暴一帆，國玉林，姚劍飛

(北京化工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100029)

旋轉(zhuǎn)機(jī)械是現(xiàn)代工業(yè)的重要設(shè)備，其穩(wěn)定性直接影響企業(yè)的生產(chǎn)安全和經(jīng)濟(jì)效益。旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)行環(huán)境惡劣，受多種激勵源的作用，振動故障耦合嚴(yán)重，振動成分復(fù)雜且噪聲較大，若不及時有效抑制轉(zhuǎn)子振動，故障會進(jìn)一步惡化，從而導(dǎo)致事故的發(fā)生。

主動磁軸承因具有無接觸、無摩擦、無潤滑、無密封、低功耗等特點(diǎn)，常作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)用于轉(zhuǎn)子振動的主動控制[1]。國內(nèi)外學(xué)者在利用電磁力抑制旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動方面做了大量研究。轉(zhuǎn)子不平衡振動(以工頻振動為主)抑制方面：文獻(xiàn)[2]提出一種結(jié)合新型自適應(yīng)陷波濾波器的前饋控制策略解決磁懸浮離心壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子不平衡問題；文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)實(shí)時變步長多邊形迭代搜尋算法的不平衡補(bǔ)償器抑制轉(zhuǎn)子振動；文獻(xiàn)[4]提出一種基于幅值和相位特征的不平衡力快速尋優(yōu)前饋算法；文獻(xiàn)[5]提出了一種基于電磁作動器(Active Magnetic Actuator，AMA)的比例-微分(Proportional Differential，PD)反饋控制算法抑制轉(zhuǎn)子不平衡引起的基頻振動。轉(zhuǎn)子不對中故障(以工頻、二倍頻為主的復(fù)合振動)或多頻振動抑制方面：文獻(xiàn)[6-7]通過變步長尋優(yōu)策略得到電磁作動器所需的最佳電流，向轉(zhuǎn)子施加多頻率成分電流實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子多頻振動前饋抑制；文獻(xiàn)[8]通過電流補(bǔ)償算法有效抑制了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的多頻振動；文獻(xiàn)[9]參考不平衡試算法，從理論仿真方面提出了一種不對中故障的試算方法。

文獻(xiàn)[2-4]均基于前饋算法對轉(zhuǎn)子不平衡故障進(jìn)行主動抑制，抗擾動能力及控制穩(wěn)定性差，文獻(xiàn)[5]PD反饋控制算法穩(wěn)定性優(yōu)異，但在惡劣工況及全頻隨機(jī)噪聲的影響下控制精度較低，缺少振動抑制的靶向性，此外，PD算法主要用于單一頻率、單一故障抑制，有必要考慮PD算法抑制轉(zhuǎn)子振動的靶向性，對其在多頻率、多故障的振動抑制進(jìn)行研究。

振動靶向抑制方面：文獻(xiàn)[10]提出靶向抑制概念，即通過分析故障的機(jī)理和特征，找準(zhǔn)故障靶點(diǎn)，以采取相應(yīng)措施精準(zhǔn)抑制轉(zhuǎn)子振動；文獻(xiàn)[11]闡述了透平機(jī)械系統(tǒng)中的振動靶向抑制，分析了透平機(jī)械轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子的多頻率成分振動的靶向抑制；文獻(xiàn)[12]針對旋轉(zhuǎn)機(jī)械氣壓液體式不平衡振動故障，利用氣壓液體式自動平衡裝置搭建了靶向自愈調(diào)控系統(tǒng)。

本文基于文獻(xiàn)[10-12]的靶向抑制思路，將其應(yīng)用到基于AMA的PD控制策略，以抑制轉(zhuǎn)子不平衡和不對中耦合故障。采用AMA作為控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)了基于電磁作動器的PD算法控制器，以抑制旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡-不對中耦合故障引起的周期振動。

1 系統(tǒng)建模

1.1 動力學(xué)建模

基于有限元法建立轉(zhuǎn)子-軸承-AMA系統(tǒng)(圖1)動力學(xué)模型，即

圖1 轉(zhuǎn)子-軸承-AMA系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of rotor-bearing-AMA system

(1)

式中：M,C,K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;Z為位移列向量;F1為廣義干擾力，包含不平衡力Fd和不對中力Fc；F2為主動控制力,包含電磁力Fmag。

圓盤結(jié)點(diǎn)處所受不平衡力如圖2所示，O為轉(zhuǎn)軸形心，O1為圓盤形心，不平衡力可表示為

圖2 轉(zhuǎn)子不平衡示意圖Fig.2 Diagram of rotor unbalance

(2)

式中：md為圓盤偏心質(zhì)量；ω為轉(zhuǎn)子角速度；t為時間；(a0，b0) 為質(zhì)心坐標(biāo)。

考慮軸系連接處的平行不對中力，以二倍頻為主，采用等效軸段法建立聯(lián)軸器模型，如圖3所示，O2為轉(zhuǎn)軸對應(yīng)半聯(lián)軸器的形心，O3為電動機(jī)對應(yīng)半聯(lián)軸器的形心，A為半聯(lián)軸器和聯(lián)軸器中間軸的螺栓連接點(diǎn)。令不對中偏差量坐標(biāo)為(δx，δy)，聯(lián)軸器徑向剛度取Kc，不對中力可表示為[13]

圖3 聯(lián)軸器平行不對中示意圖Fig.3 Diagram of coupling parallel misalignment

(3)

采用12極E型結(jié)構(gòu)AMA，其y方向結(jié)構(gòu)如圖4所示，y方向上下電磁力合力可表示為

圖4 AMA y方向結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure diagram of AMA along y direction

(4)

ka=49μ0N2A02(1+cosβ)/128，

(5)

Ks=4kai02/g03，

Ki=4kai0/g02，

式中：Ks為位移剛度；Ki為電流剛度。

假設(shè)x，y方向氣隙均勻，磁極面積相同，忽略2個方向的磁場耦合和漏磁，可認(rèn)為2個方向位移剛度和電流剛度相等，則

-Ksza+Kiic,

(6)

干擾力和控制力需要通過變換矩陣將局部坐標(biāo)系下的力轉(zhuǎn)換至整體坐標(biāo)系下，即變換成與 (1) 式階數(shù)相同的矩陣。以電磁力為例，通過變換矩陣Tc可得

(7)

對(1)式變化可得

(8)

新的剛度矩陣可表示為

(9)

1.2 狀態(tài)空間方程

為便于求解運(yùn)動方程的瞬態(tài)解，將上述的有限元方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程，定義狀態(tài)空間向量為

(10)

(11)

將(11)式轉(zhuǎn)化為一階微分方程形式，代入(10)式可得

(12)

Bsu=[0M-1]T，

式中：As為系統(tǒng)矩陣；Bsa，Bsu分別為電磁作動器電流和干擾力的輸入矩陣。

2 控制律及濾波器設(shè)計(jì)

考慮旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)的多頻振動，將振動故障的靶點(diǎn)表示為[11]

Θ(EN1,EN2,…,ENn;IN1,IN2,…,INn;QN1,QN2,…,QNn)，

(13)

式中：EN為能量流層面的特征參數(shù)(如執(zhí)行機(jī)構(gòu)的驅(qū)動能量等)；IN為信息流層面的特征參數(shù)(如控制系統(tǒng)中的參數(shù)信息等)；QN為物質(zhì)流層面的特征參數(shù)(如系統(tǒng)中的介質(zhì)等)。

結(jié)合旋轉(zhuǎn)機(jī)械中能量流、信息流和物質(zhì)流的特征，搭建旋轉(zhuǎn)機(jī)械實(shí)時狀態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)，采用多頻振動響應(yīng)的特征頻率、幅值、相位等參數(shù)來表征振動故障靶點(diǎn)，針對試驗(yàn)臺實(shí)時頻譜瀑布圖中較為突出的工頻和二倍頻，分析其機(jī)理，準(zhǔn)確定位靶點(diǎn)，有針對性地選擇和設(shè)計(jì)控制律和濾波器，抑制不平衡和不對中故障引起的多頻振動。

2.1 控制律設(shè)計(jì)

比例積分微分(Proportional Integration Differentiation，PID)控制屬于經(jīng)典線性控制器，是最早應(yīng)用于磁軸承的控制技術(shù)。以y方向采樣序號為n時的位移信號y(n)為例，設(shè)期望輸出為yd(n)，系統(tǒng)偏差e(n)=yd(n)-y(n)，則PID控制算法的時域控制律為

(14)

式中：kP為比例系數(shù)；Ts為采樣時間；kD為微分系數(shù)；t為采樣時刻。

考慮到實(shí)時控制系統(tǒng)對(14)式離散并整合調(diào)整參數(shù)后得到離散PID表達(dá)式為

(15)

式中：KP為比例增益；KI為積分增益；KD為微分增益。

積分控制主要用于消除系統(tǒng)靜態(tài)誤差選取不當(dāng)易引起的超調(diào)或積分飽和，考慮多倍頻周期振動的主動抑制，采用PD控制算法，即令Ki=0，則 (6) 式中局部坐標(biāo)系下的控制電流為

(16)

式中：KP為比例增益二階對角矩陣；KD為微分增益二階對角矩陣。

將(16)式整合到系統(tǒng)運(yùn)動方程(8)式中，得到基于PD控制律的系統(tǒng)剛度矩陣K0、阻尼矩陣C0為

(17)

(18)

此時，系統(tǒng)運(yùn)動方程為

(19)

根據(jù)(17)—(19)式，通過調(diào)整比例增益和微分增益改變系統(tǒng)剛度和阻尼，以實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)振幅。

2.2 濾波器設(shè)計(jì)

陷波濾波器采用二階(N=M=2)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器，其遞歸方程為

(20)

式中：ak和bl為多項(xiàng)式系數(shù)，考慮到多轉(zhuǎn)速控制以及精確靶向抑制的需要，多項(xiàng)式系數(shù)通過實(shí)時轉(zhuǎn)速和陷波帶寬實(shí)時查表確定；yf(n)為n時刻對位移信號y(n)的濾波處理值。

3 仿真分析

3.1 有限元模型

轉(zhuǎn)子-軸承-AMA系統(tǒng)模型主要參數(shù)見表1，根據(jù)第1節(jié)系統(tǒng)建模公式建立有限元模型，將整個系統(tǒng)劃分為11個Timoshenko梁單元，如圖5所示。設(shè)不平衡力作用在圓盤(9#節(jié)點(diǎn))處，平行不對中力作用在聯(lián)軸器(3#節(jié)點(diǎn))處，主動電磁控制力施加于AMA(7#節(jié)點(diǎn))處。

圖5 轉(zhuǎn)子-軸承-AMA系統(tǒng)模型Fig.5 Model of rotor-bearing-AMA system

表1 轉(zhuǎn)子-軸承-AMA系統(tǒng)模型主要參數(shù)

3.2 算法控制效果

仿真過程中，取系統(tǒng)采樣頻率fs=10 kHz，轉(zhuǎn)

子轉(zhuǎn)頻f=100 Hz，比例增益KP=4×107，微分增益KD=10，基于MATLAB仿真分析得到AMA 7#節(jié)點(diǎn)控制前后的軸心軌跡和頻域曲線如圖6所示：1)在控制器激發(fā)后，經(jīng)過衰減振蕩(收斂過程)，軸心軌跡更趨向坐標(biāo)原點(diǎn)且保持穩(wěn)定；2)振幅減小，工頻和二倍頻成分得到顯著抑制。說明該算法對不平衡-不對中耦合振動具有較好的抑制效果。

圖6 AMA 7#節(jié)點(diǎn)控制前后的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results before and after AMA 7#node control

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

建立轉(zhuǎn)子-軸承-AMA系統(tǒng)試驗(yàn)臺如圖7所示， 1#，2#測點(diǎn)分別裝有2套電渦流位移傳感器，3#，4#測點(diǎn)分別裝有1套電渦流位移傳感器?？蓛A瓦滑動軸承五瓦均布，且采用瓦塊上承載、中心支承的方式。系統(tǒng)采樣頻率fs為10.24 kHz，其他參數(shù)同表1。

圖7 轉(zhuǎn)子-軸承-AMA系統(tǒng)試驗(yàn)臺Fig.7 Test rig of rotor-bearing-AMA system

(16)

式中：FG為AMA提供的y方向支承力。偏置電流i0=1 A，試驗(yàn)中取im=0.1 A。

在多個轉(zhuǎn)速下對轉(zhuǎn)子振動進(jìn)行實(shí)時主動抑制以驗(yàn)證所提算法對轉(zhuǎn)子不平衡和不對中振動抑制的有效性。采用試湊法選取PD控制器參數(shù)：比例增益KPx=KPy= 2×104，微分增益KDx=KDy=15。得到1#測點(diǎn)y方向多轉(zhuǎn)速控制前后振幅如圖8所示，該算法對不同轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子振動均有較好的抑制效果，各轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子振幅降低幅度在43.8%～56.0%之間。當(dāng)轉(zhuǎn)速大于1 350 r/min時，振動抑制率減小，說明PD控制算法魯棒性不強(qiáng)。

圖8 1#測點(diǎn)y方向振幅多轉(zhuǎn)速控制對比圖Fig.8 Comparison diagram of amplitude multi speed controlin y direction of 1# measuring point

在轉(zhuǎn)速為1 950 r/min時各測點(diǎn)試驗(yàn)結(jié)果如圖9所示， 由圖9a、圖9b、圖9c可知在第10 s施加電磁控制力后，轉(zhuǎn)子-軸承-AMA系統(tǒng)各測點(diǎn)振幅均得到抑制，說明了該算法的有效性，由圖9d可知經(jīng)陷波濾波器濾波后噪聲現(xiàn)象得到明顯抑制。

圖9 各測點(diǎn)試驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Test results of each measuring point

轉(zhuǎn)速為1 950 r/min時1#測點(diǎn)y方向頻域瀑布圖如圖10所示：1)陷波濾波器對噪聲的濾波效果顯著,各頻段內(nèi)噪聲明顯，雖然每個頻率下噪聲都不大，但累計(jì)之后對控制效果影響較大，這也是采用陷波濾波器的原因。2)在惡劣工作環(huán)境下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)噪聲明顯，在第10 s施加控制后，振動一二倍頻成分得到抑制，說明該算法能有效抑制不平衡和不對中故障引起的振動。

圖10 1#測點(diǎn)y方向瀑布圖Fig.10 Waterfall diagram in y direction of1# measuring point

5 結(jié)論

針對轉(zhuǎn)子-軸承-AMA系統(tǒng)的不平衡-不對中耦合故障，設(shè)計(jì)了基于AMA的PD控制算法，建立控制系統(tǒng)仿真模型。在試驗(yàn)中設(shè)計(jì)陷波濾波器，以振動的工頻和二倍頻成分作為耦合故障的靶向抑制目標(biāo)，對轉(zhuǎn)子振動進(jìn)行主動抑制試驗(yàn)。根據(jù)仿真和試驗(yàn)結(jié)果得出以下結(jié)論：

1)從時域和頻域控制結(jié)果來看，離散PD控制器對多自由度、多轉(zhuǎn)速運(yùn)動轉(zhuǎn)子軸系的不平衡-不對中耦合振動有較好抑制效果。

2)針對靶向抑制所選用的離散PD控制器結(jié)構(gòu)簡單，魯棒性較差，隨轉(zhuǎn)速增大，其振動抑制率可能會減小。

3)陷波濾波器能有效提取相應(yīng)倍頻，抑制振動信號的噪聲，且可根據(jù)實(shí)時轉(zhuǎn)速改變陷波頻率，滿足多轉(zhuǎn)速運(yùn)行的需求。