錢德春　黃飛

【摘 要】 初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的風(fēng)向標(biāo).基于對(duì)試題“內(nèi)容基礎(chǔ)性與試題創(chuàng)新性、問題探究性與指向本真性、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性與思維引導(dǎo)性、思路開放性與方法多樣性”等特點(diǎn)的分析，提出了“立足基礎(chǔ)、關(guān)注本質(zhì)，源于教材、靈動(dòng)生成，培養(yǎng)能力、發(fā)展素養(yǎng)”的幾何教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】 中考數(shù)學(xué);試題特點(diǎn);立足基礎(chǔ);關(guān)注本質(zhì);發(fā)展素養(yǎng)

作為教學(xué)評(píng)價(jià)的有效載體，初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試具有“以評(píng)促教、引導(dǎo)教學(xué)”的作用，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的風(fēng)向標(biāo).2022年泰州數(shù)學(xué)卷第25題（以下簡(jiǎn)稱“泰州卷第25題”）命制了一道集計(jì)算、作圖與證明于一體的幾何問題，試題形式新穎獨(dú)特、順暢自然，解題方法開放多樣、聚焦本質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)閱讀與理解能力、幾何直觀與想象能力、操作探究與實(shí)踐能力、邏輯推理與思維能力、方法遷移與反思能力.本文基于考試數(shù)據(jù)及問題、試題思路與特點(diǎn)的分析，談?wù)剬?duì)初中幾何“立足基礎(chǔ)、關(guān)注本質(zhì)、指向素養(yǎng)”的教學(xué)啟示與建議.

1 真題及簡(jiǎn)解呈現(xiàn)

1.1 真題呈現(xiàn)

已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).

（1）如圖1-①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E.若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng);

（2）在圖1-②中，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A;（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（3）如圖1-③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF，DF.若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于12CD·AB，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.

1.2 試題簡(jiǎn)解

這里展示命題者提供的其中一種方法：

（1）解：因?yàn)镈E∥AB，所以∠CED=∠CAB，又因?yàn)椤螩=∠C，所以△CED∽△CAB，所以CDCB=DEAB，即615=DE5，所以DE=2;

（2）作法（記為

方法1）：如圖2，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，以D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫弧交AC邊于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求;

（3）證明：如圖3，作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，作FH⊥BC，垂足為H，所以S△FBC=12BC·FH，又因?yàn)镾△FBC=12CD·AB，所以CD·AB=BC·FH，所以CDCB=FHAB，由（1）知CDCB=DEAB，所以FH=DE，因?yàn)镈E=DF，所以FH=FD，而FD為⊙F的半徑，所以直線BC與⊙F相切.

2 數(shù)據(jù)與原因分析

2.1 數(shù)據(jù)分析

該題是位于試卷倒數(shù)第二題的幾何壓軸題，滿分為12分，實(shí)測(cè)均分為4.8，難度系數(shù)為0.4，其中第（1），（2），（3）問得分率分別為0.6，0.4，0.2.學(xué)生普遍反映第（2），（3）兩問有一定的難度.

2.2 原因分析

第（2）問的尺規(guī)作圖問題方法較多，是兩種基本尺規(guī)作圖的組合.不少學(xué)生感到棘手的原因大致有3個(gè)方面：一是思路缺失，不能有效建立所要作的角與已知角之間的關(guān)聯(lián);二是沒有聯(lián)系意識(shí)，難以發(fā)現(xiàn)小題之間的關(guān)聯(lián)，從而發(fā)揮第（1）問中“DE∥AB”的鋪墊作用;三是機(jī)械與套路現(xiàn)象嚴(yán)重，思維固化，沒有真正理解尺規(guī)作圖“確定滿足條件的線與線交點(diǎn)”的本質(zhì).

第（3）問考查圓的切線的判定.用定義判定BC與以F為圓心、DF長(zhǎng)為半徑的圓相切，只要證明直線BC到圓心F的距離等于圓的半徑DF即可，這是圓的切線最基本、最本質(zhì)的判定方法.學(xué)生存在4方面的思維障礙：一是受“證切線連半徑證垂直”的思維定勢(shì)影響，糾結(jié)于如何證明DF⊥BC;二是不能將條件S△FBC=12CD·AB與第（1）問的“DE∥AB”有機(jī)結(jié)合得到FD=FH;三是得到S△FBC=12BC·DF后“毫無道理”地直接得到DF⊥BC;四是得到FD=FH后不知所措.

3 解題思路分析

這里重點(diǎn)分析第（2），（3）兩問的解題思路.第（2）問的尺規(guī)作圖要明晰探究的路徑，把握作圖本質(zhì);第（3）問的幾何證明要關(guān)聯(lián)條件與目標(biāo)，掌握分析方法.

3.1 尺規(guī)作圖要明晰探究的路徑，把握作圖本質(zhì)

第（2）問的尺規(guī)作圖問題的探究路徑是：根據(jù)題設(shè)與所求結(jié)論畫出“效果圖”，探索連接條件與結(jié)論的“示意圖”，逐步建立具有操作程序的“施工圖”.在AC邊上確定“點(diǎn)F”的位置的本質(zhì)是畫出某線（直線或圓?。┡c直線AC的交點(diǎn).

問題可從兩方面思考：一方面，假設(shè)點(diǎn)F已經(jīng)作出，再執(zhí)果索因，通過操作探究與邏輯推理找到作圖方法;另一方面，需要整體與聯(lián)系的觀點(diǎn).通常情況下，解題者有這樣的經(jīng)驗(yàn)：同一試題的幾個(gè)問題之間應(yīng)該相互聯(lián)系，而不是孤立的.第（1）問的作用不只是“求DE的長(zhǎng)”，若在

圖4圖1-①中畫出DE∥AB后立即發(fā)現(xiàn)：∠DEC=∠A，而∠DFA=∠A，從而有∠DFA=∠DEC，即∠DFE=∠DEF，此時(shí)DF=DE（如圖4），只要以D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫圓弧即可.顯然聯(lián)想到DE∥AB是作圖的關(guān)鍵.

這種作圖思路最自然、最簡(jiǎn)捷，但方法不是唯一的，從不同的角度可以得到不同的方法，這將在下文中的試題特點(diǎn)分析中加以闡述.

3.2 幾何證明要關(guān)聯(lián)條件與目標(biāo)，掌握分析方法

數(shù)學(xué)解題通常的策略是：一是弄清問題——要解決什么問題、條件是什么;二是建立聯(lián)系——條件與結(jié)論之間的聯(lián)系、當(dāng)前問題與已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)間的聯(lián)系;三是問題表征——用不同的方式將條件、結(jié)論進(jìn)行表征;四是回到定義——將問題用最基本、最源頭的方法思考.

第（3）問的思路分析與證明也遵循波利亞的“解題四步驟”，從條件與結(jié)論兩個(gè)方面尋找思路.從條件看，由“△FBC的面積等于12CD·AB”聯(lián)想到三角形面積公式，過點(diǎn)F作FH⊥BC于H有S△FBC=12BC·FH，從而CD·AB=BC·FH，所以ABBC=FHCD①;從結(jié)論看，要證明直線BC與以FD為半徑的⊙F相切，同樣考慮作FH⊥BC，問題解決需要FH=FD.聯(lián)系問題（1）中“DE∥AB”的條件，過點(diǎn)D作DE∥AB得到ABBC=DECD②.比較①與②有FH=DE，而DE=DF，故FH=FD獲證，從而使問題順利解決，這里運(yùn)用了圓的切線證明中最基本的方法——定義法.

4 試題特點(diǎn)分析

從上述分析看出：試題體現(xiàn)了內(nèi)容基礎(chǔ)性與試題創(chuàng)新性、問題探究性與指向本真性、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性與思維引導(dǎo)性、思路開放性與方法多樣性等特點(diǎn).

4.1 內(nèi)容基礎(chǔ)性與試題創(chuàng)新性

試題基礎(chǔ)性體現(xiàn)在“源于教材基礎(chǔ)性習(xí)題”與“立足基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法”兩個(gè)方面.

一是試題來源于教材基礎(chǔ)性習(xí)題.以第（2）問為例：試題源自蘇科版七年級(jí)上冊(cè)“第12章證明”第156頁(yè)的習(xí)題7.原題為：

已知：如圖5，在△ABC中，∠A=∠ABC，直線EF分別交AB、AC和CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、F.求證：∠F+∠FEC=2∠A.

在保持∠BAC=∠ABC（即AC=BC）不變的前提下，將點(diǎn)A、B移至如圖6-①所示的位置，上述結(jié)論同樣成立，即∠F+∠FEC=2∠BAC;刪除線段AC、BC，延長(zhǎng)FE、BA相交于點(diǎn)G，圖形其他部分不變，即∠EAB=∠FBG（如圖6-②），該圖形與“泰州卷第25題”的圖1-②基本一致;若將段AE由已知改為求作，即點(diǎn)E位置給定，在BG上求作點(diǎn)A，使∠EAB=∠FBG（如圖6-③），便得到了第（2）問的尺規(guī)作圖問題.

二是試題立足基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)尺規(guī)作圖提出明確要求：“經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力.”尺規(guī)作圖“應(yīng)了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法”[1].盡管問題（2）的方法較多，但主要考查了課程標(biāo)準(zhǔn)要求的下列幾種基本作圖中的兩種組合：“以已知點(diǎn)為圓心、已知長(zhǎng)為半徑畫弧”“作一個(gè)角等于已知角”“作一條線段的垂直平分線”“過一點(diǎn)作已知直線的垂線”“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”.

試題創(chuàng)新性體現(xiàn)在試題圖形特征、結(jié)論要求與解題方法3個(gè)方面.從圖形特征上看，“△ABC及BC邊上一點(diǎn)D”是一條明線、“DE∥AB”是一條“由明到暗”的主線，“一明一暗”兩條線貫穿于試題始終;從結(jié)論要求上看，試題通過3個(gè)小問，將幾何計(jì)算、幾何作圖與幾何證明有機(jī)結(jié)合;從解題方法上看，第（2）問無論何種方法都包含兩種作圖，但“作一個(gè)角等于已知角”不可或缺;第（3）問要證圓的切線必須有FD=FH，該結(jié)論的得出需將三角形面積表達(dá)式與線段成比例有機(jī)結(jié)合.試題無論是圖形特點(diǎn)、結(jié)論要求，還是解題方法，既在預(yù)料之外又在情理之中，體現(xiàn)了創(chuàng)新性.

4.2 問題探究性與指向本真性

“數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識(shí)與探究現(xiàn)實(shí)世界的觀察方式.”[1]設(shè)計(jì)具有探究性的幾何試題，以引導(dǎo)學(xué)生“通過實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形”[1]是數(shù)學(xué)命題的重要任務(wù).“泰州卷第25題”具有較強(qiáng)的探究性.第（2）問中，如何在AC邊上確定點(diǎn)F，使∠DFA=∠A？假設(shè)點(diǎn)F已經(jīng)確定，連接DF.由于所作∠DFA的頂點(diǎn)F未知，而點(diǎn)D及∠A已經(jīng)確定，除了受第（1）問“DE∥AB”的啟發(fā)得到思路外，還可嘗試將角轉(zhuǎn)化.如圖7-①，分別延長(zhǎng)BA，DF到G，Q，有∠GAF=QFA，作∠MAF=∠GAF，有AM∥DQ，即只要作DQ∥AM即可;若BA，DF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P（如圖7-②），則PA=PF，點(diǎn)P在AF的垂直平分線上，由于點(diǎn)F待定，可作DM∥AF，將∠PAF、∠PFA分別“搬”到∠PMD、∠PDM處，作∠FDM=∠AMD或DM的垂直平分線即可;考慮到∠BAC=∠AFD=∠FDC+∠C，將∠C“搬”至∠BAM處，則有∠MAC=∠FDC（如圖7-③），從而只要作∠FDC=∠MAC即可……這些探究與嘗試有些可能難以奏效，但始終充滿了探究的味道.

盡管試題探究味道濃厚，但最終指向本真、關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì).以第（3）問為例：只要用定義法證明直線BC與以FD為半徑的⊙F相切，無需復(fù)雜的推理、運(yùn)算過程，正如波利亞所說的“回到定義”，這種方法反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)了問題指向的本真性.4.3 結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性與思維引導(dǎo)性

結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的試題有利于引導(dǎo)學(xué)生的思維方向.該題依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)了既相互獨(dú)立又相互關(guān)聯(lián)、具有梯度的3個(gè)小問，“DE∥AB”是聯(lián)系這3小問的紐帶.思維引導(dǎo)性體現(xiàn)在：第（1）問考查相似三角形的性質(zhì)，更有為后面兩問作鋪墊的作用，以此引領(lǐng)學(xué)生用聯(lián)系的觀念分析、解決問題.在思維受阻時(shí)，回過頭來反思“DE∥AB”的多重作用，會(huì)有峰回路轉(zhuǎn)、柳暗花明的效果.問題解決經(jīng)歷了先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、再用邏輯推理證明結(jié)論的過程，形成了一個(gè)完整的思維鏈.

4.4 思路開放性與方法多樣性

利用結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性引導(dǎo)解題者思維的命題方式，并非限制學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)新性.試題的思路是開放的，方法也是多樣的，為學(xué)生演繹更多精彩提供了可能.

對(duì)于第（2）問的尺規(guī)作圖問題，除了受問題（1）中“DE∥AB”的啟發(fā)得到方法1外，還可以從不同的角度分析，有不同的解決方案，這為學(xué)生解決問題提供了選擇性，讓不同的學(xué)生有不同的收獲.這里介紹幾種典型方法.

方法2 如圖8-①，以B為圓心、BA長(zhǎng)為半徑畫圓弧交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接BG，過點(diǎn)D作BG的平行線交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求作.

方法3 如圖8-②，過點(diǎn)D作DM∥AC交AB于點(diǎn)M，作DM的垂直平分線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接DP交AC于點(diǎn)F，或作∠PDM=∠AMD，射線PD交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求作.

方法4 如圖8-③，設(shè)G在BA的延長(zhǎng)線上，作射線AM交BC于點(diǎn)M，使∠MAC=∠GAC，過點(diǎn)D作DF∥AM交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求作.

方法5 如圖9-①，作射線AM交BC于點(diǎn)M，使∠BAM=∠C，以DC為一邊作∠CDF=∠MAC，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求作.

方法6 如圖9-②，作射線CM交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，使∠MCA=∠BCA，以DC為一邊作∠CDF=∠AMC，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求作.

這些方法可歸納為2種類型：一類是“平行線”+“等角”;另一類是“兩次等角”.其中，方法1，2，3是先作平行線，再作等角，方法1是用畫弧由同圓半徑相等得到等角，方法2是作一個(gè)角等于已知角得等角，方法3是作垂直平分線得等角;方法2，4是先作等角，再作平行線;方法5，6是作兩次等角.

對(duì)于問題（3），除了用定義證明外，還可直接證明FD⊥BC進(jìn)而說明直線BC與以F為圓心、FD為半徑的圓相切.因?yàn)镕H⊥BC，在證得FD=FH后，只要證明點(diǎn)H與D重合.假設(shè)點(diǎn)H與D不重合，由于FH⊥BC，根據(jù)“點(diǎn)到直線垂線段最短”有FD>FH，這與FD=FH矛盾，說明點(diǎn)H與D重合，所以FD⊥BC.這種方法本質(zhì)上是反證法.

開放的思路與多樣的方法兼顧了不同學(xué)生的思維特質(zhì)，為學(xué)生提供了解決問題的更多可能性.學(xué)生可以通過操作探究尋找解題策略進(jìn)而解決問題，體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念.

5 教學(xué)啟示與建議

考試數(shù)據(jù)與原因、試題特點(diǎn)與解題思路分析給我們的啟示是：幾何教學(xué)要立足基礎(chǔ)、關(guān)注本質(zhì)，源于教材、靈動(dòng)生成，培養(yǎng)能力、發(fā)展素養(yǎng).

5.1 立足基礎(chǔ)，關(guān)注本質(zhì)

“立足基礎(chǔ)、關(guān)注本質(zhì)”包含三層意思：一是強(qiáng)化“四基”教學(xué).幾何教學(xué)要重視基本概念形成過程和內(nèi)涵與外延、基本定理和圖形與概念之間的關(guān)系、積累分析與解決問題以及幾何直觀與推理的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);二是“回到定義”思考.“數(shù)學(xué)是一門特別強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，而概念是思維的起點(diǎn)”[3].許多數(shù)學(xué)問題的解決無需特殊技巧與技能，而是從基本概念與原理出發(fā)，追溯問題本源，追尋數(shù)學(xué)本質(zhì);三是強(qiáng)化“通性通法”.解題教學(xué)要重視多數(shù)人可以掌握的一般規(guī)律與策略.適合的才是最好的，學(xué)生最容易想到的方法才是好方法，所謂的“技巧、特法”是掌握基本方法后的頓悟.

如“泰州卷第25題”第（3）問中圓的切線判定就運(yùn)用了最基本的“定義法”，這就要求學(xué)生理解圓的切線“與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)”這個(gè)概念的內(nèi)涵及不同表征——到圓心距離等于圓的半徑、經(jīng)過圓的半徑外端且垂直于這條半徑.前者是定義的數(shù)學(xué)本質(zhì)，后者是概念的引伸結(jié)論.教學(xué)中，只有強(qiáng)化了概念這個(gè)“綱”，學(xué)生才能“綱舉目張”.

5.2 源于教材，靈動(dòng)生成

教材作為學(xué)生學(xué)習(xí)的載體，經(jīng)過編寫者的精心設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn)，充分體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念、目標(biāo)與要求，關(guān)照了學(xué)生的認(rèn)知心理、基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu).所謂“源于教材、靈動(dòng)生成”即數(shù)學(xué)教學(xué)既要尊重教材，從教材出發(fā)，發(fā)揮各欄目和例習(xí)題的作用，同時(shí)又不能拘泥于教材，要靈動(dòng)地對(duì)教材問題進(jìn)行變式、拓展、延伸，挖掘教材內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值.

如“泰州卷第25題”3個(gè)小問中，第（1）問直接源自教材，第（2）問為教材圖形的變化，第（3）問系教材圖形與問題的深度變式.教師要有“用教材教而不是教教材”的意識(shí)，讓幾何教學(xué)從教材走向遠(yuǎn)方.

5.3 培養(yǎng)能力，發(fā)展素養(yǎng)

“培養(yǎng)能力、發(fā)展素養(yǎng)”是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo).數(shù)學(xué)教學(xué)要著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀與理解能力、幾何直觀與想象能力、操作探究與實(shí)踐能力、邏輯推理與思維能力、方法遷移與反思能力，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

如“泰州卷第25題”第（1）問中的“DE∥AB”既是第（1）問中“求DE長(zhǎng)度”的條件，也為第（2）問的尺規(guī)作圖與第（3）問的切線證明提供了方法引導(dǎo)，需要通過文字與圖形閱讀，認(rèn)識(shí)并理解這種關(guān)系;“∠DFA=∠A”既是第（2）問的作圖目標(biāo)，也是第（3）問的證明條件，學(xué)生要由“∠DFA=∠A”的圖形得到其對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角相等，進(jìn)而得出作圖與證明方法，需要幾何直觀與想象能力;第（2）問要畫出符合條件的草圖，通過分析尋找作圖方法，需要邏輯推理與思維能力、操作探究與實(shí)踐能力;第（2）（3）問如果將“DE∥AB”的圖形及結(jié)論遷移過來會(huì)更加簡(jiǎn)捷，考查了方法遷移與反思能力.教學(xué)中要有意識(shí)在具體問題的解決過程中，發(fā)展學(xué)生的相關(guān)數(shù)學(xué)能力，形成學(xué)生的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：64，71

[2]章飛，俞夢(mèng)飛，顧繼玲.初中數(shù)學(xué)教科書中概念的呈現(xiàn)方式及一致性研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（05）：21-27.

作者簡(jiǎn)介

錢德春（1963—），男，江蘇泰州人，中學(xué)高級(jí)教師;江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)理事，省初中數(shù)學(xué)名師共同體導(dǎo)師，泰州學(xué)院特聘教授，中國(guó)人民大學(xué)《復(fù)印報(bào)刊資料·初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》教學(xué)要求編寫組成員;主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)、命題與教師專業(yè)發(fā)展等研究.

黃飛（1973—），男，江蘇靖江人，中學(xué)高級(jí)教師，副校長(zhǎng);主要研究初中數(shù)學(xué)教育和教學(xué).