鄭劍

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)非常重要的內(nèi)容。很多學(xué)生在研究函數(shù)題目的過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)非常重要的工具，對(duì)提高解題效率、解含有參數(shù)的不等式恒成立等問(wèn)題帶來(lái)極大幫助。對(duì)此，在本文的研究中，需要思考高中數(shù)學(xué)中恒成立不等式問(wèn)題的一些常見(jiàn)解法，希望能夠幫助學(xué)生尋找這一類題目的解題規(guī)律與技巧，對(duì)提高數(shù)學(xué)成績(jī)具有一定的指導(dǎo)意義。

1. 高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題的解題原則

關(guān)于恒成立問(wèn)題的解析，一般和函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)等概念全面融合，其展現(xiàn)方式豐富多樣，并且解法各有不同，存在一定的解題技巧，是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)重難點(diǎn)。對(duì)此，我們需要了解常見(jiàn)的解題原則，由此能夠幫助高三學(xué)生尋找最理想的解題方法。

1.1 由淺入深，將不同題型區(qū)別對(duì)待

接下來(lái)我們探討一次函數(shù)f（x）=kx+b對(duì)x∈（m， n）恒成立問(wèn)題。

例題1：f（x）=ax+2a+1≥0對(duì)x∈（-1， 2）恒成立，那么，計(jì)算a值范圍。

解題思路：通過(guò)f（-1）≥0， f（2）≥0，能夠推導(dǎo)出-a+2a+1≥0， 2a+2a+1≥0，接下來(lái)即可確定a的取值范圍，即：a≥-

那么我們能夠得出：一次函數(shù)f（x）=kx+b≥0對(duì)x∈（m， n）恒成立，由此能夠推導(dǎo)出f（m）≥0且f（n）≥0。

如果將題目進(jìn)行變換，即：如果函數(shù)f（x）=ax+2a+5對(duì)a∈

（-1， 2）恒成立，那么計(jì)算出x的取值。

解題思路：假設(shè)g（a）=f（x）=ax+2a+5=（x+2）a+5≥0對(duì)a∈（-1， 2）恒成立。

對(duì)此，通過(guò)g（-1）≥0且g（2）≥0能夠推導(dǎo)出-x-2=5≥0且2x+4+5≥0，則能夠確定x的取值范圍，即（-， 3）。值得注意的是，在觀察相關(guān)變量的過(guò)程中，必須要靈活的面對(duì)各類情況，同時(shí)還需要隨時(shí)調(diào)整變量，切不可鉆牛角尖，一定要靈活應(yīng)用。

1.2 夯實(shí)基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用知識(shí)，提高解題轉(zhuǎn)化能力

我們通過(guò)一個(gè)實(shí)際例題進(jìn)行解題：已知函數(shù)的定義域，計(jì)算參數(shù)的求值范圍。

例題1：已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，然后確定a的取值范圍。

思路：f（x）的定義域是R

通過(guò)ax2+x+1對(duì)x∈R恒成立，能夠推導(dǎo)出a的值是0這句話是不成立的，也就是說(shuō)，a>0且△≤0，隨后推導(dǎo)出a>0，且1-4a≤0，隨后確定a的取值，即：a≥。

如果對(duì)這道題進(jìn)行變形，其題目是：已知函數(shù)f（x）=log2（ax2+x+1）的定義域是R，那么確定a值的大小。

此時(shí)在解題的過(guò)程中，將題型轉(zhuǎn)化，則能夠?qū)⒑瘮?shù)轉(zhuǎn)變成單調(diào)區(qū)間，然后確定參數(shù)的范圍。具體可參考以下例題。

已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+ax，那么于x∈[-1， 2]的范圍內(nèi)，其具有單調(diào)遞增的變化特點(diǎn)，此時(shí)需要計(jì)算a的取值范圍。

在解題的過(guò)程中，已知f（x）=x3-3x2+ax在x∈[-1， 2]上具有單調(diào)遞增的特點(diǎn)，那么f（x）=3x2-6x+a≥則是x∈[-1， 2]范圍內(nèi)是恒成立的，也就是說(shuō)，a≥6x-3x2對(duì)x∈[-1，2]是恒成立的。

所以，我們能夠保證g（x）=6x-3x2在[-1， 2]的范圍內(nèi)屬于最大值即可。

假若x=1的話，那么g（1）=3屬于最大值。

所以，m≥3.

由此來(lái)看，通過(guò)以上轉(zhuǎn)化處理，就能夠按照這一單調(diào)區(qū)間進(jìn)行求解。

1.3 綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)求解，增強(qiáng)推理論證能力

在解題的過(guò)程中，可以通過(guò)恒成立問(wèn)題，由此來(lái)驗(yàn)證函數(shù)不等式。

例題1：已知函數(shù)f（x）=x-x2+3lnx，由此來(lái)驗(yàn)證：f（x）≤2x-2。

解題思路：如果要判斷f（x）≤2x-2是否正確，那么則需要判斷x-x2+3lnx≤2x-2是否正確，所以，需要思考x2+x-2-3lnx≥0是否成立。此時(shí)，需要假設(shè)g（x）=x2+x-2-3lnx，計(jì)算出在x>0的條件下，g（x）=x2+x-2-3lnx的最小值范圍。

此時(shí)，g（x）=2x+1-3/x的計(jì)算結(jié)果是0，隨后即可確定在x=1的條件下的最小值。

如果g（0）=0是最小值的話，那么即可判斷原不等式是成立的。

如果不等式無(wú)法通過(guò)普通的對(duì)比法，尤其是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)等互相結(jié)合展開(kāi)對(duì)比，那么其計(jì)算過(guò)程相對(duì)繁瑣，此時(shí)需要通過(guò)這種方式進(jìn)行計(jì)算。

得出結(jié)論：x∈D，那么f（x）>g（x） 則能夠推導(dǎo)出F（x）=f（x）-g（x）在x∈D條件下的最小值大于0。當(dāng)然，如果將后者當(dāng)作已知條件，也能夠推導(dǎo)出前者。

2. 高中數(shù)學(xué)中恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)的解題方法

2.1 數(shù)形結(jié)合法

把需要求解的問(wèn)題，對(duì)其實(shí)施相應(yīng)的變形轉(zhuǎn)化，能夠放在相同的坐標(biāo)系中繪制相應(yīng)的函數(shù)圖像，接下來(lái)需要借助于圖像的位置關(guān)系，確定最終的結(jié)論。對(duì)于這種解題方法來(lái)說(shuō)，一般稱作為數(shù)形結(jié)合法或者“以形助教”法，能夠大大提高解題效率。

例題1：已知函數(shù)f（x）=x（inx+3/2）， g（x）=ax3/2+x（a∈D），如果g（x）≥f（x）恒成立，計(jì)算a的取值。

解析：若要讓g（x）≥f（x）恒成立，那么，ax2/3≥lnx+1/2在區(qū)間（0， +∞）是恒成立的，由此能夠?qū)⒑瘮?shù)轉(zhuǎn)化成h（x）=ax2/3-1/2，對(duì)此，其在y軸右端的圖像一直處于φ（x）=lnx的圖像上側(cè)。

接下來(lái)需要繪制出函數(shù)f（x）與φ（x）的圖像，如果讓它們?cè)冢?， +∞）有，同時(shí)僅存在一個(gè)公共點(diǎn)，并且需要達(dá)到h（x）的圖像一直處于φ（x）的圖像上側(cè)，那么于公共點(diǎn)Q位置上，存在相同的切線L。2BE22783-D69A-47F0-93D0-1EB02B3C6EA3

如果公共點(diǎn)Q（x0， y0），那么曲線y（x）=inx于點(diǎn)Q位置的一切線方程是y-inx0=1/x0（x-x0），曲線h（x）=ax2/3-1/2與點(diǎn)P位置上的切線方程式是Y=2ax0x/3-ax02/3-1/2，對(duì)此能夠確定2ax0/3=1/x0， ax02/3-1/2=Inx0，隨后能夠確定x0的值是1，且a的值是3/2。

對(duì)此，如果a≥3/2的話，那么函數(shù)h（x）的圖像一直處于φ（x）的上端，所以能夠確定a的取值范圍是在（3/2， +∞）之間。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)以上解題步驟我們能夠發(fā)現(xiàn)：如果對(duì)函數(shù)公式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化的話，則能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)變成一個(gè)基礎(chǔ)初等函數(shù)，所以需要借助于圖形的方式進(jìn)行求解，在解題的過(guò)程中，思路是比較清晰的，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法能夠體現(xiàn)出“見(jiàn)數(shù)思圖，以形助數(shù)”的特點(diǎn)，它是用來(lái)解含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的一個(gè)重要應(yīng)用策略。

例題2：倘若對(duì)任一實(shí)數(shù)x，不等式|x+1|≥kx恒成立，此時(shí)需要確定k的取值范圍。

那么在求解的過(guò)程中，需要繪制y1=|x+1|與y2=kx的圖像，接下來(lái)通過(guò)觀察圖像就能夠確定k值的范圍，即在[0， 1]之間。

2.2 構(gòu)造函數(shù)法

對(duì)于這個(gè)解題方法來(lái)說(shuō)，它主要是借助于函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解題。對(duì)此，根據(jù)以上解題原則我們能夠發(fā)現(xiàn)了這一解題思路的實(shí)際應(yīng)用，接下來(lái)我們對(duì)其展開(kāi)深入探討。

例題1：證明：如果x∈[0， 1]的話，x/2≤sinx≤x;另外，如果不等式ax+x2+x3/2+2（x+2） cosx≤s，那么對(duì)x∈[0， 1]恒成立的話，則需要確定實(shí)數(shù)a的求值范圍。

在驗(yàn)證的過(guò)程中，首先需要標(biāo)記F（x）=sinx-x/2，那么F（x）=cosx-/2。

對(duì)此，如果x∈[0， π/4]的話，則F（x）>0，對(duì)此，F(xiàn)（x）在區(qū)間

[0， π/4]的范圍內(nèi)屬于一個(gè)增函數(shù)，也就是說(shuō)其是遞增變化的。

如果x∈（π/4， 1）的話，則F（x）<0，對(duì)此，F(xiàn)（x）在區(qū)間[π/4， 1]上屬于遞減函數(shù)，同時(shí)，F(xiàn)（0）的值是0，同時(shí)F（1）>0。

對(duì)此，如果x∈（0， 1）的話，F(xiàn)（x）≥0的話，則就是說(shuō)明sinx≥/2.

標(biāo)記，H（x）=sinx-x，那么如果x∈（0， 1）的話，H（x）=cosx-1<0，對(duì)此H（x）與[0， 1]范圍內(nèi)屬于遞減函數(shù)，對(duì)此，H（x）≤H（0）=0，也就是說(shuō)sinx≤x。

由此來(lái)看，x/2≤sinx≤x，那么x的取值范圍是[0， 1]。

例題2：對(duì)于已經(jīng)符合[P]≤2的全部實(shí)數(shù)P，則需要讓不等式x2+Px+1≥2x+P恒成立，此時(shí)需要確定x的取值范圍。

解題思路：在不等式中存在2個(gè)變量X與P，如果將P認(rèn)定是自變量的話，那么問(wèn)題需要轉(zhuǎn)化成[-2， 2]范圍內(nèi)針對(duì)P的一次函數(shù)>0恒成立問(wèn)題。

對(duì)此，需要證明不等式也就是（x-1）P+x2-2x+1>0。

如果f（P）=（x-1）P+x2-2x+1，那么f（P）=（x-1）P+x2-2x+1，那么f（P）在[-2， 2]范圍內(nèi)恒大于0。

所以，f（-2）>0，同時(shí)f（2）>0，也就是說(shuō)x2-4x+3>0，且x2-1>0。

在解題的過(guò)程中，x<-1或者x>3，也就是說(shuō)，x∈（-∞， -1） U（3， +∞）。

點(diǎn)評(píng)：在計(jì)算以上類型數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通常需要讓學(xué)生將某一字母認(rèn)定是自變量，然后通過(guò)一次函數(shù)的性質(zhì)，且確保在這一線段兩側(cè)都能夠在軸的上端或下端。

2.3 導(dǎo)數(shù)介入法

例題1：函數(shù)f（x）是一個(gè)奇函數(shù)，同時(shí)在[-1， 1]范圍屬于單調(diào)遞增的變化，同時(shí)f（-1）=-1，如果f（x）≤t2-2at+1對(duì)全部的x∈[-1， 1]、a∈[-1， 1]全部成立，則需要確定t的取值范圍。

解題思路：由于f（x）是一個(gè)奇函數(shù)，那么f（1）=-f（-1）=1，同時(shí)f（x）于[-1，1]的范圍內(nèi)屬于單調(diào)遞增，對(duì)此，f（x）最大值=f（1）=1。

因?yàn)閒（x）≤t2-2at+1對(duì)全部的a∈[-1， 1]全部成立，所以，僅需要t2-2at+1≥1的話，對(duì)此，t2-2at≥0，再加上由于對(duì)全部的a∈[-1， 1]均成立，也就是說(shuō)與a的一次函數(shù)在[-1， 1]范圍內(nèi)≥0屬于恒成立，也就是說(shuō)，t2-2t≥0且t2+2t≥0。

評(píng)論：通過(guò)變量分解來(lái)處理恒成立問(wèn)題，一般是將其轉(zhuǎn)變成函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，那么整個(gè)過(guò)程會(huì)變得更加簡(jiǎn)單。

3. 結(jié)束語(yǔ)

總而言之，關(guān)于以上的求解方法，都存在一定的相關(guān)性，它們之間的關(guān)系并非完全孤立。所以在進(jìn)行恒成立問(wèn)題解答的過(guò)程中，必須要分析其中的解題思路，其中核心的解題方法是轉(zhuǎn)化，能夠?qū)?wèn)題置于特定的情境中進(jìn)行計(jì)算，并按照特定的參考條件進(jìn)行綜合應(yīng)用，方可達(dá)到轉(zhuǎn)化思想、分類討論等目的。2BE22783-D69A-47F0-93D0-1EB02B3C6EA3