周峻宇，閻明印，孫鳳，金俊杰，王韜宇

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

電磁懸浮驅(qū)動(dòng)技術(shù)是磁懸浮技術(shù)的一種應(yīng)用，具備響應(yīng)迅速、無(wú)需潤(rùn)滑等優(yōu)點(diǎn)，常應(yīng)用于高精度、高速度設(shè)備的運(yùn)動(dòng)控制[1-2]，并在國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究中不斷發(fā)展突破。文獻(xiàn)[3]提出了一種同步平面電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)，對(duì)x，y，z方向3個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的懸浮力進(jìn)行了仿真分析。文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種新型磁懸浮定位平臺(tái)，其由通電線圈提供平臺(tái)的懸浮力和垂直方向上的力，降低了控制難度。文獻(xiàn)[5]研制了一種六自由度精密定位臺(tái)，由6組E型電磁鐵組成懸浮平臺(tái)，提高了懸浮平臺(tái)的控制精度，平動(dòng)行程可達(dá)毫米級(jí)，轉(zhuǎn)動(dòng)行程可達(dá)微米級(jí)[5-6]。文獻(xiàn)[7]介紹了一種六自由度磁懸浮平臺(tái)，其定位精度可達(dá)納米級(jí)且系統(tǒng)魯棒性好。

本文提出了一種五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)，采用磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)形式，通過(guò)6組差動(dòng)電磁鐵控制平臺(tái)五自由度運(yùn)動(dòng)[8-9]，并建立動(dòng)力學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)豎直方向3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真分析和驅(qū)動(dòng)試驗(yàn)。

1 磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)及工作原理

1.1 磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)

五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由6組差動(dòng)電磁鐵、上頂蓋、下底蓋及中間起到連接作用的連接環(huán)構(gòu)成[10-11]。

1—上頂蓋；2—磁鐵連接塊；3—徑向電磁鐵；4—軸向電磁鐵；5—浮動(dòng)平臺(tái)；6—下底蓋；7—連接環(huán)；8—位移傳感器。

1.2 磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)工作原理

五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)中磁力驅(qū)動(dòng)器電磁鐵的水平分布如圖2所示：上下端蓋上均勻布置4組差動(dòng)電磁鐵(編號(hào)1，2，3，4)；中間部分的連接環(huán)上同樣均勻分布著2組差動(dòng)電磁鐵(編號(hào)5，6)?？刂?～4組差動(dòng)電磁鐵的電流可實(shí)現(xiàn)平臺(tái)在z軸方向的移動(dòng)；在平臺(tái)穩(wěn)定懸浮時(shí)，控制1，3組電磁鐵可實(shí)現(xiàn)平臺(tái)繞x軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；控制2，4組電磁鐵可實(shí)現(xiàn)平臺(tái)繞y軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；控制水平方向上的5，6組電磁鐵的電流可實(shí)現(xiàn)懸浮物沿x軸和y軸移動(dòng)。

圖2 磁力驅(qū)動(dòng)器電磁鐵的分布Fig.2 Distribution of electromagnets for magnetic driver

2 控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的受力情況如圖3所示，取平臺(tái)穩(wěn)定懸浮時(shí)平衡位置的質(zhì)心O為坐標(biāo)系原點(diǎn)并設(shè)立絕對(duì)坐標(biāo)系；當(dāng)平臺(tái)在平衡位置處運(yùn)動(dòng)時(shí)，其質(zhì)心發(fā)生了偏移，記為O′并設(shè)立相對(duì)坐標(biāo)系。

圖3 系統(tǒng)受力分析Fig.3 Force analysis of system

設(shè)O點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為

O=[XYZαβ]T,

(1)

式中：X，Y，Z為平臺(tái)平動(dòng)上的自由度；α，β分別為平臺(tái)繞x，y軸運(yùn)動(dòng)的自由度。

平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)時(shí)所處的坐標(biāo)系O′相對(duì)于6組電磁鐵的坐標(biāo)可以表示為

O′=[Z1Z2Z3Z4X1X2Y1Y2]T,

(2)

式中：Z1，Z2，Z3，Z4為垂直方向電磁鐵的自由度；X1，X2，Y1，Y2為水平方向電磁鐵的自由度。

上述2個(gè)廣義坐標(biāo)系的變換關(guān)系為

(3)

式中：a為磁極到質(zhì)心的距離。

由于平臺(tái)有5個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，控制系統(tǒng)的總動(dòng)能由平動(dòng)動(dòng)能T1和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能T2組成，分別為

(4)

式中：m為平臺(tái)質(zhì)量；Jα，Jβ分別為平臺(tái)繞x，y軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

建立的拉格朗日方程為

(5)

式中：kx，ky，kz為對(duì)應(yīng)位置電磁鐵的位移剛度系數(shù)；kixy，kiz為電流剛度系數(shù)；i1～i6分別為6組差動(dòng)電磁鐵的控制電流。

狀態(tài)空間矩陣為

(6)

(7)

C=[(0)5×5(E)5×5],

式中：u為系統(tǒng)的輸入，即控制電流；x為系統(tǒng)的狀態(tài)；y為系統(tǒng)的輸出；E為單位矩陣。

3 仿真分析

控制系統(tǒng)的基本參數(shù)見表1，PID控制原理如圖4所示：輸入量xd，yd為x，y方向的平動(dòng)，實(shí)現(xiàn)離軸加工并保證焦點(diǎn)與輔助氣體的位置關(guān)系；zd為z向平動(dòng)，負(fù)責(zé)改變焦點(diǎn)位置；αd，βd為x，y軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)激光打孔并達(dá)到激光振鏡的效果[12-13]。

表1 控制系統(tǒng)的基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of control system

圖4 PID控制原理Fig.4 Schematic diagram of PID control

使用Simulink對(duì)平臺(tái)的z向移動(dòng)、x軸回轉(zhuǎn)和y軸回轉(zhuǎn)進(jìn)行仿真分析，在0.5 s時(shí)給系統(tǒng)z方向一個(gè)0.1 mm的連續(xù)階躍信號(hào)，給系統(tǒng)x軸回轉(zhuǎn)和y軸回轉(zhuǎn)一個(gè)0.005 rad的連續(xù)階躍信號(hào)，PID控制參數(shù)kP為520，kI為300，kD為3，位移輸出情況如圖5所示。

由圖5可知：PID控制下系統(tǒng)沿z軸移動(dòng)的響應(yīng)時(shí)間為0.05 s，超調(diào)量為90%；系統(tǒng)繞x，y軸回轉(zhuǎn)的響應(yīng)時(shí)間為0.05 s，超調(diào)量為75%；在給系統(tǒng)連續(xù)階躍信號(hào)情況下，平臺(tái)能夠迅速響應(yīng)，具有較好的控制效果。

圖5 PID控制下系統(tǒng)的位移輸出Fig.5 Displacement output of system under PID control

4 五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)樣機(jī)的搭建

為驗(yàn)證z向移動(dòng)以及x，y軸回轉(zhuǎn)這3個(gè)自由度的驅(qū)動(dòng)特性和理論模型的準(zhǔn)確性，搭建五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

電磁懸浮驅(qū)動(dòng)器如圖6所示，豎直方向的4組軸向差動(dòng)電磁鐵與控制器之間采用中間塊連接，2組徑向電磁鐵則直接與中間連接環(huán)連接，通過(guò)這6組電磁鐵控制懸浮平臺(tái)實(shí)現(xiàn)5個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)。

圖6 五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)樣機(jī)Fig.6 5-DOF magnetic driving platform prototype

根據(jù)五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)工作原理搭建的試驗(yàn)裝置如圖7所示。dSPACE控制器的電壓信號(hào)輸入范圍為0～10 V。電渦流位移傳感器的量程為0～2 mm，精度為0.05 mm，輸出電壓為0～6 V，可檢測(cè)系統(tǒng)的位置輸出。功率放大器電壓信號(hào)的工作量程為0～10 V，輸出電流為0～6 A，可放大輸出信號(hào)。

圖7 五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)試驗(yàn)裝置Fig.7 Experimental device of 5-DOF magneticdriving platform

根據(jù)驅(qū)動(dòng)平臺(tái)構(gòu)建控制系統(tǒng)單元，給懸浮物一個(gè)階躍信號(hào)作為期望位移值，電渦流位移傳感器檢測(cè)到位移信號(hào)后通過(guò)dSPACE進(jìn)行數(shù)模轉(zhuǎn)換并傳遞給控制器，將反饋值與期望位移的計(jì)算偏差作為控制器輸出信號(hào)，通過(guò)dSPACE轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)并經(jīng)功率放大器轉(zhuǎn)換為電流信號(hào)輸入線圈，使懸浮物達(dá)到穩(wěn)定位置：上述過(guò)程形成一個(gè)閉合回路。通過(guò)調(diào)試試驗(yàn)裝置實(shí)現(xiàn)對(duì)差動(dòng)電磁鐵的磁力控制，最終分別對(duì)z軸平動(dòng)特性和x，y軸回轉(zhuǎn)特性進(jìn)行控制試驗(yàn)。

5 磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)特性分析

試驗(yàn)中，各參數(shù)條件與仿真分析保持一致，在理論基礎(chǔ)上調(diào)節(jié)PD和PID參數(shù)并進(jìn)行磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)特性分析，PD控制參數(shù)kP為520，kD為3；PID控制參數(shù)kP為520，kI為300，kD為3。

5.1 起浮特性

為實(shí)現(xiàn)磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)5個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)對(duì)驅(qū)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行起浮試驗(yàn)以驗(yàn)證其能否實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮[14]。向豎直方向上的4組電磁鐵輸入一個(gè)偏置電流使磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)有一定的電流剛度，給系統(tǒng)提供一個(gè)平衡位置位移信號(hào)，豎直方向上端4個(gè)電磁鐵的電流增大，下端4個(gè)電磁鐵的電流減小，從而使懸浮物達(dá)到平衡位置。

如圖8所示，電磁驅(qū)動(dòng)平臺(tái)在上、下端蓋4組電磁鐵(Z1，Z2，Z3，Z4)的共同作用下，經(jīng)過(guò)0.20 s的調(diào)節(jié)時(shí)間(PD控制)使平臺(tái)回到平衡位置。

圖8 磁力驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的起浮情況Fig.8 Undulation of magnetic driving platform

5.2 z軸平動(dòng)特性

系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮時(shí)，給系統(tǒng)幅值為0.1 mm的連續(xù)階躍信號(hào)， PD和PID控制試驗(yàn)下的z向位移輸出曲線如圖9所示：PD控制的響應(yīng)時(shí)間為0.10 s，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.20 s，超調(diào)量為100%，穩(wěn)態(tài)誤差為0.05 mm；PID控制的響應(yīng)時(shí)間為0.25 s，調(diào)節(jié)時(shí)間為1.25 s，超調(diào)量為120%，穩(wěn)態(tài)誤差為0。PD控制的響應(yīng)時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間快，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，懸浮物在z向的移動(dòng)通過(guò)4組差動(dòng)電磁鐵共同控制實(shí)現(xiàn)，由圖8也可以明顯看出4組電磁鐵的位移變化不一致，控制精度低。相較于PD控制，PID控制的響應(yīng)時(shí)間慢，但消除了穩(wěn)態(tài)誤差，保證4組差動(dòng)電磁鐵與懸浮物間的氣隙始終一致，具有較高的控制精度，能夠精準(zhǔn)確定焦點(diǎn)位置，實(shí)現(xiàn)調(diào)焦功能。

圖9 系統(tǒng)的z向平動(dòng)Fig.9 Translational motion of system along z-axis

5.3 x軸回轉(zhuǎn)特性

系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮時(shí)，給系統(tǒng)幅值為0.001 rad的連續(xù)階躍信號(hào)，觀察系統(tǒng)的位移輸出響應(yīng)情況。PD和PID控制試驗(yàn)下x軸回轉(zhuǎn)情況如圖10所示：PD控制的響應(yīng)時(shí)間為0.20 s，調(diào)節(jié)時(shí)間為1.20 s，超調(diào)量為70%，穩(wěn)態(tài)誤差為0.001 2 rad；PID控制的響應(yīng)時(shí)間為0.30 s，調(diào)節(jié)時(shí)間為1.80 s，超調(diào)量為230%，穩(wěn)態(tài)誤差為0。在相同試驗(yàn)條件下，PD控制響應(yīng)快，響應(yīng)過(guò)程中比較穩(wěn)定，但存在穩(wěn)態(tài)誤差；對(duì)于PID控制，雖然響應(yīng)過(guò)程中電磁鐵氣隙波動(dòng)較大，但由于積分的引入，有效消除了穩(wěn)態(tài)誤差，具有較高的控制精度。

圖10 系統(tǒng)繞x軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)Fig.10 Rotation of system around x-axis

5.4 y軸回轉(zhuǎn)特性

系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮時(shí)，給系統(tǒng)幅值為0.001 rad的連續(xù)階躍信號(hào)，觀察系統(tǒng)的位移輸出響應(yīng)情況。PD和PID控制試驗(yàn)下y軸回轉(zhuǎn)情況如圖11所示：PD控制的響應(yīng)時(shí)間為0.20 s，調(diào)節(jié)時(shí)間為1.20 s，超調(diào)量為75%，穩(wěn)態(tài)誤差為0.07 mm；PID控制的響應(yīng)時(shí)間為0.30 s，調(diào)節(jié)時(shí)間為2.00 s，超調(diào)量為80%，穩(wěn)態(tài)誤差為0。在相同試驗(yàn)條件下，PD控制的響應(yīng)時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間快但存在穩(wěn)態(tài)誤差，PID控制消除了穩(wěn)態(tài)誤差，具有較好的控制精度，可以精準(zhǔn)確定激光打孔位置，達(dá)到激光振鏡的效果。

圖11 系統(tǒng)繞y軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)Fig.11 Rotation of system around y-axis

5.5 小結(jié)

仿真與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比見表2：試驗(yàn)結(jié)果的響應(yīng)時(shí)間比仿真結(jié)果略長(zhǎng)，控制系統(tǒng)存在時(shí)滯性；由于懸浮物質(zhì)量分布不均勻，試驗(yàn)的超調(diào)量也比仿真結(jié)果大。

表2 仿真與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Tab.2 Comparison of simulation and experimental results

6 結(jié)論

提出了一種五自由度磁懸浮驅(qū)動(dòng)平臺(tái)，建立動(dòng)力學(xué)模型并使用Simulink進(jìn)行仿真分析，通過(guò)對(duì)控制系統(tǒng)的z向平動(dòng)和x，y軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的控制試驗(yàn)得出以下結(jié)論：

1)五自由度驅(qū)動(dòng)平臺(tái)能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，驗(yàn)證了z向平動(dòng)和x，y軸回轉(zhuǎn)這3個(gè)自由度的驅(qū)動(dòng)特性和理論模型的準(zhǔn)確性。

2)相對(duì)于PD控制，PID控制應(yīng)用于五自由度驅(qū)動(dòng)平臺(tái)能更好地消除穩(wěn)態(tài)誤差。

研究成果為激光加工的調(diào)焦功能和精密打孔奠定了基礎(chǔ)，接下來(lái)將進(jìn)行x，y軸移動(dòng)試驗(yàn)以實(shí)現(xiàn)離軸式激光切割，并使用更高級(jí)的算法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證。