田志鋒

[摘 要]“數(shù)學(xué)廣角——集合”是學(xué)生學(xué)習(xí)集合思想的重要一課。文章從跨學(xué)科的視角探尋和利用有利于集合教學(xué)的前概念知識(shí)，以促進(jìn)課程間的融合，引導(dǎo)學(xué)生有效學(xué)習(xí)，同時(shí)提出提高“集合”教學(xué)效率的建議。

[關(guān)鍵詞]遷移;集合;維恩圖

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）08-0014-03

舊知識(shí)是新知識(shí)的基礎(chǔ)，新知識(shí)又是舊知識(shí)的延伸。遷移可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過程中聯(lián)系已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，從而觸類旁通，更好地解決新問題。下面以人教版教材三年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角——集合”的教學(xué)為例，闡述如何巧用知識(shí)遷移助力學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、案例回放

1.課堂教學(xué)

師：學(xué)校定于下周五舉行趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，請(qǐng)三年級(jí)各班選拔9名同學(xué)參加跳繩比賽，8名同學(xué)參加踢毽子比賽。你認(rèn)為三（1）班要選拔多少名同學(xué)參加這兩項(xiàng)比賽？

生1：根據(jù)條件，得出參加這兩次比賽的總?cè)藬?shù)為8+9=17（人）。

師：參加比賽的總?cè)藬?shù)是17人嗎？你們看看這張參賽學(xué)生名單，發(fā)現(xiàn)了什么？

出示三（1）班參賽學(xué)生名單統(tǒng)計(jì)表：

生2：參加跳繩和踢毽子的名單中有一些人重復(fù)計(jì)算了，應(yīng)該把重復(fù)的人去掉。

（師生總結(jié)，得出“重復(fù)”的概念）

師：在這個(gè)統(tǒng)計(jì)表中，你能一眼看出哪幾位同學(xué)參加了兩項(xiàng)比賽嗎？

生3：不容易一眼看出來。

師：能不能想個(gè)好方法，讓人一眼就可以看出參加這兩項(xiàng)比賽的一共有多少人？

生4：在重復(fù)的三個(gè)人的名字下面畫線，提醒只要算一次就可以了。

生5：把重復(fù)的三個(gè)人的名字劃去，算完其他的人后，再把這三個(gè)人的名字加上就可以了。

生6：把重復(fù)的三個(gè)人的名字拿出來，放在表格外面，最后再加上。

楊明 劉紅 李芳

生7：重新畫一個(gè)表格，把只參加一項(xiàng)比賽的寫成兩行，重復(fù)的那幾人，再寫一行。

生8：用連線法，把重復(fù)的三個(gè)人連在一起，這樣就不會(huì)多算了。

……

（學(xué)生給出了各種方法，但始終沒有想出類似“維恩圖”（集合圖）的方法。教師只能出示“維恩圖”，然后介紹其歷史淵源。整個(gè)探究環(huán)節(jié)下來，一節(jié)課已過了一大半。這時(shí)教師加快教學(xué)進(jìn)度，讓幾名學(xué)生說說圖意并列出算式后，便草草結(jié)束課程了。）

2.課后學(xué)生反饋

出示：三（1）班參加合唱興趣小組的有12人，參加舞蹈興趣小組的有18人，兩個(gè)興趣小組都參加的有8人，只參加一個(gè)興趣小組的有（ ）人。

（結(jié)果近一半的學(xué)生用“12+18-8”的方法求出結(jié)果是22人）

師：為什么先把合唱興趣小組和舞蹈興趣小組的人數(shù)加在一起，再減去8人呢？

生1：因?yàn)橛?人既參加合唱興趣小組又參加舞蹈興趣小組，所以要減去重復(fù)的8人。

師：這題沒有要求參加興趣小組的一共有多人。

生2：求的是只參加一個(gè)興趣小組的有多少人，也要把8人減去。

聽了學(xué)生的回答后，筆者感到既可愛又好笑，這個(gè)題目的問題明明和例題的有區(qū)別，學(xué)生卻“死用”例題的方法解答。為什么一節(jié)充滿思維樂趣和探究味的課卻有這樣的教學(xué)效果呢？

二、教學(xué)反思

為什么該教師要這樣安排教學(xué)？集合思想對(duì)于學(xué)生來說并不陌生，一年級(jí)的“認(rèn)識(shí)數(shù)”就蘊(yùn)含著集合思想，如1支鉛筆、2架飛機(jī)、3只小鳥等;“比一比”的教學(xué)內(nèi)容就是通過一一對(duì)應(yīng)方法讓學(xué)生建立兩組相等的數(shù)量;數(shù)的運(yùn)算，也可以從集合的角度理解，如加法其實(shí)就是兩個(gè)交集為空集的集合的并集，減法其實(shí)就是求一個(gè)集合與其子集的差集。由此可以看出，學(xué)生在之前已多次接觸過集合相關(guān)知識(shí)，按理應(yīng)該不陌生，但細(xì)細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這些知識(shí)與本節(jié)課中的帶有重疊部分的“集合”的交集是不同的，再加之集合思想很抽象，本節(jié)課的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。因此，教師采取了讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程的教學(xué)模式：自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題、解決問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，加深對(duì)集合思想的理解。正如弗賴登塔爾所言：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造’，也就是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造要學(xué)的東西;教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生。”

可是這個(gè)“再創(chuàng)造”過程是何等艱難，且不說一些學(xué)生面對(duì)這個(gè)問題沒有方法，就是有了方法，也是天馬行空般任意發(fā)揮，而且這種發(fā)揮可能會(huì)隨著學(xué)生“另類”思路的出現(xiàn)，引發(fā)其他學(xué)生想到更“另類”的方法，這直接導(dǎo)致大量課堂時(shí)間流逝在“創(chuàng)造”之中。當(dāng)師生共同探索并得出維恩圖后（更多的是在教師的引導(dǎo)下得出的），也就沒有多少時(shí)間分析和應(yīng)用維恩圖了，特別是沒有時(shí)間深入解讀維恩圖各部分的意思了，致使課堂教學(xué)“頭重腳輕”，自然也就使得學(xué)生對(duì)維恩圖的理解只停留在表面。

為什么不從先前的經(jīng)驗(yàn)中找到與之匹配的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，利用遷移開展教學(xué)呢？教育心理學(xué)指出：“遷移是學(xué)習(xí)的一種普遍現(xiàn)象，根據(jù)遷移的作用，幾乎所有的習(xí)得經(jīng)驗(yàn)都可以以各種復(fù)雜的方式相互聯(lián)系起來。”“所有的學(xué)習(xí)都涉及原有經(jīng)驗(yàn)的遷移。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此，當(dāng)學(xué)生面對(duì)一個(gè)新情境時(shí)，最先想到的是能不能用已有經(jīng)驗(yàn)來解決這個(gè)問題，或是把這個(gè)問題與原有知識(shí)建立起有效聯(lián)系，當(dāng)新知識(shí)與舊知識(shí)能建立起聯(lián)系之時(shí)，學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受度便大大提高，課堂參與度也自然提高。

對(duì)于維恩圖，學(xué)生到底有沒有前期經(jīng)驗(yàn)？把視角放寬一些，在更廣泛、跨學(xué)科的背景下思考時(shí)，會(huì)有意外的驚喜。對(duì)于維恩圖，學(xué)生不僅有經(jīng)驗(yàn)，而且經(jīng)驗(yàn)還很豐富。三年級(jí)上冊(cè)科學(xué)教材（教育科學(xué)出版社）第3課“大樹和小草”的結(jié)尾（如圖1）就有“把大樹和小草的相同和不同之處記錄在下面的維恩圖中”的說明，并提示“把相同的特點(diǎn)寫在中間，不同的特點(diǎn)寫在兩邊”。這不就給學(xué)生積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)嗎？在這本科學(xué)教材中，一共出現(xiàn)8次利用維恩圖表示了重復(fù)的情況，可見維恩圖的素材是何等豐富！既然有如此的經(jīng)驗(yàn)，為什么不能把科學(xué)中的維恩圖的知識(shí)遷移到數(shù)學(xué)中來，讓學(xué)生感受其便捷性呢？

三、教學(xué)建議

1.改變呈現(xiàn)形式，防止負(fù)遷移

教材中的情境是給出一張統(tǒng)計(jì)表，雖然這樣可以讓學(xué)生清楚地看出人數(shù)，但也有弊端：學(xué)生想重新整理名單時(shí)，會(huì)受表格的影響，從而思維呆板;學(xué)生傾向于在表格里“做文章”，可只是在表格中進(jìn)行修改很難得到答案;學(xué)生的操作沒有教師的指導(dǎo)，冗長低效。對(duì)此，可以把表格換成如下語言描述：

參加跳繩比賽的學(xué)生名單：楊明、陳東、劉紅、李芳、王愛華、馬超、丁旭、趙軍、徐強(qiáng)。參加踢毽比賽的學(xué)生名單：劉紅、于麗、周曉、楊明、朱小東、李芳、陶偉、盧強(qiáng)。

表格變成了文字，思維便不再受到限制，空間更廣闊，操作也更方便。學(xué)生可以隨意打亂這些名字，重新組合，便于 “創(chuàng)造”出維恩圖。即使得不出維恩圖，學(xué)生也會(huì)在創(chuàng)造中得出更多接近于維恩圖的方式，教師只要抓住其中的有效部分，“順?biāo)浦邸北銜?huì)得出維恩圖。

2.建立問題的語言表征，激活經(jīng)驗(yàn)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是通過語言不斷內(nèi)化、不斷形成和不斷運(yùn)用的過程。語言的合理表達(dá)能提高學(xué)生“數(shù)學(xué)化”的能力，同時(shí)“將一種語言表達(dá)從一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)換為另一個(gè)領(lǐng)域的語言形式，可以溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，簡化問題解決” 。為了更好地讓學(xué)生理解知識(shí)，在本課教學(xué)中教師可以讓學(xué)生充分建立問題的語言表征，比如多讓學(xué)生說一說為什么要把“楊明、劉紅和李芳”三個(gè)名字單獨(dú)拿出來，并用“既……又……”的句式表述重復(fù)部分，以激活其頭腦中與之相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在“既……又……”這種關(guān)聯(lián)詞語的表述下，可能會(huì)聯(lián)想到科學(xué)課上所學(xué)習(xí)的有關(guān)維恩圖的知識(shí)，繼而想到用同樣的方法來表示參加比賽的人數(shù)。

3.類比聯(lián)想，促進(jìn)正遷移

小學(xué)生年齡小，邏輯思維能力還比較弱，對(duì)于一些抽象的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)知識(shí)不太容易理解，而利用類比聯(lián)想，能方便學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行比較和分析，進(jìn)而更好地理解和掌握新知識(shí)。蘇霍姆林斯基說過：“在我看來，教會(huì)學(xué)生借助已有的知識(shí)去獲取知識(shí)，這是最高的教學(xué)技巧之所在。”這與教育界頗為盛行的“為遷移而教”不謀而合。

學(xué)生在學(xué)習(xí)“集合”之前，已有多次利用維恩圖解決問題的經(jīng)驗(yàn)，那么教師就可以通過類比聯(lián)想激活與此有關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生會(huì)用“既……又……”的句式表達(dá)后，教師可利用問題“該怎樣表示這種有重疊部分的情況？之前有沒有遇到過此種情況？來“勾出”學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，會(huì)不自覺地把新知識(shí)融入原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，在“已經(jīng)知道”的知識(shí)與“需要知道”的知識(shí)之間架構(gòu)橋梁。接著，教師出示科學(xué)教材“大樹和小草”的內(nèi)容，此時(shí)，相似的結(jié)構(gòu)特征成為解答這個(gè)問題的有效線索，促使學(xué)生聯(lián)想維恩圖的知識(shí)。通過這種類比聯(lián)想的過程，不僅能得出維恩圖這一方法，還能提高學(xué)生的邏輯思維能力，促進(jìn)學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率。

4.具體匹配，轉(zhuǎn)換問題

新舊知識(shí)之間可能存在著差異，這就需要學(xué)生在遷移時(shí)的具體匹配中既要發(fā)現(xiàn)其相似之處，又要分析其不同之處。當(dāng)學(xué)生能夠從科學(xué)教材中的維恩圖遷移到“學(xué)生參賽人數(shù)的問題”時(shí)，教師可引領(lǐng)學(xué)生思考：原來的維恩圖都是記錄兩種東西的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，現(xiàn)在想要表示各自人數(shù)及重復(fù)人數(shù)，該怎么辦？同時(shí)讓學(xué)生“討論—填寫維恩圖—列式計(jì)算—解決問題”，著重說一說“8+9-3”“8-3+9”和“5+6+3”中的“+3”和“-3”的道理，以及各算式的具體含義，體會(huì)交集、并集和差集。“隨著對(duì)數(shù)學(xué)問題的深入分析，這個(gè)數(shù)學(xué)問題與來自外部和長時(shí)記憶的信息不斷進(jìn)行‘接觸’，對(duì)不匹配的部分進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，繼而推動(dòng)了數(shù)學(xué)問題的一步步解決?！?/p>

5.改組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，再次遷移知識(shí)

遷移理論認(rèn)為，學(xué)生對(duì)一般規(guī)律和概括性知識(shí)的掌握是通過最初學(xué)習(xí)時(shí)運(yùn)用各種變式達(dá)到的;同時(shí)又認(rèn)為，只有學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)規(guī)律可運(yùn)用于各種不同的情境，并形成在各種不同的學(xué)習(xí)情境中運(yùn)用這些規(guī)律和知識(shí)的意識(shí)，這些規(guī)律和知識(shí)才算真正被掌握而具有現(xiàn)實(shí)價(jià)值。當(dāng)學(xué)生理解了集合思想后，教師應(yīng)及時(shí)總結(jié)和概括解題的策略和方法，再讓學(xué)生完成一道變式練習(xí)題：根據(jù)學(xué)校要求，每班要選拔5名學(xué)生參加跑步比賽，3名學(xué)生參加跳遠(yuǎn)比賽，你覺得三（1）班可能會(huì)選拔多少人參加比賽？學(xué)生會(huì)利用剛習(xí)得的維恩圖的知識(shí)審視練習(xí)，得出可能有8人、7人、6人和5人（如圖2）。至此，前面維恩圖的經(jīng)驗(yàn)通過順應(yīng)，被充實(shí)到新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，同時(shí)新的解題活動(dòng)也加深了學(xué)生對(duì)前面維恩圖的理解。

綜上，學(xué)生在遷移中溝通了新舊知識(shí)的聯(lián)系，讓知識(shí)的形成更加自然，從而加深了對(duì)知識(shí)的理解，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)在新舊知識(shí)的啟發(fā)、類比及聯(lián)想中鍛煉了思維，提升了能力。數(shù)學(xué)課堂也隨著學(xué)生的有效遷移更高效、更靈動(dòng)。

（責(zé)編 金 鈴）