541006 廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 周 瑩 陳基河 李欣欣

100875 北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 Tommy Tanu Wijaya

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法[1].而數(shù)學(xué)公式作為數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)思想的一種表征形式，反映著事物內(nèi)部和外部之間的內(nèi)在關(guān)系，是幫助更好認(rèn)識世界和表達(dá)世界的重要載體.但是，長久以來，公式教學(xué)的教學(xué)過程常常流于淺表化，存在“滿堂灌”或“滿堂問”的現(xiàn)象.停留在“教教材”“講教材”的道路上[2]，不利于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上獲得進(jìn)一步的發(fā)展.自提倡新課改以來，以思維發(fā)展為主的認(rèn)知發(fā)展促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有益實(shí)現(xiàn)，是教育關(guān)注的焦點(diǎn)[3].如何結(jié)合學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)與教材對課程知識的安排進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，是當(dāng)下亟需解決的問題.基于以上思考，在數(shù)學(xué)課堂中需要從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律、學(xué)科特點(diǎn)及知識的本質(zhì)出發(fā)，著重體現(xiàn)公式教學(xué)的層次性和連貫性.筆者嘗試以“六何”認(rèn)知鏈為主線，對平方差公式的課堂教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì).

一、“六何”認(rèn)知鏈的含義

“六何”認(rèn)知鏈作為一條以思維發(fā)展為主的教學(xué)策略，注重思維的整體性和發(fā)展性，圍繞學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué).該教學(xué)策略在概念課中通常以“從何—是何—與何—如何—變何—有何”的順序進(jìn)行[4]，此認(rèn)知鏈的具體內(nèi)容如圖1所示.

圖1 “六何”認(rèn)知鏈的教學(xué)設(shè)計(jì)過程

“從何”即知識的由來，基于新的情境或者任務(wù)驅(qū)動(dòng)，從而孕育出新的解決方案，是激活新知的起點(diǎn).“是何”即新知的本質(zhì)是什么，厘清其構(gòu)成要素與各要素之間的關(guān)系，促進(jìn)概念的生成.“與何”即新舊知識的對比探究，在已有知識上為新概念提供固著點(diǎn)，搭建銜接新舊知識的橋梁.“如何”即新知的運(yùn)用，是檢驗(yàn)教學(xué)效果的關(guān)鍵一步，從問題解決與課堂反饋等途徑檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.“變何”即對新知進(jìn)行變式拓展，在初步運(yùn)用的基礎(chǔ)上融入數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，繼續(xù)強(qiáng)化對概念、方法、知識本質(zhì)的認(rèn)識.“有何”即學(xué)習(xí)的獲得與反思，從課堂教學(xué)環(huán)節(jié)、知識理解、遺存問題進(jìn)行總結(jié)回顧，為已有的知識體系繪制新的圖式，提升思維的邏輯性和系統(tǒng)性[5].

二、課例背景

在人教版《數(shù)學(xué)》八年級上冊的教材中，平方差公式是學(xué)習(xí)整式乘法后的第一個(gè)數(shù)學(xué)公式，是整式乘法的延續(xù)，對后續(xù)學(xué)習(xí)完全平方公式起著重要的鋪墊作用，也為因式分解奠定了公式法的基礎(chǔ).“平方差公式”一節(jié)不僅給出了特殊形式下的多項(xiàng)式相乘的簡便算法，且為以后理解因式分解、化簡分式、分母有理化、解一元二次方程等內(nèi)容提供了有益參考(如圖2所示).

圖2 平方差公式與其他知識的關(guān)聯(lián)圖譜

三、基于“六何”認(rèn)知鏈的教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)精準(zhǔn)“從何”，喚醒新知

知識“從何”而來一直是學(xué)生在學(xué)習(xí)階段面臨的一大困惑，為解決這一難點(diǎn)，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，筆者設(shè)計(jì)了以下四道題目，從同是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘得到的項(xiàng)數(shù)卻不同的角度，引發(fā)學(xué)生思考.

(1)(x+1)(y-2)=________；

(2)(m+n)(m+2n)=________；

(3)(a+2)(a-2)=________；

(4)(2x+1)(2x-1)=________.

問題1每道題計(jì)算后得出的結(jié)果各有多少項(xiàng)？

問題2第(3)題、第(4)題與第(1)題、第(2)題的等式左右兩邊的組成有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題3怎樣的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘得到的結(jié)果是兩項(xiàng)？它們有什么特別之處？

設(shè)計(jì)意圖：從一般情形到特殊情況的探究過程，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究中常用的處理方法，亦是知識“從何”而起的一大基石.基于乘法公式對兩個(gè)二項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果呈現(xiàn)出不同的項(xiàng)數(shù)，引起對二項(xiàng)式進(jìn)行特殊化處理，從而簡化計(jì)算過程的思考.在體會(huì)項(xiàng)數(shù)發(fā)生變化的同時(shí)，產(chǎn)生研究對象(a+b)(a-b)=a2-b2，有利于培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

(二)思考“是何”，探清本質(zhì)

從特殊多項(xiàng)式抽象出公式后提問：這個(gè)公式有什么特別之處？它可以代表什么？怎么證明？為撥開公式的神秘面紗，在“是何”這一維度設(shè)計(jì)以下三個(gè)問題.

問題1公式(a+b)(a-b)=a2-b2左右兩邊的字母a,b有什么特點(diǎn)？

問題2公式中字母a,b可以表示哪些代數(shù)式？

問題3你能否用幾何方法證明(a+b)(a-b)=a2-b2？

設(shè)計(jì)意圖：探究“是何”有助于學(xué)生更好理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)及其特征所在.問題1從符號語言轉(zhuǎn)到文字語言，是對平方差公式的第一次語言轉(zhuǎn)化，在觀察、歸納的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言總結(jié)和表達(dá)的能力.對于問題2，由于實(shí)際運(yùn)用中字母a,b可以是數(shù)字、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等，因此需要從部分與整體的視角看待字母a,b的特征，挖掘公式蘊(yùn)含的一般性和代表性，并從中領(lǐng)略此公式結(jié)構(gòu)的不變性，以及字母a,b在可變性中體現(xiàn)的代數(shù)代換精髓[6].問題3從符號語言轉(zhuǎn)到圖形語言，是本節(jié)課的第二次語言轉(zhuǎn)化，順應(yīng)著數(shù)學(xué)知識表征方式的變化，從數(shù)形結(jié)合的角度，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中實(shí)踐再實(shí)踐、認(rèn)識再認(rèn)知[7]，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

(三)辨析“與何”，承前啟后

為把握知識的邏輯脈絡(luò)，體現(xiàn)溫故知新的學(xué)習(xí)思想，在已有知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，對新學(xué)知識進(jìn)行多層理解.在“與何”這一維度，設(shè)計(jì)以下探究性問題.

問題1回顧單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的證明過程，說說它們和平方差公式證明過程的區(qū)別和聯(lián)系.

問題2你能否添加不同的輔助線來證明平方差公式？

設(shè)計(jì)意圖：“與何”注重從知識的連貫性視角出發(fā)，辨析新舊知識的關(guān)系.承接教材利用拼圖、面積轉(zhuǎn)換計(jì)算的方式驗(yàn)證單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的思路.在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)，也可沿用拼接圖形的方式證明完全平方公式.而掌握多種添加輔助線方式對同一圖形進(jìn)行重新組合，可以培養(yǎng)學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，從而提高學(xué)生思維的靈活性，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).基于樹狀思維，當(dāng)某一現(xiàn)象發(fā)生變化時(shí)，不一定只能從A路徑進(jìn)行演變，還可能存在向B路徑甚至更多路徑演化的可能性.問題2啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用不同的切割、拼補(bǔ)方式證明平方差公式，是尋求多路徑演化的一種有效方式，讓學(xué)生在不同的圖形組合方式中走向?qū)?shù)學(xué)公式的深層理解.引導(dǎo)學(xué)生從系統(tǒng)的角度認(rèn)識整式乘法的符號語言和圖形語言之間相互交織、互為表里的關(guān)系.

(四)深化“如何”，思行并重

練習(xí)1完成表1.

表1

練習(xí)2閱讀教材108頁例1、例2內(nèi)容.

問題1為什么3x,-x,2y要先添加括號，再平方？

問題2例2的小問(2)中的100是怎么來的？

問題3為什么102×98要寫成(100+2)×(100-2)，而不是(110-8)×(90+8)？

練習(xí)3用平方差公式計(jì)算以下題目.

(1)(a-3)(a+3)；

(4)79.8×80.2.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)“理解+歸納+實(shí)踐”的練習(xí)方式，開展“如何”這一維度的教學(xué)環(huán)節(jié)，完善從一般多項(xiàng)式相乘到特殊多項(xiàng)式相乘的思維轉(zhuǎn)變.在理解公式的基礎(chǔ)上，對練習(xí)1的習(xí)題進(jìn)行判斷，幫助學(xué)生經(jīng)歷觀察、對比等過程，識別平方差公式的結(jié)構(gòu)和特征.通過練習(xí)2、練習(xí)3，學(xué)生能夠在式子變動(dòng)的狀態(tài)下，保持對“知識對象”的正確認(rèn)識和判斷，在解題過程中萌發(fā)意識并發(fā)現(xiàn)“隱含的知識”，從而可以正確地應(yīng)用、完成有關(guān)的解題步驟.

機(jī)械設(shè)計(jì)制造的自動(dòng)化程度早已成為衡量一個(gè)國家工業(yè)制造業(yè)發(fā)展?fàn)顩r的標(biāo)準(zhǔn)，對于機(jī)械設(shè)計(jì)制造而言，自動(dòng)化程度越高能發(fā)揮的實(shí)效力量越大，也是評判企業(yè)能否跟上時(shí)代的依據(jù)。通俗來講，自動(dòng)化程度就是要將機(jī)械設(shè)計(jì)制造與計(jì)算機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)緊密結(jié)合起來，同時(shí)利用電子技術(shù)的優(yōu)勢為機(jī)械設(shè)計(jì)制造創(chuàng)造更好的輸出空間。多種技術(shù)的融合能縮短實(shí)際工程工期，降低投資成本，還能將原有冷冰、死板的傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)制造轉(zhuǎn)換成柔性化、智能化的發(fā)展方式?？偟膩碚f，機(jī)械設(shè)計(jì)制造自動(dòng)化的優(yōu)勢集中在以下幾個(gè)方面：

(五)感悟“變何”，拓展思維

“以簡馭繁，以不變應(yīng)萬變”是應(yīng)用數(shù)學(xué)公式解決問題的一大優(yōu)勢.在厘清知識的特征及其應(yīng)用之后，為使學(xué)生繼續(xù)感悟其多重變化，在“變何”這一維度設(shè)計(jì)以下拓展習(xí)題.

(1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)；

(2)(2+1)(4+1)(16+1)(256+1)+1；

(3)(3+1)(9+1)(81+1).

問題1為什么第(2)題要先寫成(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的形式？

問題2為什么第(2)題要在前面補(bǔ)上(2-1)？

問題3解答第(3)題時(shí)，可以直接計(jì)算(3-1)(3+1)(9+1)(81+1)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：“變何”旨在拓展學(xué)生的視野，化解思維難點(diǎn).通過前面四個(gè)維度的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)積累一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).設(shè)置拓展題，使得在多個(gè)多項(xiàng)式相乘中感受平方差公式蘊(yùn)含的多米諾效應(yīng)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美.讓學(xué)生明確同一知識在不同情境中的要求及其對應(yīng)關(guān)系，提升學(xué)生分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

(六)盤點(diǎn)“有何”，構(gòu)建認(rèn)知

為了解學(xué)生在歷經(jīng)前面五個(gè)維度的教學(xué)之后有哪些收獲，存在哪些不足，在“有何”這一維度設(shè)計(jì)反思回顧.

問題1通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

問題2能否借助思維導(dǎo)圖或圖表，將你學(xué)到的知識記錄下來？(如圖3所示)

圖3 反思學(xué)習(xí)收獲的思維導(dǎo)圖

問題3你還有哪些疑惑？

設(shè)計(jì)意圖：“有何”作為課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的最后一環(huán)，承載著為課堂畫上完美句號的作用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要知其然，更要知其所以然，通過問題1至問題3回顧本節(jié)所學(xué)所悟，化知識為智慧，積思想為階梯，積極完善自我認(rèn)知框架的構(gòu)建.在對知識的轉(zhuǎn)化的同時(shí)，強(qiáng)化自我評價(jià)、反思和管理的意識[8].

四、評價(jià)與反思

(一)把握知識生長之路，螺旋上升式教學(xué)

平方差公式是引導(dǎo)學(xué)生對特殊多項(xiàng)式相乘的規(guī)律進(jìn)行探究的起始課，對思考多項(xiàng)式的組成與其結(jié)果的關(guān)系，掌握知識與方法、數(shù)學(xué)思想等方面均有促進(jìn)作用，其具有的簡潔美和形式美亦是激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的一大優(yōu)勢.在“從何”這一維度，注重讓學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊的研究方法，圍繞兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的結(jié)果中項(xiàng)數(shù)發(fā)生變化與二項(xiàng)式的特征展開教學(xué)，引發(fā)對二項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行探索、思考，在復(fù)習(xí)舊知的同時(shí)激發(fā)出新知，體現(xiàn)溫故知新的深刻寓意.在“是何”這一維度，強(qiáng)調(diào)平方差公式中a,b所代表的廣泛含義，可以多次回顧已有的知識經(jīng)驗(yàn)，為新圖式的構(gòu)建關(guān)聯(lián)更多的節(jié)點(diǎn).在“與何”這一維度，通過對比分析整式乘法與平方差公式的圖形證明的過程，從系統(tǒng)的視角看待數(shù)量、算式、圖形三者之間的有機(jī)聯(lián)系.至此，可以看出“從何”“是何”“與何”這三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)在順應(yīng)教材知識邏輯脈絡(luò)的同時(shí)，注重知識的遷移應(yīng)用，進(jìn)行螺旋上升式教學(xué).

(二)學(xué)為中心，創(chuàng)建高效課堂

為適應(yīng)未知世界的機(jī)遇與挑戰(zhàn),學(xué)習(xí)者必須獲得對概念更深層次的理解[9].深度學(xué)習(xí)是師生在教與學(xué)的過程中相互耦合、共同收獲智慧的經(jīng)歷.深度學(xué)習(xí)將教學(xué)目標(biāo)指向?qū)W生的思維發(fā)展，指向增進(jìn)學(xué)生的深度理解.

本教學(xué)設(shè)計(jì)在“如何”這一維度的練習(xí)1中，基于變位置、變系數(shù)、變符號、變次數(shù)、變項(xiàng)數(shù)的變式訓(xùn)練，提高學(xué)生從不同角度對問題做出綜合分析，加深對典型問題的理解與辨別能力.在練習(xí)2中，教師向?qū)W生提問.為什么要在計(jì)算過程中添加括號？100是如何出現(xiàn)的？能不能將102×98拆成其他形式？在講解教材習(xí)題的同時(shí)，通過層層追問的方式，將邏輯的火花引向運(yùn)用公式計(jì)算的基本步驟和注意事項(xiàng)，深入挖掘其變形背后的隱藏含義.在“變何”這一維度，設(shè)置拓展題，將一般式子與變次數(shù)的式子結(jié)合在一起，構(gòu)建新的算式.通過新掌握的工具——平方差公式，將看似難以計(jì)算的式子抽絲剝繭，逐步剝?nèi)テ鋫窝b，終顯其本來面貌，讓學(xué)生體會(huì)平方差公式的形式美和簡潔美，發(fā)展學(xué)生由此及彼的聯(lián)想思維，使學(xué)習(xí)的境界更上一層樓.最后，在“有何”維度，旨在通過概念圖或者思維導(dǎo)圖的方式，細(xì)數(shù)學(xué)習(xí)的收獲，盤點(diǎn)自身的成長.將抽象的知識具體化、邏輯化，構(gòu)建自身認(rèn)知的同時(shí)，也是將學(xué)習(xí)與評價(jià)相結(jié)合，及時(shí)調(diào)整和改進(jìn)后續(xù)的學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)策略等.由此可見，在設(shè)計(jì)教學(xué)過程時(shí)，對于“如何”“變何”“有何”這三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，應(yīng)注重以學(xué)為中心，通過解決一系列相關(guān)問題來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、獲得數(shù)學(xué)技能、提升學(xué)習(xí)效率，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與綜合能力，在有效的時(shí)間內(nèi)提升學(xué)習(xí)的效率.最后再通過元認(rèn)知策略進(jìn)行學(xué)習(xí)反思，加深對新知的內(nèi)化與理解.

教學(xué)的生命在于教學(xué)的有效性[10]，“六何”認(rèn)知教學(xué)認(rèn)知鏈的各個(gè)組成要素之間緊密聯(lián)系、環(huán)環(huán)相扣.一方面，這六個(gè)維度教學(xué)設(shè)計(jì)很好地體現(xiàn)了教學(xué)的連貫性與系統(tǒng)性，有助于課堂教學(xué)的順利開展.另一方面，“六何”認(rèn)知鏈遵循知識的成長路線與認(rèn)知心理發(fā)展路線，利于從淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.