎn)明扼要、形象直觀，勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ)。與此同時(shí)，也要讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用圖形語(yǔ)言去表達(dá)分?jǐn)?shù)。

在詮釋分?jǐn)?shù)概念之后，講述符號(hào)背后的分?jǐn)?shù)發(fā)展史，讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)歷史文化的熏陶，充分感受分?jǐn)?shù)的發(fā)展脈絡(luò)?？梢詫⒏鱾€(gè)歷史階段分?jǐn)?shù)的表示法陳列出來(lái)，比如中國(guó)、埃及的先民們，都各自有獨(dú)特的分?jǐn)?shù)表示法（如圖1），可惜這些表示法最終沒(méi)有流傳下來(lái)，直到人們發(fā)明了分隔符號(hào)“—”，“[12]”這種表示法才算正式“落地”，并保留至今。最后，人們統(tǒng)一國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)、創(chuàng)立數(shù)軸模型，在數(shù)軸上的整數(shù)坐標(biāo)之間安插分?jǐn)?shù)坐標(biāo)。

除了借用這種半數(shù)半圖的形式深刻揭示分?jǐn)?shù)的含義，教師還可以為學(xué)生的理解途徑和渠道提供形形色色的材料，將分?jǐn)?shù)與整數(shù)統(tǒng)合到一條數(shù)軸上，幫助學(xué)生在完備的數(shù)域中捉摸分?jǐn)?shù)的地位。

在整個(gè)小學(xué)階段，許多數(shù)域（如小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等）的概念教學(xué)，教師都要精心設(shè)計(jì)，謀篇布局、通盤(pán)考慮，利用圖形的直觀優(yōu)勢(shì)，讓“形”成為最佳的佐證材料，將“數(shù)”的來(lái)源和本質(zhì)闡釋清楚，打通圖形與數(shù)字之間的壁壘，也讓“形”成為學(xué)生思維向更高處攀升的跳板，學(xué)生對(duì)數(shù)字概念的認(rèn)知自然會(huì)從淺薄走向深邃。

二、在數(shù)的運(yùn)算中加速

在算術(shù)教學(xué)中，將算法背后的算理推向前臺(tái)，直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)算法時(shí)不得不重視算理，應(yīng)該成為教師教學(xué)的一大風(fēng)向。教師應(yīng)該用心在算術(shù)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，用一些形象直觀的圖形，清楚地演繹出算理，幫助學(xué)生借助圖形促進(jìn)思維快速發(fā)展，以圖形促進(jìn)數(shù)字運(yùn)算的可感可觸，從而實(shí)現(xiàn)由算理到算法的“反哺”。

如在教學(xué)“兩位數(shù)加兩位數(shù)的進(jìn)位加法”時(shí)，教師應(yīng)該先指導(dǎo)學(xué)生擺小棒，嘗試計(jì)算19+18，再如圖2所示，結(jié)合小棒合并的直觀圖，一邊對(duì)照小棒數(shù)量一邊抽象出數(shù)字，利用小棒的捆數(shù)和豎式的對(duì)應(yīng)性（1捆對(duì)應(yīng)十位數(shù)字1，1根對(duì)應(yīng)個(gè)位數(shù)字1），推演豎式計(jì)算的過(guò)程和原理，用擺小棒與列豎式“雙線并行”的方法演繹“滿十進(jìn)1”的深刻道理。在這里，直觀操作是為了攻克計(jì)算時(shí)的思維障礙和理解難點(diǎn)。

在操作后，學(xué)生慢慢就會(huì)不依靠小棒，抽象出純數(shù)字計(jì)算的整個(gè)流程。而在后續(xù)的教學(xué)中，直觀圖并沒(méi)有失去利用價(jià)值，仍可以發(fā)揮余熱，學(xué)生可以回顧學(xué)習(xí)經(jīng)歷，利用直觀圖來(lái)反思整個(gè)數(shù)字計(jì)算過(guò)程，為豎式計(jì)算的每一步追根溯源，看看每一步計(jì)算的來(lái)源，為每一步的運(yùn)算找到原型和“母體”，為數(shù)字豎式計(jì)算找到與直觀圖形這一“母體”維系關(guān)系的“基因”。

因?yàn)樨Q式計(jì)算中的每一步都能找到它在直觀圖形中的“基因片段”，所以學(xué)生能輕易地理解并接受“滿十進(jìn)1”的合理性和必要性，實(shí)現(xiàn)算理與算法的高度統(tǒng)一。

又如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘、除法”的知識(shí)時(shí)，教師可以使用矩形塑料片作為直觀材料，讓學(xué)生通過(guò)分塊、涂畫(huà)的手工操作，將“數(shù)”的運(yùn)算變換為對(duì)“形”的裁剪取舍，從而借助圖形語(yǔ)言來(lái)認(rèn)識(shí)并掌握分?jǐn)?shù)乘、除法的算理。將數(shù)形結(jié)合的思想融入數(shù)學(xué)運(yùn)算中，為圖形和數(shù)字找到新的契合點(diǎn)，將算法的本質(zhì)揭露無(wú)遺，為算理和算法齊頭并進(jìn)、水乳交融增添新料。

三、在解題中起飛

1.用數(shù)形結(jié)合化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，厘清數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是一切算式的存在基礎(chǔ)，沒(méi)有數(shù)量關(guān)系的數(shù)字就不可能存在于同一個(gè)算式中。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系。數(shù)量關(guān)系不是憑空產(chǎn)生的，而是源于生活實(shí)際，缺少了現(xiàn)實(shí)生活情境支撐的數(shù)量關(guān)系就是空中樓閣，對(duì)一些應(yīng)用題，分析其中數(shù)量關(guān)系反而成了重點(diǎn)和難點(diǎn)，列式計(jì)算倒是其次，因其數(shù)量關(guān)系繁多龐雜，學(xué)生很難全面掌握，想一個(gè)個(gè)記憶，更是難如登天。

如果充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，就會(huì)事半功倍，特別是巧妙運(yùn)用線段圖等直觀地呈現(xiàn)各種復(fù)雜、不同類(lèi)別的數(shù)量關(guān)系，更是起到快刀斬亂麻的作用，線段圖就像是一把破解數(shù)量關(guān)系的萬(wàn)能鑰匙。

如解決“快餐店、電玩城和數(shù)碼城在香港路的同一邊。快餐店距數(shù)碼城280米，電玩城距數(shù)碼城350米?？觳偷昃嚯娡娉嵌嗌倜祝俊边@一問(wèn)題時(shí)，大部分學(xué)生只會(huì)一根筋地認(rèn)為快餐店與電玩城分別在數(shù)碼城兩側(cè)，列式為280+350=630（米）。教師如果能引導(dǎo)學(xué)生用線段圖來(lái)表示三者的位置關(guān)系，就會(huì)引起學(xué)生警覺(jué)：快餐店、電玩城和數(shù)碼城各在什么位置呢？用線段圖就能清楚、直觀地展示兩種可能，如圖3。

直觀的線段圖不但可以激發(fā)學(xué)生的濃厚興趣，還可以讓復(fù)雜的關(guān)系變明朗，讓抽象的問(wèn)題變得形象具體，幫助學(xué)生從對(duì)比強(qiáng)烈、涇渭分明的線段圖中提煉數(shù)量關(guān)系，建立基本的數(shù)學(xué)模型，提高解決問(wèn)題的效率。

2.用數(shù)形結(jié)合化抽象為直觀，巧解經(jīng)典

如雞兔同籠問(wèn)題“已知雞和兔一共有10只，一共有32條腿，求雞和兔各有幾只？”這類(lèi)問(wèn)題，傳統(tǒng)解法林林總總，列方程解答、枚舉法、假設(shè)法。方法雖多，但對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)卻感覺(jué)處處受限、處處掣肘。比如中低學(xué)段的學(xué)生，對(duì)方程一無(wú)所知，用列舉法容易掛一漏萬(wàn)、丟三落四，假設(shè)法的數(shù)量關(guān)系十分抽象，而且存在多種變化，虛實(shí)交錯(cuò)，真假難辨，弄得學(xué)生暈頭轉(zhuǎn)向，不知哪個(gè)條件是真實(shí)的，哪個(gè)條件是假設(shè)的。

那么，采用什么辦法能夠讓低年級(jí)學(xué)生也能參透這個(gè)經(jīng)典難題呢？答案就在眼前，非數(shù)形結(jié)合莫屬。

如圖4，先用圓圈表示10只動(dòng)物。假設(shè)這10只動(dòng)物全是雞，那么每只雞有2條腿，把腿補(bǔ)齊，只有20條腿，和總腿數(shù)相比，顯然還有32-20=12（條）腿沒(méi)著落。如果每只雞再增加2條腿，這樣一來(lái)就有12÷2=6（只）雞需要“多長(zhǎng)”2條腿，顯然這是不可能的，那么只有6只雞變成兔子，才能多出12條腿，于是得出兔子有6只，雞有4只。

在類(lèi)似的教學(xué)中，都可以讓學(xué)生按照題意畫(huà)圖，通過(guò)直觀圖將抽象的算術(shù)問(wèn)題直觀化，這種做法看似小兒科，其實(shí)迎合了兒童心理，因?yàn)樾W(xué)生此時(shí)正處于動(dòng)作運(yùn)算階段向邏輯運(yùn)算階段躍升的發(fā)育期，采用這種途徑不但讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，而且保護(hù)了學(xué)生的自信心。

四、在創(chuàng)新思索中發(fā)展

數(shù)形結(jié)合思想是小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的思想方法之一，也是學(xué)生最喜愛(ài)的數(shù)學(xué)思想方法之一。因?yàn)樗蟽和乃季S特點(diǎn)，以形象、具體為主，以直觀為核心。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要在數(shù)的概念建立、數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)、問(wèn)題的解決研究中等靈活使用數(shù)形結(jié)合思想，還要在學(xué)習(xí)創(chuàng)新、創(chuàng)新思考等層面做出必要的努力，以期通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更具智慧、更有深度。

以數(shù)學(xué)問(wèn)題“林虹水果超市近期購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果120箱，比購(gòu)進(jìn)的橘子的3倍少15箱。問(wèn)購(gòu)進(jìn)橘子多少箱？”的教學(xué)為例。

1.放手一試，發(fā)現(xiàn)端倪

首先采取放手策略，讓學(xué)生在自主思考的前提下進(jìn)行嘗試。教學(xué)中教師切忌急躁，要給學(xué)生一個(gè)讀懂問(wèn)題信息、分析思考問(wèn)題的機(jī)會(huì)，更要給他們一個(gè)自我體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。

學(xué)生紛紛投入問(wèn)題的研讀和分析之中，并按照自己的思考進(jìn)行解讀。有學(xué)生提出：因?yàn)樘O(píng)果的箱數(shù)與橘子箱數(shù)的3倍有關(guān)，所以就有120÷3=40（箱），再用40+15，得結(jié)果是55箱。也有學(xué)生提出新的思路：應(yīng)該是120×3-15，結(jié)果是345箱，這樣的思考才符合題意。

其次，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同思考進(jìn)行必要的甄別。隨著不同結(jié)論的出現(xiàn)，學(xué)生也會(huì)驚訝無(wú)比。此時(shí)，就有學(xué)生提出疑問(wèn)：同樣的一個(gè)問(wèn)題，為什么不同的思考會(huì)出現(xiàn)不一樣的結(jié)果呢？這是沒(méi)有道理的。疑問(wèn)給學(xué)生以震撼，也誘使學(xué)生深思問(wèn)題研究中的滋味。

2.運(yùn)用方法，助力思考

有學(xué)生提出：可以用結(jié)論去驗(yàn)證，看看是不是有正確的結(jié)果。隨著這個(gè)思路，學(xué)生便開(kāi)始驗(yàn)算。在驗(yàn)算中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，對(duì)于答案55箱，結(jié)合習(xí)題的關(guān)鍵點(diǎn)“比購(gòu)進(jìn)的橘子的3倍少15箱”，驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)，55×3-15=150（箱），不符合習(xí)題中的信息“120箱”，它是錯(cuò)誤的。再驗(yàn)算345箱，345×3-15，無(wú)須計(jì)算下去，一眼就能看出這個(gè)答案多么滑稽。

面對(duì)此情景，教師就得引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，尋找記憶中的方法策略。此時(shí)，畫(huà)圖策略就會(huì)被提出。緊接著，學(xué)生就積極參與到畫(huà)線段圖來(lái)研究問(wèn)題的學(xué)習(xí)之中。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的畫(huà)圖，以及對(duì)圖例的解讀，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：120箱比橘子箱數(shù)的3倍少15箱，因此補(bǔ)上15箱后的數(shù)量正好是橘子箱數(shù)的3倍，得120+15=135（箱），135÷3=45（箱）。隨著驗(yàn)算的開(kāi)展，他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)思考是可靠的。

就在此時(shí)，也有學(xué)生提出：看線段圖，可以把120箱平均分成3份，每份40箱，還要把少的那15箱也平均分成3份，每份5箱，把它們合起來(lái)也是45箱。話音一落，課堂就掀起一片爭(zhēng)論聲，隨著思考和爭(zhēng)辯的推進(jìn)，學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)這一思考也是有道理的。由此，創(chuàng)新思考的“種子”就會(huì)在學(xué)生的腦海中埋下。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，以“形”的直觀彌補(bǔ)“數(shù)”的抽象，以“數(shù)”的準(zhǔn)確反哺“形”的粗略，變抽象為具體，化無(wú)形為有形，實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何兩大數(shù)學(xué)分支的早期融合。

（責(zé)編 楊偲培）