洪鑫 展國培

[摘? 要] 從“教材”到“學(xué)材”，其生命力就在于“學(xué)”. 教師要將教材中的一些空間進(jìn)一步細(xì)化，使其更貼近學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.細(xì)化變式問題的產(chǎn)生過程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題的關(guān)聯(lián)性;細(xì)化教材中例習(xí)題的分析過程，讓學(xué)生感悟解法的合理性;細(xì)化問題解決后的數(shù)學(xué)解釋、表達(dá)的過程，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的實用性.

[關(guān)鍵詞] 教材;細(xì)化;過程;問題

史寧中教授指出，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過獨立思考、與他人交流，最終自己“悟”出來的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法[1]. 指向核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，要求我們一定要轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方式，確立以“學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，將“教材”變?yōu)椤皩W(xué)材”.從“教材”到“學(xué)材”，其生命力就在于“學(xué)”[2]. 因此，教師在備課時，要結(jié)合授課對象的具體情況，將教材中的一些空間進(jìn)一步細(xì)化，使其更貼近學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.具體到教學(xué)過程中，就是要通過問題引領(lǐng)，激發(fā)學(xué)生主動參與的熱情. 我們要細(xì)化變式問題的產(chǎn)生過程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題的關(guān)聯(lián)性;細(xì)化教材中例習(xí)題的分析過程，讓學(xué)生感悟解法的合理性;細(xì)化問題解決后的數(shù)學(xué)解釋、表達(dá)的過程，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的實用性. 文章以蘇教版數(shù)學(xué)教科書（2019年版）（下文簡稱“新版”）中的幾個問題為例，作了一些探討.

細(xì)化變式問題產(chǎn)生的過程

變式教學(xué)曾稱為“促進(jìn)有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式”. 然而，在變式教學(xué)中，教師習(xí)慣把自己精心設(shè)計的變式問題一個個地拋給學(xué)生，教學(xué)的重點放在解決這些問題上，而忽視了向?qū)W生解釋變式的起因和過程. 學(xué)生僅僅是靜態(tài)問題的解答者，而非動態(tài)問題的參與者，更談不上設(shè)計者. 美國著名心理學(xué)家布魯納說：“學(xué)習(xí)者不應(yīng)是信息的被動接受者，而應(yīng)該是知識獲取過程中的主動參與者.”新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)“四能”的培養(yǎng)，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，是培養(yǎng)“四能”的第一步. 教師可以從構(gòu)成數(shù)學(xué)命題系統(tǒng)的要素（條件、依據(jù)、方法、結(jié)論）出發(fā)，教會學(xué)生逆向思考、類比歸納、深入探究、強化或弱化條件等手段，對原命題進(jìn)行變式，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.

教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生分析問題的表征信息，并展開如下變式研究：

（1）改變條件呈現(xiàn)的方式.

變式1：若tanα，tanβ是方程6x2-5x+1=0的兩根，α，β均為銳角，求α+β的值.

（2）弱化條件：只給出tanα，tanβ滿足的關(guān)系式或省略兩個角的限制范圍.

變式2：已知（tanα+1）（tanβ+1）=2，α，β均為銳角，求α+β的值.

（3）改變圖形形狀.

變式4：如圖2所示，在△ACD中，DB⊥AC，B為垂足，若AB∶BC∶DB=2∶3∶6，求∠ADC的度數(shù).

變式5：如圖3所示，在△ABC中，D是BC邊上一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn). 已知∠A=45°，BE=1，DE=2，DF=3，求CF的長.

（4）改變問題背景，包裝成應(yīng)用題.

變式6：如圖4所示，在某開發(fā)區(qū)內(nèi)新建了兩棟高樓AB，CD（AC為水平地面），P為AC的中點，在點P處測得兩樓頂?shù)膹埥恰螧PD=45°，AB=AC=50 m.①求樓CD的高度（測量儀器的高度不計）. ②當(dāng)測角儀在AC上什么位置時，兩樓頂?shù)膹埥亲畲螅?/p>

說明：該題第①問是新版蘇教版必修第二冊第61頁的習(xí)題;第②問是視角最大問題，在2010年江蘇高考中出現(xiàn)過，視角最大問題對高一學(xué)生難度偏大，適宜高三復(fù)習(xí)課使用.

細(xì)化問題的分析過程

教材中的分析：把角α看成α+β與β的差，即α=（α+β）-β，再用兩角差的正弦公式展開.配套的教學(xué)參考書中這樣講道：“‘拆角是三角變換中的常用技巧，它體現(xiàn)了化歸思想.”教學(xué)時，可以把教材中的解法與從cos（α+β）的展開式中解出sinα的方法相比較，讓學(xué)生體會“拆角”法的簡潔和思路的合理性.

第一步，方程組能不能解？（意圖：體會方程思想，兩個方程可以解出sinα，cosα的值.）

第二步，方程組怎么解，可使得計算簡單一些？（意圖：在解析幾何中還會遇到這類方程組.解不出方程組的主要原因有兩方面：一是學(xué)生的算法不合理，算理不清楚;二是怕繁畏難.學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及意志品格的培養(yǎng)要在細(xì)微處著力.）

第三步，解法受阻的原因是什么？有沒有其他思路？（意圖：分析受阻成因，謀求突破途徑.）

第四步，消除差異法是處理三角恒等變換常用的方法.已知角α+β，β與欲求的角α之間具有何種關(guān)系呢？（意圖：滲透研究三角恒等變換的一般觀念，讓學(xué)生觸摸“拆角”的技巧.）

通過上述細(xì)化分析，讓學(xué)生經(jīng)歷“受挫—析因—突破”的過程，使他們既能“明算理”又能“悟方法”，不斷提升他們分析問題和解決問題的能力，同時數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)也能得到提升.

細(xì)化問題的表達(dá)過程

目前，數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)大多停留在“得到數(shù)學(xué)結(jié)果”這一步，而忽視了對數(shù)學(xué)模型實際意義的解釋. 為培養(yǎng)學(xué)生“能用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”，不僅要重視建模過程和求解過程的教學(xué)，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值.

例3 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）. 某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺（x∈N*）的收入函數(shù)R（x）=3000x-20x2（單位：元），其成本函數(shù)C（x）=500x+4000（單位：元），利潤是收入與成本之差.（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）;（2）利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？（出自新版蘇教版必修第一冊第226頁例5）

略解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-20x2+2500x-4000，其中，1≤x≤100，x∈N*;MP（x）=P（x+1）-P（x）=2480-40x，其中，1≤x≤100，x∈N*.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436

邊際函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個基本概念. 針對本題可以提出如下問題：

（1）本題中，利潤函數(shù)和邊際利潤函數(shù)的實際意義分別是什么？

生：利潤函數(shù)是生產(chǎn)x臺報警系統(tǒng)裝置的總利潤，而邊際利潤函數(shù)是生產(chǎn)第（x+1）臺報警系統(tǒng)裝置的利潤.

（2）邊際利潤函數(shù)MP（x）=2480-40x是減函數(shù)，說明了什么實際意義？

生：說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺報警系統(tǒng)裝置的利潤與前一臺的利潤相比在減少. 當(dāng)x=1時，第2臺的利潤與第1臺的利潤相差最大，也就是說，生產(chǎn)第2臺報警系統(tǒng)裝置的利潤最大.

（3）你怎么理解利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值？

生：從數(shù)學(xué)角度來講，利潤函數(shù)P（x）是二次函數(shù)，邊際利潤函數(shù)MP（x）是遞減的一次函數(shù)，從圖像（如圖5、圖6所示）可以看出，它們不具有相同的最大值. 從實際角度來講，當(dāng)產(chǎn)量x∈[1，62]（x∈N*）時，隨著產(chǎn)量的增加，盡管每臺報警系統(tǒng)裝置的利潤在下降，但邊際利潤函數(shù)值是正數(shù)，說明每臺報警系統(tǒng)裝置仍有利潤，因此總利潤是上升的;當(dāng)x∈[63，100]（x∈N*）時，邊際利潤函數(shù)值是負(fù)數(shù)，且每多生產(chǎn)一臺，企業(yè)就多虧損40元，因此總利潤呈下降趨勢，但總利潤還是正數(shù)，說明企業(yè)總體沒有虧損.

（4）企業(yè)何時會出現(xiàn)虧損？

生：因為P（1）=-1520<0，P（2）=920，P（100）=46000>0. 說明生產(chǎn)第1臺報警系統(tǒng)裝置時企業(yè)虧損1520元，從生產(chǎn)第2臺起，企業(yè)開始盈利. 由于P（123）=P（2）=920>0，P（124）=P（1）=-1520<0，所以當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)第124臺報警系統(tǒng)裝置時就會出現(xiàn)虧損.

（5）請分別計算邊際成本函數(shù)和邊際收入函數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：邊際成本函數(shù)MC（x）=C（x+1）-C（x）=500，邊際收入函數(shù)MR（x）=R（x+1）-R（x）=2980-40x，當(dāng)MR（x）=MC（x），即x=62時，利潤函數(shù)P（x）取得最大值. 也就是說，當(dāng)邊際收入函數(shù)等于邊際成本函數(shù)時，企業(yè)獲得最大利潤. （如圖7所示）

（6）邊際函數(shù)對企業(yè)生產(chǎn)決策有哪些幫助？

生：邊際利潤函數(shù)的主要用途：①決定企業(yè)的某個產(chǎn)品是否應(yīng)該停產(chǎn).當(dāng)產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)值是負(fù)數(shù)時，就要考慮停產(chǎn)該產(chǎn)品. ②判斷企業(yè)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)是否合理.若所有產(chǎn)品均有邊際利潤，說明產(chǎn)品結(jié)構(gòu)是合理的.

結(jié)語

深入了解學(xué)生的內(nèi)在需求，不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲望，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)和目標(biāo). 因此，無論選擇哪種版本的教材，我們都要理解教材的思想、精神、靈魂;要依據(jù)學(xué)生思維活動的水平、思維活動的發(fā)展規(guī)律，細(xì)化某些環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)“過程”，切實有效地將“教材”變?yōu)椤皩W(xué)材”.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]? 李善良. 教科書：從“教”材到“學(xué)”材[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（08）：1-4.

作者簡介：洪鑫（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，江蘇省數(shù)學(xué)奧林匹克一級教練員，曾獲“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展示一等獎.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436