宋麗娜，朱 荻

(東北財經(jīng)大學 數(shù)據(jù)科學與人工智能學院，遼寧大連 116025)

§1 引言

期權是一種活躍在國內(nèi)外金融市場的衍生產(chǎn)品之一.我國內(nèi)地市場上證50ETF期權和滬深300ETF期權分別于2015年2月9日和2019年12月23日上市交易.內(nèi)地期權市場的擴容，一方面豐富了金融市場，有利于吸引大量資金進場;另一方面應該認識到風險管理的緊迫性和重要性.充分發(fā)揮期權雙刃劍作用的關鍵是對其合理定價.經(jīng)典的期權定價方法包括Black-Scholes模型[1-5]，二叉樹模型[6]和倒向隨機微分方程[7]等.其中，Black-Scholes模型的問世為研究者提供一種思路，利用偏微分方程的理論和方法研究期權定價問題.隨著研究工作的發(fā)展，[8]引入Schr?dinger型非線性偏微分方程替換線性Black-Scholes方程作為期權定價模型.針對這一模型，[9]首次提出金融畸形波解，成功刻畫金融市場中資產(chǎn)價格波動的怪波現(xiàn)象.經(jīng)典模型的改進和完善一直以來都是專家學者的重點研究工作.歸因于大量實證研究發(fā)現(xiàn):金融資產(chǎn)價格變動存在長記憶性.[10-15]利用分數(shù)Browain運動取代標準Browain運動建立分數(shù)次Black-Scholes模型在分形市場下定價期權.

分數(shù)階偏微分方程是對整數(shù)階偏微分方程的統(tǒng)一和推廣，分數(shù)階導數(shù)算子是一個積分-微分算子，能夠有效地刻畫事物發(fā)展的歷史依賴性，是分形幾何和分形動力學建模的有效工具.分數(shù)階偏微分方程已被引入定價理論.目前所涉及的模型可分為三類，一是時間分數(shù)階偏微分方程，[16]在修正的Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)定義下給出時間分數(shù)階Black-Scholes方程.二是空間分數(shù)階偏微分方程.[17]在三種特殊的L′evy過程FMLS，CGMY和KoBoL下推導出金融市場中帶有Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)的擴散方程.[18-21]對上述兩種分數(shù)階期權定價模型進行解法研究.第三是時空分數(shù)階偏微分方程.在修正的Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)下，[16]給出帶有一個分數(shù)階參數(shù)的Black-Scholes方程，[22]得到雙參數(shù)的分數(shù)階Black-Scholes模型.之后，[23]給出帶有交易費的時空分數(shù)階導數(shù)模型，并利用中國內(nèi)地市場的上證50ETF期權說明結果的有效性.[24]采用Caputo和Riesz-Feller分數(shù)階導數(shù)利用Green函數(shù)推導分數(shù)階擴散方程定價歐式期權并且利用Mellin-Barnes積分表達式給出定價公式.在Caputo導數(shù)下，朱元國等將分數(shù)階不確定微分方程引入期權定價模型[25-26].

分數(shù)階微積分和分數(shù)階偏微分方程在期權定價問題中的應用在近幾年得到快速發(fā)展，但是不可否認，眾多問題有待進一步解決，諸多方面有待進一步完善和提高.新型定價模型和定價方法仍然是學術研究者和市場參與者關注的重點.隨著分數(shù)階微積分的發(fā)展，分數(shù)階導數(shù)的定義有多種形式，例如，分數(shù)階Riesz導數(shù)，Grünwald-Letnikov分數(shù)階導數(shù)，Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)和Caputo分數(shù)階導數(shù)等.其中，Caputo分數(shù)階導數(shù)是對Grünwald-Letnikov導數(shù)定義的擴展.在此定義下，常數(shù)的導數(shù)等于零并且進行Laplace變換時對初值條件的要求與整數(shù)階微積分一致.鑒于此，Caputo分數(shù)階導數(shù)被廣泛地應用于物理，力學和工程等研究領域.與已有模型不同，本工作依據(jù)金融市場的分形特征利用對沖技術建立帶有Caputo型導數(shù)的分數(shù)階期權定價模型.本文余下安排如下:§2推導出時空分數(shù)階期權定價方程;§3利用改進的求解技術獲得分數(shù)階導數(shù)模型的半解析解;§4將所得結果引入中國內(nèi)地期權市場，利用數(shù)據(jù)對分數(shù)階導數(shù)模型進行解釋;最后，§5給出結論和討論.

§2 分數(shù)階導數(shù)期權定價方程

在本文的工作中，采用對沖組合建立分數(shù)階導數(shù)期權定價模型，故對市場作以下假設.

I 對沖組合Πt在時間段[t，t+dt]的價格變化滿足下面等式

其中St表示標的資產(chǎn)的價格.

II 標的資產(chǎn)價格的變化遵循下列分數(shù)次指數(shù)方程

其中μ，σ分別表示期望回報率和標的物的波動率.Bα(t)表示帶有Hurst指數(shù)α的分數(shù)Brownian運動.方程(2)的形式來自文獻[22].

III 在分數(shù)階導數(shù)下，設有E(dΠt)rΠt(dt)α.

α作為Caputo型分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)，有如下定義.

定義2.1[27]在Caputo分數(shù)階導數(shù)定義下，函數(shù)f(x)的α階導數(shù)定義為

其中m-1(x)

方程(1)的設計源于Caputo分數(shù)階導數(shù)定義下的廣義中值定理.

引理2.2[28]設f(x)[a，b]，(a，b]，且0＜α ≤1，那么有

其中(a，b].

根據(jù)分數(shù)階微積分，分數(shù)階偏微分方程和期權定價理論，得到以下結論.

定理2.3基于假設I -III，期權價格V(S，τ)滿足下列時空分數(shù)階偏微分方程，

其中df是分形維數(shù).τT -t，T表示期權的到期日.

證首先，建立對沖組合

基于假設I，對沖組合(6)在時間段[t，t+dt]的價值變化是

為實現(xiàn)Caputo分數(shù)階導數(shù)建模，本工作假設定價模型有一個變量可分離函數(shù)解V(S，t)，即

回顧Caputo分數(shù)階導數(shù)定義下的廣義Taylor級數(shù)展開式.

利用廣義Taylor公式(9)，將V1(S)和V2(t)展成帶有相同階數(shù)α的廣義Taylor級數(shù)，則有

將表達式(11)代入方程(7)中，并令

可以得到下面表達式

借助于假設III，本工作建立如下形式的分數(shù)階偏微分方程，

利用[29-30]，文獻[22]建議將金融市場的期權價值變化作為一種分形傳輸系統(tǒng)，為此設期權價格與總流通率滿足下列方程

其中df是分形維數(shù)，γ是一個傳輸指數(shù).

這里將股票市場作為分形介質(zhì)，Y(S，t)有表達式

最終可以建立時空分數(shù)階偏微分方程

其中

進一步作變量代換

得到

方程(18)的最右端是一個修正的Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù).正如文獻[16]指出:當函數(shù)是可微的，修正的Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)定義下產(chǎn)生的結果與Caputo導數(shù)定義產(chǎn)生的是一致的.文獻[31]也給出等價關系證明.所以，本工作直接采用Caputo分數(shù)階導數(shù)定義下的方程(5)，連同初邊值條件，建立時空分數(shù)階導數(shù)期權定價模型，定價標準的歐式和美式期權.

§3 優(yōu)化的半解析解

本節(jié)研究期權價格V(S，τ)滿足方程(5)和下列初邊值條件組成的初邊值問題，

首先利用變量代換

使邊界條件齊次化，方程(5)轉化為

根據(jù)Caputo型導數(shù)的L算法[32]，采用下面分數(shù)階微商的近似公式

由于經(jīng)典的Black-Scholes方程含有二階偏導數(shù)，為接近這一點，在下面的計算過程中，考慮1＜2α ≤2.

在空間點Sn上，利用優(yōu)化方法求解方程.為此改寫方程(20)為

根據(jù)經(jīng)典的Adomian分解法[33]，可以構造以下一階近似解，

這里Jγ表示Riemann-Liouville分數(shù)階積分算子，即

將該積分算子作用于Caputo分數(shù)階導數(shù)得到等式

在空間變量離散的框架下，本工作采用優(yōu)化技術獲得半解析解，

其中ω是收斂控制參數(shù).

更一般地，可以建立以下表達式定義的級數(shù)解，

§4 應用與分析

借助于數(shù)學計算軟件Matlab，將§3的結果應用到期權市場.在對滬深300ETF期權和上證50ETF期權進行應用分析的同時對所建立的時空分數(shù)階導數(shù)期權定價模型進行解釋.

例4.1應用半解析結果(25)和下面初邊值條件估計歐式看漲期權.

數(shù)據(jù)來源:上證50ETF，滬深300ETF和相應的期權數(shù)據(jù)來自中銀證券交易軟件

滬深300ETF在2019年的歷史波動率σ是0.1980，R/S分析法給出Hurst指數(shù)是0.6773.分數(shù)階導數(shù)定價方程(5)中的參數(shù)df是一個Hausdorff維數(shù).文獻[34]建議分形維數(shù)可以近似等于2-Hurst指數(shù)，所以df取為1.3227.也就是說，由滬深300ETF組成的分形介質(zhì)的分形維數(shù)可以看作是1.3227.以執(zhí)行價格K4.5的滬深300ETF期權10002221作為樣本進行應用分析.無風險利率r取作電子儲蓄債券的利息，約等于0.04.不失一般性，隨機選取2020年2月17日的交易數(shù)據(jù)τT -tSt4.064，Vt0.0596，估計次日的期權價格，并將2020年2月18日的St取為開盤價4.057.圖1展示分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)，波動率，期權價格之間的關系曲線.令ω為0.1，在交易日2020/02/17，時間變量的分數(shù)階導數(shù)γ與波動率σ之間的關系曲線如圖1(a)所示.這里，選擇α ＞0.5.同時，當時間和空間分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)取不同值時，交易日2020/02/18的波動率σ與期權價格V(S，t)的關系曲線如圖1(b)所示.

圖1 關系曲線

當α0.6773和σ0.1980時，參數(shù)ω與γ在2020年2月17日的函數(shù)關系如圖2所示，得到四組關系式.如果γ0.3772，按圖2顯示的關系式計算ω為±0.52803947?1.1067955·10-16i和±2.0809089·10-16?0.73458464i.交易日2020年2月18日的標的物滬深300ETF的價格St取為開盤價St4.057，利用本文的結果可以得到期權的價值為0.059198276-1.1156883·10-16i和0.060233499-2.6784167·10-16i.當日實際值為0.0606.在γ分別取作0.3772 和0.6773，其他參數(shù)不變的情況下，觀測范圍擴大為2020年01月02日-2020年06月22日的交易日.本工作的估計值，分數(shù)次Black-Scholes公式[10]，Black-Scholes公式和實際值一同繪制在圖3中.實際上，結果有四組數(shù)值，由于數(shù)值彼此之間的差距并不明顯，所以本工作選擇其中一組值來繪制曲線.通過與真實值的對比，圖3顯示本工作的結果是有效的.

圖2 曲線ω-γ

圖3 α0.6773時歐式看漲期權價格對比

例4.2分數(shù)階導數(shù)期權定價模型在歐式看跌期權中的應用.

該例所需滿足的初邊值條件為

以滬深300ETF期權10002230于2020年1月8日-2020年6月22日的交易數(shù)據(jù)為樣本，其執(zhí)行價格K為4.6.根據(jù)例4.1，確定參數(shù)

首個交易日，ω值選擇0即可.之后，利用前一交易日的滬深300ETF實際收盤價和滬深300ETF期權價格決定ω值.當日期權價格的計算采用滬深300ETF的開盤價格.重復例4.1的計算過程，圖4描繪2020年01月09日-2020年06月22日的滬深300ETF期權價格的比較.其中，分數(shù)階導數(shù)α的值除取Hurst指數(shù)外，還任意取為0.9，來顯示分數(shù)階導數(shù)取不同值時期權價格的對比.同時，圖5給出相應的誤差對比圖形，描繪的是本工作的結果，分數(shù)次Black-Scholes模型，標準Black-Scholes模型和真實值之間的絕對誤差的對比.從圖4和圖5可以得出結論:本文的算法是有效的.并且發(fā)現(xiàn):當時間和空間分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)取不同值時，圖4和圖5中圖形(a)和(b)的走勢是相似的.

圖4 歐式看跌期權價格對比

圖5 誤差對比

例4.3應用時空分數(shù)階導數(shù)模型估計美式看跌期權.

定價美式期權與定價歐式期權的主要區(qū)別在于美式期權需要考慮提前行權的可能性.為避免套利，期權在每一點的價值不能小于內(nèi)在價值.對于這一點的數(shù)學描述，采取一種簡潔且有效的方法.在初邊值條件(28)基礎上，美式看跌期權的早期最優(yōu)執(zhí)行需要滿足下面表達式

由于美式期權數(shù)據(jù)獲取的局限性，本工作借用上證50ETF期權10002001的數(shù)據(jù)確定參數(shù)ω值，進而繪制在分數(shù)階導數(shù)取不同值時美式看跌期權的價格曲線.應用例4.1中提到的估計方法，確定參數(shù)

在每個時間點上，期權價格應滿足以下等式，

隨機繪制一組結果.圖6顯示2019年10月24日-2020年6月22日的交易日中，美式看跌期權分別在γ0.3452，α0.6548和γ0.2，α0.7時的價格變化.在分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)取不同值時，模擬美式看跌期權的變化趨勢，結果符合規(guī)則，是可以理解的.

圖6 美式看跌期權

§5 結論和討論

本工作在Caputo分數(shù)階導數(shù)定義下，研究基于時空分數(shù)階偏微分方程的期權定價問題.以標準歐式和美式期權問題為例，利用內(nèi)地金融市場滬深300ETF期權和上證50ETF期權的數(shù)據(jù)說明本工作的實際效用.以下是對整個工作的總結和進一步的討論.

不同于已有文獻[16-17，22-26]，本工作的模型是在Caputo分數(shù)階導數(shù)定義下采用對沖技術建立的.眾所周知，Caputo分數(shù)階導數(shù)在物理力學等方面表現(xiàn)出優(yōu)越性.由于分數(shù)階微積分自身的復雜性，導致期權定價模型的建立存在諸多困難.本工作為建立新型模型，假設分數(shù)階導數(shù)期權定價模型的解是一個變量可分離的函數(shù)，基于假設I-III，利用套期保值技術推導出單參數(shù)分數(shù)階方程(13)，然后利用Heuristic Argument構造雙參數(shù)方程(16).最后，通過將終端條件轉換為初始條件得到Caputo型時空分數(shù)階導數(shù)期權定價方程(5).

建立分數(shù)階導數(shù)期權定價模型求解的改進框架.求解Caputo分數(shù)階導數(shù)模型是一個棘手的問題，所以只取到一階近似.對于這樣結果，如果只在標準的Adomian 分解法下進行，很顯然得到結果是不理想的.為此，從解法上給以修正，加入收斂控制參數(shù)ω.基于同倫分析方法[35]，文獻[23]提出優(yōu)化的Adomian分解法.本文用ω2代替文獻[23]優(yōu)化算法中的ω.顯然，這種優(yōu)化算法是靈活的，多樣的.在對空間變量離散情況下，沿時間變量方向應用改進的Adomian分解法.從結果中可以看出，本工作建立的優(yōu)化算法是可行且有效的.該改進思想可以應用于廣義微分變換法，攝動法等諸多解析方法中，可以用于求解整數(shù)階和分數(shù)階偏微分方程.

在變量可分離的假設下，建立方程(5).并在半離散框架下，處理基于方程(5)的期權問題.諸多計算過程存在誤差.在實際應用過程中，除利率r，波動率σ等常規(guī)參數(shù)外，本工作特別需要估計參數(shù)df，α，γ，ω.參數(shù)df，γ，α分別表示分形介質(zhì)的維數(shù)，時間和空間分數(shù)階導數(shù)的階數(shù)，是體現(xiàn)分形特征的重要指標，能充分地反映市場的分形結構.但是，不可否認，更多參數(shù)的參與會導致更大的誤差，并直接導致論證的復雜性.為此，本工作利用ω值來減少誤差，利用前一天的收盤價數(shù)據(jù)確定ω值，來計算當天的期權價格.

在實證分析過程中，本工作采用開盤價計算當日期權價格.這種設計的優(yōu)點是市場參與者可以利用滬深300ETF和上證50ETF的開盤價提前估計期權的收盤價，以便對實盤操作進行及時有效的調(diào)整.本文不僅嘗試在Black-Scholes期權定價模型中引入Caputo分數(shù)階導數(shù)，而且考慮實際的期權交易操作，有利于分數(shù)階導數(shù)期權定價模型的理論和實踐研究.