王福寧

一、引言

天氣衍生品是建立在溫度、濕度、降水、風(fēng)等天氣變量上的金融合約。自1999年第一份溫度期貨合約在芝加哥商品交易所（CME）交易以來，天氣衍生品已成為管理天氣風(fēng)險(xiǎn)的最重要的金融工具。

氣溫衍生品是天氣衍生品市場(chǎng)中最常見的一種類型，有一些文獻(xiàn)[1，3]涉及氣溫建模，其中Alaton[1]引入了隨月份變化波動(dòng)率的Ornstein-Uhlenbeck （O-U）過程來模擬氣溫演化。Cao 和Wei[3]利用均值回歸模型模擬氣溫，建立了基于氣溫的動(dòng)態(tài)評(píng)估模型。由于天氣衍生品市場(chǎng)是不完備的，所以經(jīng)典的金融衍生品定價(jià)方法，如Black-Scholes公式并不適用。 因此，研究者們從不同角度提出了多種方法，如邊際效用法[4]、指數(shù)建模[5]、均衡定價(jià)[6]、ARMA時(shí)間序列模型法[7-9]等。 Li Peng，Xiaoping Lu，Song-Ping Zhu[10]基于偏微分方程方法，利用效用無差異估值中提取的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格對(duì)天氣衍生品進(jìn)行定價(jià)。Li Peng[11]對(duì)兩個(gè)典型過程的天氣衍生品進(jìn)行了定價(jià)：Ornstein–Uhlenbeck過程和帶跳躍擴(kuò)散的Ornstein–Uhlenbeck過程，并用單側(cè)Crank–Nicolson格式，分別求解這兩個(gè)過程對(duì)應(yīng)的偏微分方程和積分微分方程。

本文擬在已有研究的基礎(chǔ)上，采用ARMA時(shí)間序列模型對(duì)鄭州市氣溫變化過程進(jìn)行建模，并利用該模型進(jìn)行氣溫預(yù)測(cè)，最后檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性。

二、 數(shù)據(jù)與研究方法

（一）數(shù)據(jù)來源與預(yù)處理

鄭州是河南省的省會(huì)城市，是中國(guó)中部重要的交通樞紐和農(nóng)業(yè)城市。從中國(guó)氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享服務(wù)網(wǎng)收集了1980-2020年間的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)，為了消除閏年的影響，剔除了所有閏年2月29日的日平均氣溫。因此，共有14965個(gè)觀測(cè)值，沒有缺失數(shù)據(jù)。利用鄭州市40年（1980-2019年）的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)來構(gòu)建氣溫預(yù)測(cè)模型，并用預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)鄭州市2020年的日平均氣溫。

經(jīng)過Matlab R2019a 軟件處理，得到了40年的日平均氣溫的折線圖，如圖1所示。

（二）模型的建立

根據(jù)前文分析得出，鄭州市日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)的變化過程具有很強(qiáng)的季節(jié)性變化，可以用一些正弦函數(shù)來模擬季節(jié)相關(guān)性，函數(shù)形式如下：

式中，t表示時(shí)間，以天為單位，為相位角，日平均氣溫的季節(jié)性變化呈現(xiàn)出以一年為單位的周期性，為了數(shù)據(jù)統(tǒng)一，刪除閏年2月29日的氣溫?cái)?shù)據(jù)，應(yīng)取。因受到全球的溫室效應(yīng)，每年的氣溫以微弱的趨勢(shì)增長(zhǎng)，可以合理的假設(shè)這種微弱的變化是線性的，用Bt表示。因此，鄭州市日平均氣溫變化過程可寫為如下形式：

其中Tt為時(shí)間t的日平均氣溫，A、B、C以及是由歷史日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)擬合的參數(shù)，Xt為去除趨勢(shì)和季節(jié)性后的隨機(jī)變量。

為便于參數(shù)估計(jì)，將（2）式作如下等式變換：

整理可得：

因?yàn)楹褪浅?shù)，所以可將（4）式看成是一個(gè)線性方程：

即：

三、模型的參數(shù)估計(jì)與結(jié)果分析

（一）ARMA模型的估計(jì)

用Eviews 10軟件對(duì)公式（5）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到結(jié)果如表1所示。

由表1可知，各項(xiàng)變量系數(shù)都顯著，但D-W值僅為0.547593，說明模型存在序列正相關(guān)性，需要對(duì)其進(jìn)行修正。首先對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果見表2。由表2可知，ADF檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為-43.61932，明顯小于在1%、5%、10%的顯著性水平下的臨界值，說明隨機(jī)變量沒有單位根，且序列平穩(wěn)。其次，通過對(duì)隨機(jī)變量繪制出自相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖后，可以判斷出它是一個(gè)平滑的非白噪聲序列。因此，需要引入ARMA模型進(jìn)行修正隨機(jī)變量，發(fā)現(xiàn)引入ARMA（2，2）后，各項(xiàng)系數(shù)顯著，D-W值為2.001 518，十分接近于2，說明模型不存在序列相關(guān)性，模型擬合的結(jié)果好，具體結(jié)果見表3。

（二）預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)上述分析所得的時(shí)間序列ARMA模型，運(yùn)用Eviews10軟件對(duì)鄭州市2020年的日平均氣溫進(jìn)行預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)所構(gòu)建的模型比較好，見圖2。

本文通過計(jì)算偏差比率、方差比率和協(xié)方差比率進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，其三個(gè)比率值計(jì)算結(jié)果分別為0.000645，0.000794，0.998561。從這三個(gè)值中可看出偏差比率和方差比率的值較小，協(xié)方差比率值較大，且三個(gè)值和1，說明該模型預(yù)測(cè)較好。

四、 基于蒙特卡洛方法對(duì)氣溫衍生品定價(jià)

選取累積制冷指數(shù)（cooling degree days，CDDs）為研究對(duì)象，探討氣溫的期貨定價(jià)問題。 CDDs的表達(dá)式為：

其中是基準(zhǔn)溫度，基準(zhǔn)溫度一般是65華氏度或18 攝氏度，根據(jù)我國(guó)國(guó)情，選擇。Ti是第i天的日平均氣溫。

假設(shè)期權(quán)的合約期限在T1和T2之間，且T2是合約的到期日，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，C為名義價(jià)值，S（T）為到期時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的實(shí)際價(jià)格，F(xiàn)（t）為遠(yuǎn)期合約在時(shí)間t時(shí)的價(jià)值，原理上，當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)，期貨合約和遠(yuǎn)期合約有相同的到期日和交割日時(shí)，其期貨合約的價(jià)格等于遠(yuǎn)期合約的價(jià)格。即

這里的E為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的期望，我們假定風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格為0。

選擇CDDs期貨合約為例，預(yù)期合約的終值為預(yù)期的CDDs值，即CDDs在時(shí)刻t的期貨價(jià)值為：

根據(jù)上式（11）可知，是已知的，只需用蒙特卡洛方法計(jì)算。

選擇2020.8.1-2020.8.31為合約期限，合約的名義價(jià)值C=100，即每點(diǎn)CDDs指數(shù)為100元，采用蒙特卡洛方法，計(jì)算出這一時(shí)期內(nèi)CDDs值。當(dāng)經(jīng)過100000次模擬后，發(fā)現(xiàn)CDDs模擬值趨于穩(wěn)定，達(dá)到仿真要求。

五、展望

我國(guó)的天氣特征具有復(fù)雜性且受到多種因素的影響，天氣的變化與各個(gè)行業(yè)以及我們的生活息息相關(guān)，如2021年河南7.20強(qiáng)降雨事件，給各個(gè)行業(yè)的發(fā)展和市民的生活帶來了諸多影響，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)損失更是高達(dá)上億元。因此開發(fā)出適應(yīng)我國(guó)的天氣衍生品用于應(yīng)對(duì)天氣風(fēng)險(xiǎn)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，而我國(guó)目前的天氣衍生產(chǎn)品市場(chǎng)亟待完善，需要來自金融市場(chǎng)、法律甚至是媒體等多方共同努力來促進(jìn)天氣衍生品市場(chǎng)的蓬勃發(fā)展。

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作者單位：華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院