[摘? 要] 數(shù)學(xué)學(xué)科育人是對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力和必備品格的培育，在數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷深度思考的學(xué)習(xí)過(guò)程，在數(shù)學(xué)探究過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，培養(yǎng)良好的習(xí)慣和品格. 文章以蘇教版（2019年版）“函數(shù)的概念和圖像”教學(xué)為例，在課堂實(shí)踐中找準(zhǔn)育人的附著點(diǎn)、停靠點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)，設(shè)計(jì)有高度、有寬度、有深度、有溫度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中情境育人、實(shí)踐育人、思維育人的方法和策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);學(xué)科育人;概念教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科育人的目標(biāo)做了進(jìn)一步的闡述：“提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力;樹(shù)立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神;不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí);認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值、審美價(jià)值.”[1]我們要發(fā)揮數(shù)學(xué)課堂的主渠道作用，將學(xué)科育人寓于數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授過(guò)程. 有意識(shí)地做好教材的深度研究，挖掘教材和課堂中蘊(yùn)含的不同種類(lèi)的育人素材，以巧妙的教學(xué)方法實(shí)現(xiàn)兩者之間的高度融合. 既使學(xué)生能在課堂教學(xué)中習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建完整的脈絡(luò)框架;又能形成良好習(xí)慣，培育數(shù)學(xué)理性精神;還能接受思想政治熏陶，樹(shù)立正確的價(jià)值觀和人生觀，最終達(dá)到智慧增長(zhǎng)、情感豐富、精神涵養(yǎng)的目的. 下面以筆者參加江蘇省青年高中數(shù)學(xué)教師優(yōu)課評(píng)比活動(dòng)中執(zhí)教的“函數(shù)的概念和圖像”為例，探索高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的育人路徑.

教學(xué)過(guò)程及設(shè)計(jì)意圖

1. 創(chuàng)設(shè)情境，鋪墊引入

課程首語(yǔ)：華羅庚名言“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用到數(shù)學(xué)”.

思考1：請(qǐng)你帶著數(shù)學(xué)的眼光觀看視頻《老師的一天》，你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

播放視頻：《老師的一天》（節(jié)選自《學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)》）.

師生交流、提煉：

（1）情境1：學(xué)習(xí)小組6名學(xué)生的學(xué)號(hào)與數(shù)學(xué)考試成績(jī).

（2）情境2：軍訓(xùn)隊(duì)伍行進(jìn)路程與時(shí)間的關(guān)系S=0.8t.

（3）情境3：某天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖.

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生養(yǎng)成用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)、函數(shù)的眼光去認(rèn)識(shí)世界的思維習(xí)慣. 課程首語(yǔ)選用華羅庚名言及視頻《老師的一天》，都是為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活，生活處處有數(shù)學(xué).在單元整體視角下，把本章需要的情境融合典型實(shí)例，用一個(gè)實(shí)際故事創(chuàng)設(shè)了課堂教學(xué)整體情境，讓學(xué)生在實(shí)際情境中尋找數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

思考2：以上情境都和數(shù)學(xué)中的什么知識(shí)有關(guān)？為什么？

師生交流：它們都是函數(shù)問(wèn)題，判斷依據(jù)是初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念.

（1）復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念.

問(wèn)題：在初中，函數(shù)的概念是怎樣表述的？

生：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù).

（2）介紹函數(shù)的發(fā)展史.

設(shè)計(jì)意圖：人教版教材和蘇教版新教材的章首語(yǔ)都設(shè)置了具體問(wèn)題，通過(guò)激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，強(qiáng)調(diào)高中要繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性. 但函數(shù)概念本身就非常抽象，試教實(shí)施過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)概念有很大困難.改用數(shù)學(xué)史的簡(jiǎn)單介紹，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)概念隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展在不斷完善，集合概念的出現(xiàn)使函數(shù)概念又得到了進(jìn)一步發(fā)展，人們用“集合”和“對(duì)應(yīng)”來(lái)定義函數(shù)，可以更加深入地理解函數(shù)的本質(zhì)，也是我們?yōu)槭裁匆僬J(rèn)識(shí)函數(shù)概念的依據(jù).

2. 歸納概括，建構(gòu)概念

問(wèn)題1：怎樣進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念？

情境1：某學(xué)習(xí)小組6名學(xué)生的學(xué)號(hào)與數(shù)學(xué)考試成績(jī)（如表1所示）.

在教師的引導(dǎo)下，師生共同分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生的學(xué)號(hào)與數(shù)學(xué)考試成績(jī)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系→數(shù)與數(shù)的對(duì)應(yīng)→集合與集合的對(duì)應(yīng). 即

情境2：隊(duì)列訓(xùn)練中，方陣以0.8 m/s的速度勻速行進(jìn)2分鐘，這段時(shí)間內(nèi)，方陣行進(jìn)的路程S（單位：m）與行進(jìn)時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可以表示為S=0.8t.

師：這個(gè)函數(shù)能不能理解為兩個(gè)集合的“對(duì)應(yīng)”呢？如果是，又是哪兩個(gè)集合的“對(duì)應(yīng)”？

學(xué)生在情境1的分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)相互交流發(fā)現(xiàn)：

情境3：圖2為某天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖.

師：這個(gè)函數(shù)又可以看作是哪兩個(gè)集合的“對(duì)應(yīng)”呢？

學(xué)生在前面兩個(gè)情境的分析的基礎(chǔ)上，可以很快發(fā)現(xiàn)：

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三個(gè)情境的分析，引導(dǎo)學(xué)生完成三個(gè)層次的抽象：第一層次是由“生活數(shù)學(xué)”到“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的抽象;第二層次是由“變量（數(shù)）與變量（數(shù)）的對(duì)應(yīng)”到“集合與集合的對(duì)應(yīng)”的抽象;第三層次是對(duì)函數(shù)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的抽象.為函數(shù)概念的形成奠定了基礎(chǔ).三個(gè)情境分析的活動(dòng)方式也有所變化，這完全符合學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律.

問(wèn)題2：上述闡述中，包含了函數(shù)哪些共同特征？

通過(guò)PPT展示（如圖3所示）：

特征1：都包含兩個(gè)非空數(shù)集;

特征2：都包含一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系;

特征3：對(duì)于數(shù)集A中任意元素x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)集B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng).

問(wèn)題3：結(jié)合特征，請(qǐng)用“集合”與“對(duì)應(yīng)”刻畫(huà)函數(shù).

教師在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上完善補(bǔ)充，生成函數(shù)概念：給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作y=f（x），x∈A. 其中，x叫做自變量，集合A叫做函數(shù)的定義域（domain）.

設(shè)計(jì)意圖：在三個(gè)情境分析和抽象的基礎(chǔ)上，對(duì)三個(gè)情境（數(shù)學(xué)問(wèn)題）中函數(shù)的共同特征進(jìn)行歸納概括，使函數(shù)概念的生成水到渠成. 讓學(xué)生在合作探究中既構(gòu)建了數(shù)學(xué)知識(shí)體系，生成了數(shù)學(xué)概念，也在實(shí)踐探索中培養(yǎng)了數(shù)學(xué)探究能力和數(shù)學(xué)理性精神，潛移默化中讓數(shù)學(xué)課程和思政教育形成了“協(xié)同效應(yīng)”.FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436

3. 問(wèn)題辨析，理解概念

思考：情境1中如果4號(hào)學(xué)生缺考，Y是否為X的函數(shù)？

學(xué)生根據(jù)函數(shù)概念辨析如下（師生活動(dòng)）：若4號(hào)學(xué)生的成績(jī)記為“缺考”，則Y不是X的函數(shù)（如圖4所示）;若4號(hào)學(xué)生缺考而沒(méi)有記錄成績(jī)，則Y不是X的函數(shù)（如圖5所示）;若4號(hào)學(xué)生缺考而成績(jī)記為“0”，則Y是X的函數(shù)（如圖6所示）.

追問(wèn)：集合A，B與對(duì)應(yīng)關(guān)系f如圖7、圖8所示，f：A→B是否為從集合A到集合B的函數(shù)？

y=f（x），x∈A中的f（x）是運(yùn)算符號(hào)，輸入一個(gè)x值，就有唯一的y值輸出，我們把所有輸出的值組成的集合稱(chēng)為值域. 比如圖9的值域?yàn)镃={130，142，108，0， 92，113}. 給出函數(shù)值域的定義：若A是函數(shù)y=f（x）的定義域，則對(duì)于A中的每一個(gè)x值（輸入值），都有唯一一個(gè)y值（輸出值）與之對(duì)應(yīng). 我們將所有y值組成的集合{yy=f（x），x∈A}稱(chēng)為函數(shù)的值域（range）.

繼續(xù)追問(wèn)：（1）圖10表示的函數(shù)的值域C是什么？

（2）值域C與集合B是什么關(guān)系？

對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、值域是函數(shù)的三要素，對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、值域都相同的兩個(gè)函數(shù)才能稱(chēng)為同一個(gè)函數(shù).

思考：判斷下列各組函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，并說(shuō)明理由：

（1）y=2x，x∈（0，2）;y=x2，x∈（0，2）.

（2）y=x2，x∈{0，2};y=x2，x∈[0，2].

（3）y=x2，x∈（0，+∞）;s=t2，x∈（0，+∞）.

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)的概念比較抽象，在給出函數(shù)概念和初步解讀的基礎(chǔ)上，針對(duì)概念中的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)，通過(guò)設(shè)置具體直觀的問(wèn)題，讓學(xué)生在問(wèn)題的辨析過(guò)程中進(jìn)一步理解函數(shù)的概念. 在處理方式上，采用的是由具體到抽象的方法，不斷強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 其中，對(duì)函數(shù)值域概念的后置處理采用的也是由具體到抽象的方法，顯得自然順暢，同時(shí)也有效分解了難點(diǎn).

4. 典例探究，鞏固概念

例1 （多選題）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的有（? ）

B. x→y，這里y2=x，x∈N，y∈R

C. x→1，x∈R

D. 當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x→1;當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，x→0

例2 根據(jù)所給信息完善下表：

探究 （開(kāi)放題）已知一個(gè)函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域?yàn)閰^(qū)間[1，4]，這樣的函數(shù)有多少個(gè)？試寫(xiě)出其中的兩個(gè)函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：例1運(yùn)用函數(shù)的概念判別對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解、鞏固概念. 例2讓學(xué)生在具體的問(wèn)題背景中理解函數(shù)定義域、值域的含義，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，感悟簡(jiǎn)單的函數(shù)定義域、值域問(wèn)題的求解方法，并能用集合規(guī)范地表達(dá)定義域和值域.最后設(shè)計(jì)了開(kāi)放性的探究問(wèn)題，讓學(xué)生更加深刻地理解函數(shù)三要素之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

5.？搖課堂小結(jié)，單元引領(lǐng)

課堂小結(jié)如圖11所示.

設(shè)計(jì)意圖：在課堂小結(jié)中，既抓住了本節(jié)課的重點(diǎn)，又梳理了初中和高中函數(shù)教學(xué)的基本框架和路徑.其中，用“單元”思想引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的系統(tǒng)性和整體性，促進(jìn)學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想站位.

課堂評(píng)析與思考

概念教學(xué)不能是“生搬硬套”給出概念、“死記硬背”記憶概念、“習(xí)題操練”鞏固概念的傳統(tǒng)模式，而要從學(xué)科育人的視角出發(fā)，“重視概念引入，激發(fā)學(xué)生求知”“突出概念生成，豐富學(xué)生活動(dòng)”“深化概念理解，拓展學(xué)生認(rèn)知”“加強(qiáng)概念應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生思維”. 由于函數(shù)概念高度抽象，難以理解，因此本節(jié)課深度融合了函數(shù)概念形成的歷史文化以及概念建構(gòu)、辨析、應(yīng)用中飽含的育人元素，有效依托實(shí)際的問(wèn)題情境，重點(diǎn)關(guān)注函數(shù)概念特征的抽象過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)概念產(chǎn)生的過(guò)程，并且結(jié)合具體問(wèn)題對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行深刻辨析. 既講清了知識(shí)又提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，豐富了數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，培養(yǎng)了優(yōu)秀學(xué)習(xí)品質(zhì)，達(dá)到了學(xué)科育人的效果[2].

1. 在鋪墊導(dǎo)入中突出情境育人

數(shù)學(xué)情境的有效創(chuàng)設(shè)，可以樹(shù)立學(xué)生的學(xué)習(xí)信心、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極思維. 充分挖掘教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際生活的“切入點(diǎn)”設(shè)置情境，可以自然地導(dǎo)入數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生形成感性認(rèn)識(shí)，在真實(shí)的情境中獲得知識(shí)和技能;將數(shù)學(xué)中的“境”與生活中的“境”融合統(tǒng)一，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的“真”，體悟到數(shù)學(xué)的“美”，促使學(xué)生“知、情、意、行”全面發(fā)展. 本節(jié)課在鋪墊導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，充分挖掘隱性素材并加工創(chuàng)新，巧妙地賦予思政元素，節(jié)選自《學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)》視頻故事中老師一天忙碌的工作，弘揚(yáng)尊師重教的優(yōu)良傳統(tǒng)，突出課堂的德育功能.在感知函數(shù)概念繼續(xù)學(xué)習(xí)的必要性時(shí)，回避學(xué)生理解中的難點(diǎn)，選擇從函數(shù)發(fā)展的歷史過(guò)程切入主題，“寥寥幾句”既推廣數(shù)學(xué)文化又不沖淡本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，更能起到春風(fēng)化雨、潤(rùn)物無(wú)聲的育人功效.

2. 在建構(gòu)概念中彰顯實(shí)踐育人

在建構(gòu)概念的過(guò)程中，需要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、合作交流、總結(jié)提煉，讓學(xué)生主動(dòng)概括形成概念，通過(guò)師生之間互動(dòng)厘清概念的脈絡(luò)，對(duì)概念的重難點(diǎn)進(jìn)行辨析理解，深度挖掘概念的內(nèi)涵和外延[3]. 比如：情境1是在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)師生共同分析，直觀呈現(xiàn)了“學(xué)號(hào)與數(shù)學(xué)考試成績(jī)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”到“數(shù)與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”再到“集合與集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系”的抽象過(guò)程;然后組織學(xué)生合作探究、類(lèi)比歸納情境2中是哪兩個(gè)集合的“對(duì)應(yīng)”;基于前面活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能自覺(jué)發(fā)現(xiàn)情境3中集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系;最終在類(lèi)比歸納中找到它們的共性特征，建構(gòu)集合對(duì)應(yīng)視角下的函數(shù)概念.概念建構(gòu)中的探究實(shí)踐活動(dòng)給學(xué)生提供了提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、探究?jī)?nèi)部規(guī)律、解決實(shí)際問(wèn)題，有利于增強(qiáng)批判質(zhì)疑的意識(shí)、提高理性思維能力、培養(yǎng)勇于探究的精神. 學(xué)生相互合作、分享經(jīng)驗(yàn)，可以展示自我、活躍思維，有利于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，培養(yǎng)樂(lè)學(xué)、善學(xué)、勤思的優(yōu)良學(xué)習(xí)品格.

3. 在辨析、應(yīng)用中體現(xiàn)思維育人

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)為思維而教，強(qiáng)化思維育人貫穿數(shù)學(xué)課堂的始終.數(shù)學(xué)概念課中，為了架構(gòu)完整的概念體系，讓學(xué)生透徹理解數(shù)學(xué)概念，可以精設(shè)問(wèn)題開(kāi)展辨析，在探究交流中激活學(xué)生的思維;也可以在概念生成、辨析清楚后，運(yùn)用剛學(xué)的數(shù)學(xué)概念解答精選的典型試題，并從中總結(jié)解題的一般規(guī)律、細(xì)化解題方法、梳理易錯(cuò)環(huán)節(jié)，有效實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移. 讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)價(jià)值時(shí)，培養(yǎng)他們主動(dòng)參與活動(dòng)的意識(shí)，提升問(wèn)題解決能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣. 本節(jié)課在概念辨析環(huán)節(jié)中，針對(duì)函數(shù)概念中的“每一個(gè)”“唯一”等關(guān)鍵字詞，和相關(guān)的易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)，設(shè)置了三組具體、直觀的問(wèn)題讓學(xué)生辨析，激發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生深度理解函數(shù)概念. 在例題探究、概念鞏固的環(huán)節(jié)中，筆者結(jié)合高考新題改編了課本中的例題，以多選題、開(kāi)放題等多種形式命題，組織學(xué)生討論、板演、評(píng)價(jià)、修正，強(qiáng)化學(xué)生的求真意識(shí)、審美意識(shí)、反思意識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理性思維的形成，催生靈動(dòng)、智慧的數(shù)學(xué)課堂.

【注】該課例系2021年江蘇省青年教師優(yōu)秀課評(píng)比一等獎(jiǎng)，并作為B組第一名進(jìn)行大會(huì)展示.

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：江蘇省“十四五”重點(diǎn)規(guī)劃課題“‘課程思政視域下高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施研究”（編號(hào)：C-b/2021/02/28）;江蘇省前瞻性教學(xué)改革項(xiàng)目《支持差異化學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)空間的建構(gòu)》（編號(hào)：2020JSQZ0135）.

作者簡(jiǎn)介：祝維男（1983—），中學(xué)高級(jí)教師，南通市學(xué)科帶頭人，曾獲江蘇省青年教師優(yōu)秀課評(píng)比一等獎(jiǎng)、江蘇省基礎(chǔ)教育成果一等獎(jiǎng).FA9076BA-9649-4BF9-B042-1848487C2436