宋亞和

[摘 要]學(xué)習(xí)不是簡單的信息積累，而是新舊知識經(jīng)驗(yàn)相互碰撞后又重新組合的認(rèn)知過程。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在操作與思考的過程中積淀、在活動(dòng)中逐步積累。通過操作、探究、建模和運(yùn)用等活動(dòng)平臺，締結(jié)“手腦聯(lián)盟”，可幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)活動(dòng);經(jīng)驗(yàn);操作

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）14-0082-03

活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生進(jìn)行理性思維不可或缺的基礎(chǔ)。杜威說過，教育就是繼續(xù)不斷地重組經(jīng)驗(yàn)?？梢娊?jīng)驗(yàn)之于教育的重要性。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在操作與思考的過程中積淀、在活動(dòng)中逐步積累。那么，如何讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的過程中積累經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

一、動(dòng)手操作，直觀感知，積累操作經(jīng)驗(yàn)

行為操作經(jīng)驗(yàn)的獲得，往往要借助雙手來實(shí)現(xiàn)，而行為操作是進(jìn)行抽象的直接素材。小學(xué)生的思維是從以具體形象思維為主逐步過渡到以抽象邏輯思維為主的形式，但這種抽象邏輯思維在很大程度上是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，具有很大成分的具體形象性。直觀的感知活動(dòng)是學(xué)生思維活動(dòng)的窗戶，是學(xué)生認(rèn)識事物本質(zhì)的開端。借助于行為操作，將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，可化難為易，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，讓學(xué)生在動(dòng)手的過程中不斷積累行為操作經(jīng)驗(yàn)。

以特級教師劉德武執(zhí)教的“最小公倍數(shù)”的活動(dòng)課教學(xué)為例。

一只猴子的身體和尾巴分別在一個(gè)正六邊形和一個(gè)正四邊形上（邊長相等，并平靠在一起），讓學(xué)生猜正四邊形沿著正六邊形的邊轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，猴子的尾巴和身體就又能重新接上。學(xué)生異口同聲猜為6次。隨即教師轉(zhuǎn)動(dòng)正四邊形，當(dāng)數(shù)到6時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不對。學(xué)生改猜為12次，關(guān)于它的對與錯(cuò)，教師未給出判斷。接著，教師給每組成員發(fā)一套學(xué)具——兩個(gè)正多邊形拼成的動(dòng)物圖片。學(xué)生利用“轉(zhuǎn)”“數(shù)”的方式研究的同時(shí)，回答兩個(gè)問題：（1）需要轉(zhuǎn)動(dòng)多少次，這些動(dòng)物的尾巴和身體又能夠重新接上呢？（含它們各轉(zhuǎn)了多少圈）（2）研究這個(gè)問題的過程與我們學(xué)過的哪些知識有密切的聯(lián)系？

學(xué)生匯報(bào)：獅子的圖案（獅身為正九邊形，獅尾為正六邊形）需要轉(zhuǎn)動(dòng)18次;白馬的圖案（馬身為正八邊形，馬尾為正六邊形）需要轉(zhuǎn)動(dòng)24次;烏龜?shù)膱D案（龜身為正五邊形，龜尾為正四邊形）需要轉(zhuǎn)動(dòng)10次（此答案有誤）。于是教師立刻增加了兩個(gè)小組來轉(zhuǎn)動(dòng)烏龜圖案，實(shí)踐后驗(yàn)證了烏龜圖案其實(shí)需要轉(zhuǎn)動(dòng)20次。隨后，教師將獅子、白馬圖案互換，引導(dǎo)學(xué)生觀察轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)與圖案有關(guān)，還是與圖形有關(guān)。再研究轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)與正多邊形的邊數(shù)有什么關(guān)系，以及各轉(zhuǎn)動(dòng)了多少圈。學(xué)生回答后教師板書：（9，6）=18，18÷9=2，18÷6=3 ……（獅子）;（8，6）=24，24÷8=3 ，24÷6=4……（白馬）;（5，4）=20，20÷5=4，20÷4=5……（烏龜）。最后，再次出示一只猴子的身體與尾巴的圖案（猴身為正四邊形，猴尾為正三角形），讓學(xué)生說一說需要轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)。學(xué)生異口同聲：“ 12次?！痹诮處煹淖穯栂?，學(xué)生總結(jié)出了規(guī)律：轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)就是兩個(gè)正多邊形邊數(shù)的最小公倍數(shù)。

“智慧自動(dòng)作發(fā)端?！睂W(xué)生的學(xué)習(xí)最初往往是從“動(dòng)作”開始的。因?yàn)樗麄冋J(rèn)識事物帶有具體性和直觀形象性，特別需要先從“感知窗戶”里得到一定的感性認(rèn)識，作為升華到理性認(rèn)知的誘因和基礎(chǔ)。上述劉德武教師設(shè)計(jì)的“最小公倍數(shù)”活動(dòng)，把抽象的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)寓于好玩有趣的實(shí)踐操作之中——?jiǎng)游锏奈舶娃D(zhuǎn)動(dòng)多少次才能和身體接上。讓學(xué)生經(jīng)歷了“猜一猜、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、數(shù)一數(shù)、說一說”等數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，多種感官的協(xié)同參與，使學(xué)生獲得豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。試想，學(xué)生如果沒有經(jīng)過親自實(shí)踐、主動(dòng)體驗(yàn)，也沒有直觀感知，還能獲得這樣的行為操作經(jīng)驗(yàn)嗎？

二、深入探究，形成表象，積累探究經(jīng)驗(yàn)

探究經(jīng)驗(yàn)是指圍繞已有問題的解決展開的數(shù)學(xué)活動(dòng)而獲得的經(jīng)驗(yàn)，既有外顯的行為層面（雙手）的操作活動(dòng)，也有內(nèi)隱的思維層面（大腦）的操作活動(dòng)。探究的價(jià)值不僅在于獲取第一手的直接感受、體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)，它的價(jià)值還是獲取問題解決的策略：先通過有限的操作，形成比較清晰的表象，然后總結(jié)方法、規(guī)律，最后達(dá)到了不需要依賴操作（運(yùn)用大腦思考）就能直接解決問題。

例如，教學(xué)平移和旋轉(zhuǎn)內(nèi)容時(shí)，筆者于課中組織三個(gè)層面的操作活動(dòng)。一是研究平移了多少。利用動(dòng)畫顯示房子圖的平移運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生說平移了多少。當(dāng)學(xué)生無法表述時(shí)，筆者添上網(wǎng)格，再讓學(xué)生觀察房子圖平移了幾格。學(xué)生有說4格，有說6格，隨后，筆者讓學(xué)生拿出剪好的房子圖套在網(wǎng)格上平移。學(xué)生驗(yàn)證完畢后，一致認(rèn)為房子圖向右平移了6格。二是研究平移的方法。筆者提問：“你是怎么一眼就看出房子圖向右平移了6格的呢？”學(xué)生想出了找對應(yīng)點(diǎn)的方法。筆者與學(xué)生一起邊移邊數(shù)，動(dòng)畫出現(xiàn)1格，2格……6格的情形。學(xué)生在操作中明白了圖形平移的兩個(gè)要素——方向與距離，并嘗試運(yùn)用數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的方法來數(shù)金魚圖、火箭圖各向什么方向平移了幾格。三是圖形的平移操作。讓學(xué)生平移“試一試”中的平行四邊形。展示多種利用對應(yīng)點(diǎn)平移的方法，交流點(diǎn)評并進(jìn)行優(yōu)化，最終歸納總結(jié)平移的方法與注意點(diǎn)。

讓學(xué)生通過操作探究來學(xué)習(xí)圖形的平移知識，符合小學(xué)生好奇、好動(dòng)和好勝的年齡特點(diǎn)。學(xué)生通過一系列的探究活動(dòng)，獲得了圖形平移的表象：整個(gè)圖形的各個(gè)對應(yīng)點(diǎn)都向同一個(gè)方向平移，移動(dòng)的格子數(shù)也全都相同。動(dòng)手操作作為一種“痕跡”，一種“感性映像”，既是學(xué)生思維的中介，也是形象思維的基本元素，它在直觀和抽象之間搭起了橋梁，有效地支撐起學(xué)生的思維，讓學(xué)生在以后的活動(dòng)中不再需要依賴動(dòng)手就能得到解決總問題的方法。

三、構(gòu)建模型，積累思維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，可以是直接的經(jīng)驗(yàn)，也可以是間接的經(jīng)驗(yàn)?！皵?shù)學(xué)是思維的體操”，學(xué)生學(xué)會(huì)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。在思維活動(dòng)中，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)生成是在思維層面發(fā)生的，教師可以從現(xiàn)實(shí)生活或者具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，逐步建立模型，進(jìn)而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生積累思維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例如，教學(xué)“加法結(jié)合律”時(shí)，筆者出示情境圖（圖略），圖中有28個(gè)男生和17個(gè)女生在跳繩，有23個(gè)女生在踢毽子，參加活動(dòng)的一共有多少人？

師：怎么列式？

生1：28+17+23。

師：這個(gè)算式要先算跳繩的有多少人，怎么辦？

生2：添上括號，（28+17）+23。

師：那要先算女生有多少人，怎么辦？

生3：28+（17+23）。

師（板書）：（28+17）+23=28+（17+23）。

師：請算一算下面這些算式，○里能填“=”嗎？

（45+25）+13○45+（25+13）

（36+18）+22○36+（18+22）

（按“觀察、猜想、舉例、驗(yàn)證、得出結(jié)論”的順序，學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)）

師：這三個(gè)等式，左邊先把哪兩個(gè)數(shù)相加？右邊呢？

（學(xué)生猜想：三個(gè)數(shù)相加，可能有什么規(guī)律）

師（提示）：在作業(yè)紙上舉例算一算，比一比。

（學(xué)生得出結(jié)論，分組匯報(bào)）

生4：三個(gè)數(shù)相加，可以先把前兩個(gè)數(shù)相加，也可以先把后兩個(gè)數(shù)相加，結(jié)果不變。

師：你們覺得用文字表述怎樣？

生（齊）：麻煩！

師：可以怎樣表述得更加簡潔一些？

生5：（甲+乙）+丙=甲+（乙+丙）。

生6：（a+b）+c=a+（b+c）。

師：請大家觀察（a+b）+c=a+（b+c），什么變了？什么沒變？

生（齊）：運(yùn)算順序變了，和沒變，加數(shù)也沒變。

師：大家總結(jié)得很好，這樣的運(yùn)算規(guī)律就是加法結(jié)合律。

沒有思維活動(dòng)便不能把握事物的本質(zhì)，也無法積累思維經(jīng)驗(yàn)?！皵?shù)學(xué)模型”具有簡約、有效的描述事物本質(zhì)的特點(diǎn)，契合著思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”。上述教學(xué)借助于體育活動(dòng)的情境引出加法結(jié)合律的知識，讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，動(dòng)眼觀察，動(dòng)腦思維，經(jīng)歷了分析、比較、猜想、驗(yàn)證、判斷、歸納概括等一系列數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，建立起數(shù)學(xué)模型，即將加法結(jié)合律簡約地表述成（a+b）+c=a+（b+c）。當(dāng)學(xué)生不再需要借助任何直觀材料，脫離行為操作時(shí)，便能站在理性的層面對事物的本質(zhì)屬性與規(guī)律進(jìn)行深刻把握，積累數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、綜合運(yùn)用，體悟策略，積累復(fù)合的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

復(fù)合的經(jīng)驗(yàn)是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行問題解決（包括發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題等）的經(jīng)驗(yàn)。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力?！痹诮虒W(xué)中，教師要讓學(xué)生親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題以及分析問題、解決問題的全過程，學(xué)習(xí)、運(yùn)用相關(guān)的解題策略，他們才能體會(huì)策略的實(shí)際價(jià)值，獲得直接經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展創(chuàng)新意識，從而不斷地積累復(fù)合的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例如，教學(xué)“解決問題的策略”時(shí)，筆者向?qū)W生出示例題。

全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？

師：請同學(xué)們先在組內(nèi)討論如何解決這道題。

生1：我是通過畫圖來想的。（如圖1）假設(shè)全部都是坐大船，就畫10只大船，每只船坐5人，一共坐50人，比實(shí)際的42人多了8人，就要從50人中畫掉8人。因?yàn)橐恢淮嫷?人，所以一共要在4只船上畫掉人數(shù)。即小船租4只，大船租6只。

師：關(guān)于他的思考過程，你們有什么不明白的地方嗎？

生2：為什么每只船只畫掉2人？

生1：因?yàn)槊恐淮蟠让恐恍〈嘧?人，當(dāng)從一只大船上畫掉2人，還剩下3人時(shí)，這只大船就變成小船了。

師：是啊，用假設(shè)法解決這個(gè)問題，我們不僅要會(huì)把小船看成大船，還要會(huì)根據(jù)多出的8人以及每只大船比每只小船多坐2人的情況，再把大船換回小船。還有不同的想法嗎？

生3：我假設(shè)全部都是租小船，和生1的計(jì)算結(jié)果一樣。

生4：我用列舉法，從中很容易就可以看出大船租6只，小船租4只。

生5：我假設(shè)大船和小船各租一半，并列表表示（如表1）。

師：那么與42人相比又有什么不同呢？（補(bǔ)充表格，如表2）

師：接下來如何進(jìn)行調(diào)整呢？

生5：現(xiàn)在還有2人沒有座位，說明要增加大船的只數(shù)并減少小船的只數(shù)（如表3）。

教師重視引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)策略應(yīng)用的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的策略意識，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用策略、內(nèi)化策略，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的改造和重組。在上述教學(xué)中，教師放手讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)筆自主探索，讓學(xué)生的思維得到真正的磨礪。當(dāng)遇到困難時(shí)，學(xué)生能自覺地與同伴合作，溝通與分享真實(shí)的、豐富的思維過程，最終收獲喜人的思維成果——靈活運(yùn)用畫圖和列表策略。學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題，有著不同的策略和思維過程。通過畫出直觀的示意圖進(jìn)行假設(shè)替換、進(jìn)行數(shù)據(jù)的有序列舉、列表調(diào)整數(shù)據(jù)等，讓學(xué)生在自主建構(gòu)過程中，積累了較為豐富的分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并成為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的活性資源。

陶行知說過：“中國教育革命的對策是手腦聯(lián)盟，結(jié)果是手與腦的力量都可以大到不可思議?！苯處熗ㄟ^豐富多彩的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，在且“玩”且“思”中締結(jié)“手腦聯(lián)盟”，將“玩”“思”結(jié)合，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，促進(jìn)他們從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”，并能在一次次的活動(dòng)過程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，催開“經(jīng)驗(yàn)之花”。這樣有助于學(xué)生形成比較完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)，對后繼的學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的影響。

（責(zé)編 覃小慧）