石先兵

筆者近期參與了本地區(qū)九年級多校聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷的閱卷工作，批改的是一道幾何解答題，共兩小問。第（1）問源于課本，考查用“邊邊邊”證明兩個(gè)三角形全等，第（2）問考查用無刻度直尺作圖。兩小問的組合考查基于核心素養(yǎng)，全方位考查學(xué)生對幾何知識的綜合應(yīng)用能力，引起筆者強(qiáng)烈的研究興趣。

一、題目呈現(xiàn)

（1）圖1是一個(gè)測角儀器，其中MA=NA，MC=NC?，F(xiàn)將點(diǎn)A與角的頂點(diǎn)重合，AM和AN沿角的兩邊放下，沿AC畫出射線AP，試證明射線AP是這個(gè)角的平分線。

（2）圖2是10×7的方格紙，紙中每個(gè)小方格都是完全相同的正方形，∠EOF（點(diǎn)O在格點(diǎn)上）畫在方格紙上，請利用格點(diǎn)和無刻度直尺作出∠EOF的角平分線。

二、特色解讀

（一）源于教材，高于教材

本題第（1）問源于人教版八年級上冊第十二章全等三角形中12.3“角平分線的性質(zhì)”的思考，由角平分儀的工作原理引入作一個(gè)已知角的角平分線的依據(jù)：由“邊邊邊”判定兩個(gè)三角形全等從而得到角平分線，也為第（2）問用無刻度直尺作圖提供了方向——通過構(gòu)造全等三角形（邊邊邊）尋找角平分線。第（2）問是要求在方格紙中用無刻度直尺作出角平分線，考查學(xué)生的遷移能力和應(yīng)用意識，除了要知道格子中隱含的幾何元素的關(guān)系：線段的位置關(guān)系（平行或垂直）和數(shù)量關(guān)系（相等），還要從已有的知識、方法、經(jīng)驗(yàn)積累中找到解決問題的源頭。最后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中第（1）問的得分率達(dá)到了95%，第（2）問的得分率不到30%，可以看出第（2）問對學(xué)生的思維能力提出了挑戰(zhàn)，這也恰恰是目前作圖題的命題趨勢。

（二）打破傳統(tǒng)，考查素養(yǎng)

直尺是用來作直線，而圓規(guī)是用來作等長的線段，尺規(guī)作圖就是通過作等長的線段來達(dá)成目的。而用無刻度直尺作圖實(shí)際上是進(jìn)一步約束條件：只用直尺作圖，雖然失去了圓規(guī)的助力，卻把尺規(guī)作圖中的操作與思維結(jié)合起來，把幾何直觀和邏輯推理融合。用無刻度直尺作圖是基于尺規(guī)作圖，除了考查學(xué)生的動手操作能力，也需要學(xué)生在已有的知識、方法基礎(chǔ)上，在自己思維的最近發(fā)展區(qū)，通過聯(lián)想建構(gòu)達(dá)到解決問題的目的。在整個(gè)解決問題的過程中，第（1）問考查了幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養(yǎng)，第（2）問更是全面考查了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）升華題型，凸顯本質(zhì)

第（1）問到第（2）問是從常規(guī)的幾何證明題到用無刻度直尺作圖，也要求學(xué)生從明確解題目標(biāo)到明確解題方向過渡。傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖往往明確要求只需用一種或多種基本作圖就可以作出圖形。而用無刻度直尺作圖，需要學(xué)生根據(jù)題中已知信息結(jié)合圖形的幾何特征來確定兩個(gè)點(diǎn)或一個(gè)點(diǎn)（另一個(gè)點(diǎn)已知），再利用“兩點(diǎn)確定一條直線”這一基本事實(shí)用直尺畫出圖形。雖說平時(shí)的教學(xué)中不要求學(xué)生寫出作圖過程，但學(xué)生只有對作圖原理了然于心，才能順利解決問題。因此在教學(xué)中，教師除了要教會學(xué)生如何尺規(guī)作圖，還要教會學(xué)生論證為什么這樣尺規(guī)作圖。這樣學(xué)生才會靈活運(yùn)用所學(xué)知識和原理，提升思維能力，才能深入思考，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

三、思路分析及解法

如圖3，方格中角的兩邊上有P1、P2、P3、P4、P5、O和Q這7個(gè)格點(diǎn)，特別是點(diǎn)Q是方格中OF邊上唯一的格點(diǎn)，利用直角三角形可知OQ和OP1的長度都是5個(gè)單位長度。第（2）問用無刻度直尺作角平分線，在點(diǎn)O的基礎(chǔ)上需要再找到一個(gè)到點(diǎn)Q和點(diǎn)P1距離相等的格點(diǎn)就可以了。但如何從表格中眾多的格點(diǎn)找到適合條件的格點(diǎn)呢？

不妨先動手畫出角平分線的草圖（鉛筆畫出），以縮小探究的范圍，結(jié)合得到的條件OQ=OP1，鎖定目標(biāo)格點(diǎn)，再結(jié)合已有的知識加以驗(yàn)證。有哪些與角平分線有關(guān)的知識或方法呢？追本溯源，可知：①利用尺規(guī)作圖中作一個(gè)已知角的角平分線的依據(jù)：構(gòu)造三角形全等;②等腰三角形“三線合一”的性質(zhì);③菱形的對角線性質(zhì);④等腰三角形和平行四邊形的組合可以得到角平分線;等等。

基于以上的分析，第（2）問生成了多種解法。

解法1：考慮到OQ=OP1且OP1是水平的線段，取水平線段CQ=OP1，如圖4，用無刻度直尺作出射線OC即可。這里利用CQ=OQ且CQ//OP1得到∠QCO=∠QOC，∠QCO=∠COP1，從而∠QOC=∠COP1，即射線OC為∠EOF的角平分線。也可以如圖構(gòu)造菱形OQCP1，根據(jù)菱形對角線的性質(zhì)也可以得到射線OC為∠EOF的角平分線。

解法2：考慮到OQ=OP1，可知△OQP1為等腰三角形，利用等腰三角形“三線合一”找出底邊的中點(diǎn)即可得到頂角的角平分線。利用格子中的平行線和相等線段可以構(gòu)造平行四邊形，也可以通過平行線構(gòu)造相似找到QP1的中點(diǎn)。

利用相似，構(gòu)造基本圖形和I是線段QH的中點(diǎn)得到線段QP1的中點(diǎn)D。射線OD即為∠EOF的角平分線。

解法3：利用格子中水平豎直的線段構(gòu)造全等的三角形，得到∠EOF的角平分線。

四、教學(xué)思考

（一）注重教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握基本技能

作為教學(xué)和學(xué)習(xí)的第一手材料，教材應(yīng)引起教師和學(xué)生的高度重視。尺規(guī)作圖作為中考?？嫉念}型，年年中考試題雖各不相同，但考查的主要內(nèi)容基本一致。除了要求掌握的五種基本作圖外，教材在部分幾何內(nèi)容中也有涉及尺規(guī)作圖，如三角形全等判定中的探究活動，求作等腰三角形，作一些特殊的正多邊形等，教學(xué)中教師可以加以利用，也可作適當(dāng)拓展，如用尺規(guī)作圖作出等邊三角形、平行四邊形，過圓外一點(diǎn)作出圓的兩條切線等，這樣既可以使學(xué)生熟練掌握基本技能，又可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（二）回歸知識，追本溯源，發(fā)展綜合能力

對于尺規(guī)作圖問題，教師在教學(xué)過程中不僅要教學(xué)生怎么尺規(guī)作圖，還要剖析尺規(guī)作圖的原理，明白為什么這樣作。“點(diǎn)”是構(gòu)成幾何圖形的最基本元素，尺規(guī)作圖是通過“確定點(diǎn)”來實(shí)現(xiàn)的，因此解答尺規(guī)作圖題需根據(jù)題意分析確定的點(diǎn)應(yīng)滿足怎樣的條件，并運(yùn)用尺規(guī)作圖的本質(zhì)——作等長的線段確定相應(yīng)的點(diǎn)，而用無刻度直尺作圖就是用來畫直線、射線、線段的。教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識體系，歸納總結(jié)解決問題的知識或方法源頭，如本題中可以歸納總結(jié)和角平分線有關(guān)的知識或方法：①構(gòu)造全等三角形得到相等的角也包括角平分線的判定定理;②菱形的對角線平分每一組對角;③等腰三角形“三線合一”;④等腰三角形和平行線的組合可得到相等的角;等等。明白了問題的本質(zhì)，探尋到解決問題的知識源頭，形成解決問題的方法，這就是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合應(yīng)用能力。

（三）逆推綜合，固本開新，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

近幾年中考的尺規(guī)作圖題靈活多變，不再直白要求作什么，往往需要綜合分析題意才明白需要怎么作出圖形。本題用無刻度直尺作角平分線，就需要認(rèn)真分析。第一步，根據(jù)題目觀察特殊的格點(diǎn)特別是角的兩邊上的格點(diǎn)，如點(diǎn)Q，從而關(guān)注線段OQ=OP1;第二步，可以用鉛筆直接畫出角平分線的草圖，結(jié)合OQ=OP1分析在假設(shè)的角平分線上的格點(diǎn)如何通過無刻度直尺畫出，結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)得到該格點(diǎn)就是角平分線上的點(diǎn);第三步，用直尺畫出需要的直線或線段并加以驗(yàn)證。其中第二步需要學(xué)生在假設(shè)的角平分線上先鎖定目標(biāo)格點(diǎn)，再綜合已有的知識和方法，結(jié)合已知條件，找到目標(biāo)格點(diǎn)符合條件的作法，這就是逆向推理，然后再理順?biāo)悸?，從條件出發(fā)，作出符合條件的圖形。這是在數(shù)學(xué)解題中常用的方法。分析后再綜合，從結(jié)論到條件，再從條件到結(jié)論，這對學(xué)生的思維能力提出了更高的要求。教師在教學(xué)過程中就需要通過對所學(xué)內(nèi)容或方法進(jìn)行有機(jī)整合、整體設(shè)計(jì)，這樣學(xué)生既能加深對知識的理解和體會，還能將所學(xué)知識和方法遷移和應(yīng)用，從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

注：本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育教學(xué)改革專項(xiàng)課題“基于初小銜接的數(shù)學(xué)教材梳理與校本作業(yè)設(shè)計(jì)研究”（Fjjgzx20-009）的研究成果。