凡闖闖

【摘要】數與形是數學的研究對象，數形并不是完全分離的，“形”可以用“數”來描述，“數”是“形”的表征.所以，要真正地把數形結合起來，就需要為學生找到一個牢固的基礎.直觀的想象有兩個方面：幾何形體和空間形體.直覺想象的直接研究對象是“形”，“數”是“形”的一種工具.幾何直觀是空間想象的基石，而空間想象是幾何直觀的延伸.要有效地培養(yǎng)學生的直觀想像力，必須做到以下兩點：第一，使學生腦海中可以建立一個有效的數學模型;第二，要使學生具備充分的想象力和邏輯思維.

【關鍵詞】高中數學;核心素養(yǎng);直觀想象

在高中數學的核心素養(yǎng)構成要素中，直觀想象是六大要素中的一個，在教學過程中要盡量做到這一點.從核心素養(yǎng)培養(yǎng)的觀點來看，直覺想象能力是通過對物體的幾何直覺和空間的想象，通過對物體的形態(tài)和變化的感知，并運用空間的形式，尤其是圖象，來理解和解決數學問題.

它的主要內容是：通過對物體位置關系、形態(tài)變化和運動的認識，運用圖形描述和分析數學問題;通過數學形式的連接，建立直觀的數學模型，探討問題的求解方法.有的時候，人們會把幾何直觀和空間想象聯系在一起，這種認識也是有原因的，數學的目標就是數和形，數字和形狀并不是完全分離的，除了大家熟悉的數字和幾何體，所有的高中數學老師都明白，“形”可以用“數”來形容，“數”可以用來表現“形”.所以，要達到數形的結合，必須鍛煉學生扎實的基礎能力，這就是直觀的想象能力.

本文就直觀的想象能力，談一談筆者的一些實踐基礎上的認識，以及相關的思考.

1 核心素養(yǎng)視角下的直觀想象探究

要培養(yǎng)學生的直觀想象力，首先要對直觀的想象力有一個很好的認識，只有這樣，才能把思想和觀念引導到正確的教學行為上來.

根據以上的一般理解，直觀的想象包含了兩個方面：一是幾何直觀，二是空間想像.毫無疑問，直觀想象的直接研究對象是“形”，“數”是“形”的一種工具.[1]

直觀想象也有一種依賴關系：幾何直觀更多地描繪了學生對幾何圖形的直觀上的感覺，而空間想象是以幾何直觀為基礎，通過想象來得到的一個新的結果.所以，可以把幾何直觀看成是空間想象的基石，而把空間想象看作是對幾何直觀的延伸.

因此，要培養(yǎng)學生的直觀想象力，首先要理解這一邏輯關系，然后才可以使學生的思維能力得到提升，從而增強他們的分析、解決問題的能力，從而形成數學思維、創(chuàng)新意識，并且運用數學的思維來鑒賞數學的美感.

比如，正方形是三維幾何中最具規(guī)律性的圖形，它是平面、點、線的結合，是培養(yǎng)學生的幾何直觀的基礎.該模型對提高學生的思考能力具有比較大的積極的作用.

例如 ?學生們在計算一個外接球球的表面積和體積時，會覺得很難，因為要找到一個球心和球體的半徑或者直徑，很難找到突破的方法.經過進一步的研究，發(fā)現了一個問題，那就是學生的大腦缺少了一個基本的幾何模型.如果學生的大腦里有一個正方形體，那就能把一個正四面體變成一個立方體，這就是最直觀的幾何效果，只要有一個清晰的立方體模型，再用它來想象，就能看到一個正四面體，接著再去想辦法得到這個正四面體的外接球的半徑，問題就會變得簡單多了，而且更容易理解，這就是一個新的問題.

2 具體培養(yǎng)策略介紹

2.1 通過使用信息技術進行教學，引導學生進行直觀的觀察

教師在進行高中數學的課堂教學時，通過將教學內容與信息技術進行有效結合，為學生設計一些富有趣味性的教學活動，能夠使學生產生濃厚的學習興趣.之后，教師應該引導學生對直觀的事物進行觀察和探究，以此來培養(yǎng)學生的直觀想象力”.

例如 ?教師在進行《空間幾何》這一課時的教學時，教學目標是引導學生進行直觀觀察，使學生能夠形成從不同角度對問題進行分析的能力.在課堂教學時，首先應為學生展示一架直升飛機正在飛行的視頻，不斷轉化視頻角度，讓學生對直升機進行觀察和探究.在聽覺與視覺的雙重刺激中，學生能夠積極地參與其中.播放完畢后，教師可以引導學生進行思考和探究，“通過觀察，大家是否能夠知道直升機中具有幾個不一樣的面？”學生經過思考回答到：“有上面、下面、前面、側面”，教師對學生進行表揚.接下來，再次播放此視頻，在不同的平面暫停，鼓勵學生對面進行繪制.

學生在進行親手繪制的過程中，需要對物體進行直觀的觀察，之后教師可以進行深入的教學.因此，教師通過使用信息技術進行輔助教學，能夠使學生對事物進行認真、直觀的觀察，在這個過程中，能夠使學生形成良好的直觀想象能力.[2]

2.2 通過在教學中開展實踐活動，鼓勵學生進行動手操作

新課改提出，教師在進行課堂教學時，應該引導學生進行動手操作，使學生能夠形成良好的動手操作的能力.

這樣一來，學生不僅能夠對數學知識進行理解和掌握，還能夠使學生養(yǎng)成動手操作的好習慣.

例如 教師在進行“棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積”這一課時的教學時，首先引導學生完成正棱臺的制作，使學生掌握表面積的計算方法.學生自己動手之后，教師應該讓學生對側面進行觀察，學生能夠觀察到這能夠用梯形的面積公式來進行計算：

s=12（a+b）h.

之后繼續(xù)對學生提問：“那么制作的棱臺側面積應該怎樣進行計算？”大家都知道自己動手制作出來的棱臺就是正棱臺，并對其面積進行研究計算.最后，教師可以引導學生拆除棱臺，并且將每一個側面的梯形自由拼接，有一些學生能夠連接形成一個類似半圓梯形的形狀.還有一些學生，能夠形成長方形.如下圖1所示，為正棱臺的側面展開圖.

這個側面展開圖是由幾個全等的等腰梯形組成的，每個梯形的上底和下底分別是正棱臺上底面和下底面多邊形的邊，兩腰是正棱臺的側棱，設這個正棱臺上、下底面周長分別是c′和c，斜高是h′，我們有下面的定理：正棱臺的側面積等于它的兩個底面周長的和與斜高的乘積的一半，即公式：

s=12（c+c′）h′.

這其中，c、c′和h′分別表示正棱臺的兩個底面周長和斜高.正棱臺的全面積等于它的側面積與兩個底面積的和.

之后教師帶領學生對此結論進行驗證，保證確定性.因此，教師在進行課堂教學時，應該開展實踐活動，引導學生進行動手，使學生掌握知識的同時，形成良好的動手能力.[3]

2.3 通過構建生本課堂展開教學，來培養(yǎng)學生的空間想象力

教師在進行課堂教學時，應該落實學生主體地位，將教學與學生的學習情況結合，構建生本課堂的模式，擴展學生空間思維，培養(yǎng)空間想象能力.

例如 在進行“空間的垂直關系”教學時，由于本課時的教學目標是使學生掌握面與面垂直的定義以及性質和判定的定理，內容比較抽象，學生學習時有一定難度，不能獲得良好的學習效果.因此，教師在課堂教學時，應該依據學生的學習情況對學生分組，鼓勵學生進行小組合作學習和探究，之后，選擇一位學生展示探究結果.

在進行判定定理的教學時，可以讓學生將自己的兩只手垂直的擺放，要求學生進行想象，怎樣存在著一條直線能夠垂直的從右手中經過之后再垂直穿過左手.學生思考一段時間后，有一位學生拿鉛筆放在右手的指縫中，從左手的指縫中進行延伸.

這樣一來，拓展了學生的數學思維，培養(yǎng)了學生空間想象能力.教師在進行高中數學的課堂教學時，可以通過以上方法激發(fā)學生學習的興趣，在進行數學知識的獲取過程中，使學生形成直觀想象的能力.[4]

2.4 基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)直觀想象能力

直觀的想象力就是培養(yǎng)學生解決數學問題的能力，在應試和核心素養(yǎng)培養(yǎng)方面具有很大的應用價值.從“數學史與數學教育”這一角度出發(fā)，結合“圖說一體”“幾何模型”“經典反例”等前人的思想和思維方式，對學生進行科學的思維訓練和實踐指導，是一種很好的選擇.[5]

在實際教學中，學生在面對多面體時，會有畏懼心理，想象力又無法跟上，這將是一個很大的難題.

因此，在解題過程中，首先要做的就是讓同學們對這個正方體模型在腦海中有比較清晰的思維認識，通常情況下，學生在大腦中存儲的立方體模型都是一種形式，但是不能完全理解其應用規(guī)則.所以，在課堂上，老師首先要做的就是幫助學生充分理解這種應用的規(guī)則和模式.針對這一問題，我的方法是：在幻燈片上，繼續(xù)顯示一個正方體，清楚各個邊相等的最基本關系，再對正方形的對角線（體對角線和面對角線）進行分析，并找出對應的直線，例如，面對角線和體對角線是一個相互垂直的關系，體對角線由對應的平面分成1：2的兩個部分等等.

這種教學方式，可能與解題無關，但卻可以讓學生們對正方體的理解更加深刻，同時也為他們的幾何直觀打下了堅實的基礎.以此為依據，引導學生理解圖形之間的聯系.通過比較，可以看出，若將多面體補齊為正方體，則可以獲得若干基本關系，并由此進行求解.

從以上例子可以看出，要有效地培養(yǎng)學生的視覺形象化能力，必須做到以下兩點：一是要使學生建立起一個有效的數學模型，模型愈清楚，學生對幾何的認識就愈清楚;模型包括的關系越多，對學生來說，就越是有意義;二是要使學生具備充分的推理和想象力，使新問題情境中的知識和已有的知識相結合.而在核心素養(yǎng)的培養(yǎng)上，對于一個更加完整、清晰的幾何模型的理性思考，是比較重要的數學能力，也是培養(yǎng)學生的思維和直觀想象能力的過程.

實踐證明，直觀形象化的培養(yǎng)并非孤立的，而是一項系統工程.通過對直觀形象化的初步研究，認為在形象化的培養(yǎng)中，要發(fā)展形象化的理解能力，提高用圖識圖的能力，感受空間幾何特性的實質，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.當直觀的概念被分解成了幾何和空間，直觀想象力的培養(yǎng)就會變得清晰起來，這就是前面提到的，在幾何學的基礎上，培養(yǎng)學生的想象力.而數學之所以是系統化的，是因為老師們要做的事情太多了.空間想象包括邏輯和操作，直觀想象是把數學核心素養(yǎng)的多種因素有機地結合起來，構成了一個系統化的學習形式.所以，在培養(yǎng)學生的直覺想象力的同時，必須要有系統的思考，而不是把自己的直覺和想象力隔離開來.

3 結語

總之，培養(yǎng)高中生的直覺想象力，是培養(yǎng)他們的數學理解與應用能力，培養(yǎng)他們對生活的觀察，并且運用恰當的方法和手段，通過圖片和特定的模型，來培養(yǎng)學生的圖形應用、空間想象，以及簡化數學問題、創(chuàng)造思維的能力.通過對定義教學、平面幾何、立體幾何等問題的研究和分析，使各類數學問題和直觀想象之間的關系更加緊密，從而促進學生的數學成績的提高，并且創(chuàng)造較好的學習氣氛.

參考文獻：

[1]鄭雪靜，陳清華，柯躍海.高中生數學直觀想象素養(yǎng)測評模型的構建[J].教育研究與實驗，2021（03）：71-78.

[2]李睿.高中數學教學中學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略思考[J].科學咨詢（教育科研），2021（06）：6-7.

[3]陳瓊琪.高中數學核心素養(yǎng)導向的學生直觀想象能力培養(yǎng)策略探析——以平面向量為例[J].創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實踐，2019（11）：49-51.

[4]萬再興. 高中數學核心素養(yǎng)“直觀想象”培養(yǎng)的案例分析[J]. 高考，2021（30）：130-131.

[5]欒衛(wèi)江. 高中數學直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略[J]. 讀寫算，2020（20）：62.