鄭惠帆

【摘要】本文主要分析2016—2021年高考理科數(shù)學(xué)中“解析幾何”專題的命題特點(diǎn)及命題角度.從考查的形式與分值占比、考查的知識點(diǎn)全面、數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng)的體現(xiàn)三個方面闡述命題的特點(diǎn)，以舉例的形式將命題的角度細(xì)分為五大方面進(jìn)行闡述，最后從緊扣教材，嚴(yán)抓雙基、因材施教，分層教學(xué)、預(yù)設(shè)生成，相互融合三個方面提出相應(yīng)的備考建議.

【關(guān)鍵詞】解析幾何;命題特點(diǎn);命題角度

1 近6年全國卷理科數(shù)學(xué)試題的分析[1]

1.1 “平面解析幾何”的命題特點(diǎn)[1]

1.1.1 考查的形式與分值占比[1]

從近6年真題來看，“平面解析幾何”基本上分值是22分（除2020年Ⅰ卷和Ⅲ卷，2018年Ⅲ卷均是27分外），題型是兩小一大，即兩道小題一道解答題，基本上是一道選擇題一道填空題一道解答題.2020年“平面解析幾何”的占比有所上升，考查的形式是三小一大，如2020年Ⅰ卷和Ⅲ卷，但試題類型還是穩(wěn)定的.

1.1.2 考查的知識點(diǎn)全面[1]

從近6年真題來看，“平面解析幾何”重點(diǎn)考查圓錐曲線的基本知識，其中包括圓錐曲線的基本定義、簡單的幾何性質(zhì).除此以外，注重在知識的交匯處命題.如2020年Ⅰ卷·理20考查平面向量與解析幾何的融合，2020年Ⅱ卷·理8運(yùn)用基本不等式解決雙曲線焦距最值問題，2020年Ⅲ卷·理10運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求直線方程，2018年Ⅲ卷·理20（2）結(jié)合圓錐曲線的幾何性質(zhì)考查等差數(shù)列的知識，2018年Ⅲ卷·理11運(yùn)用余弦定理、三角形面積公式等解三角形知識解決圓錐曲線問題.

1.1.3 數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng)的體現(xiàn)

“平面解析幾何”充分體現(xiàn)了試題設(shè)計的“四翼”（基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性[2]），突出對學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的考查，充分體現(xiàn)函數(shù)思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及方程思想.

2 “平面解析幾何”命題角度分析[1]

從近6年的真題來看，“平面解析幾何”主要以下列幾種類型進(jìn)行考查：

2.1 求值問題

2.1.1 圓錐曲線的離心率

求圓錐曲線的離心率（或取值范圍）需要求出a，b，c的值或者只需要找到三者中其中兩者之間（a與b、b與c或a與c）的關(guān)系，再結(jié)合a，b，c三者隱含的關(guān)系即可求出離心率（或取值范圍）.

例1 （2020年全國Ⅰ卷·理15）已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.

分析? 根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，

BF=b2a，AF=c-a，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可.

評析 本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用（雙曲線離心率的取值范圍）.

答案：2.

2.1.2 某個變量或式子的值

例2 （2020年全國Ⅲ卷·理11）設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為5.P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則a=（? ）

（A） 1.? （B） 2.? （C） 4.? （D） 8.

分析 根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.

評析 本題結(jié)合解三角形知識（三角形面積公式、勾股定理）考查雙曲線的幾何性質(zhì)及基本定義，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

答案：（A）.

2.1.3 距離（長度）問題

例3 （2020年全國Ⅱ卷·理5）若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為（? ）

（A） 55.??? （B） 255.

（C） 355.? （D） 455.

分析 由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為a，a，a>0，可得圓的半徑為a，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)2，1在圓上，求得實(shí)數(shù)a的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線2x-y-3=0的距離.

評析 本題考查圓心到直線的距離，關(guān)鍵是求出圓的方程.

答案：（B）.

2.2 求方程（橢圓、雙曲線、直線（切線方程）、圓）

例4 （2020年全國Ⅰ卷·理20（1））已知A、B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.求E的方程.

分析 由已知可得：A-a，0， Ba，0，G0，1，即可求得AG·GB=a2-1，結(jié)合已知即可求得：a2=9，問題得解.

評析 本題結(jié)合平面向量數(shù)量積考查橢圓的基本知識，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.結(jié)合平面向量數(shù)量積的知識考查圓錐曲線的有2018年全國Ⅰ卷·理8，2019年全國Ⅰ卷·理16、理19，2017年全國Ⅱ卷·理20，2018年全國Ⅲ卷·理20（2）.

答案：x29+y2=1.

2.3 求最值

例5 （2020年全國Ⅱ卷·理8）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為（? ）

（A）4.? （B） 8.? （C） 16.? （D）32.

分析 因?yàn)镃：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），可得雙曲線的漸近線方程式，與直線x=a聯(lián)立方程求得D，E兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得|ED|，根據(jù)△ODE的面積為8，可得ab值，根據(jù)2c=2a2+b2，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.

評析? 本題運(yùn)用基本不等式求焦距的最值問題.與此相同的有2017年全國Ⅰ卷·理10，2019年全國Ⅱ卷·理21（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求三角形面積的最大值.

答案：（B）.

2.4 證明問題

2.4.1 定點(diǎn)問題

例6 （2020年全國Ⅰ卷·理20（2））證明：直線CD過定點(diǎn).

注：已知條件同例4.

分析? 設(shè)P6，y0，可得直線AP的方程為：y=y09x+3，聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為-3y02+27y02+9，6y0y02+9，同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為3y02-3y02+1，-2y0y02+1，當(dāng)y20≠3時，可表示出直線CD的方程，整理直線CD的方程可得：y=4y033-y02x-32即可知直線過定點(diǎn)32，0，當(dāng)y20=3時，直線CD：x=32，直線過點(diǎn)32，0，命題得證.

評析 本題證明直線過定點(diǎn)問題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化求出直線的方程.在2019年全國Ⅲ卷·理21（1）也考查相同的問題.證明直線過某點(diǎn)問題，偶爾也可以先借助該定點(diǎn)的坐標(biāo)，如2017年Ⅱ卷·理20（2）.

2.4.2 其他證明問題

在近幾年真題發(fā)現(xiàn)，除了證明定點(diǎn)問題外，還有證明定值和角度相等問題、線段長度成等差數(shù)列、證明點(diǎn)在圓上等等，其本質(zhì)問題都一樣，充分考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，在這里不一一列舉.

2.5 求參數(shù)（或面積）的取值范圍

例7 （2016年全國Ⅰ卷·理20（2））設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析 把面積表示為關(guān)于斜率k的函數(shù)，再求最值.

評析 本題結(jié)合弦長和函數(shù)的性質(zhì)考查四邊形面積的取值范圍.在2019年全國Ⅱ卷和Ⅲ卷·理21（2）也考查相同的問題.在2018年全國Ⅲ卷·理6結(jié)合圓的幾何性質(zhì)考查三角形的面積的取值范圍，與此相同的有2019年全國Ⅲ卷·理10、2016年Ⅱ卷·理20（1）.在2016年Ⅱ卷·理20（2）結(jié)合弦長考查直線斜率的取值范圍.

答案：四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12，83）.

3 備考建議[1]

3.1 緊扣教材[1]，嚴(yán)抓雙基

在復(fù)習(xí)備考中，要依據(jù)考綱，緊扣教材，做到源于課本又高于課本，夯實(shí)“平面解析幾何”的基礎(chǔ)知識.高考數(shù)學(xué)大綱明確提出“六核四性”，因此要嚴(yán)抓雙基，吃透直線方程、圓錐曲線的基本概念，深入挖掘幾何性質(zhì)，適當(dāng)掌握一些二級結(jié)論，便于快速解題（如：2017年全國Ⅰ卷·理10）.其次，要善于利用課本中的例題、習(xí)題，充分挖掘其隱藏的金礦，找到本質(zhì)，并將其類比到其他的圓錐曲線上，找到蘑菇圈.再次，以思維導(dǎo)圖方式建立本專題的知識網(wǎng)，注重本專題與平面向量、解三角形、數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等專題的融合，注重掌握方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想等.華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休[3]”.在“平面解析幾何”備考中，根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出圖形是第一步，有時數(shù)據(jù)在圖形中不攻自破（如：2018年全國Ⅲ卷·理20（2）），因此要求學(xué)生獨(dú)立畫圖，靈活轉(zhuǎn)化三種語言并能及時地根據(jù)圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段（如：根據(jù)拋物線的定義可將焦半徑轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）.

3.2 因材施教，分層教學(xué)[1]

在復(fù)習(xí)備考中，教學(xué)內(nèi)容和難度既要符合教學(xué)大綱，也要符合所授學(xué)生的實(shí)際情況.因此，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生要注重基本知識的掌握，主要攻破基礎(chǔ)題，可放棄解答題的第二小問;對于計算能力較好的學(xué)生，可掌握用通性通法解決解答題的第二小問;而對于思維能力不錯的學(xué)生，除掌握通性通法外，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖形思考找到更簡便的方法，做到在思考中觀察，在觀察中思考，體現(xiàn)高考“多思考少計算”的理念.

3.3 預(yù)設(shè)生成，相互融合

教育學(xué)家蘇霍姆林斯基說過：“沒有自我教育，就不是真正的教育”.筆者在教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)，一切教學(xué)活動，如果離開了學(xué)生的參與，教師講得再精彩，也不過是一場“個人秀”，既累了自己，也苦了學(xué)生.在備考中，教師不能一味地講自己預(yù)設(shè)好的內(nèi)容，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生的生成及時調(diào)節(jié)自己的預(yù)設(shè).從2020年全國卷真題來看，“平面解析幾何”所占的比值有所上升，綜合性強(qiáng)，解法靈活多樣，作為高三的教師應(yīng)該把平臺留給學(xué)生，讓學(xué)生做到真探究，實(shí)操作，明原理.

參考文獻(xiàn)：

[1]駱妃景，潘敬貞.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下全國理科卷“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題研究與備考[J].教學(xué)考試，2019（20）：29-33.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系說明[M].北京：人民教育出版社，2020.

[3]王臣玥.數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[D].河南師范大學(xué)，2015.