段火元，吳先亮

(武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢 430072)

§1 引言

研究求解如下Stokes方程的有限元方法

在方程中，速度和壓力在邊界上需要具有合適的邊界條件.常見(jiàn)的邊界條件是

在本文中，涉及到邊界條件

與(2)一樣，邊界條件(3)也來(lái)自計(jì)算流體力學(xué)(參見(jiàn)[1-12]).本文關(guān)注的是Taylor-Hood單元(參見(jiàn)[13-15]).眾所周知，數(shù)值求解Stokes方程的有限元方法文獻(xiàn)非常多，其中兩本專(zhuān)著([14-15])中已經(jīng)給出了系統(tǒng)的理論。表面上，當(dāng)離散帶有邊界條件(3)的Stokes方程(1)時(shí)，所有用于離散帶有邊界條件(2)的Stokes方程(1)的有限元方法都適用.當(dāng)然，為適合邊界條件(3)，其中雙線(xiàn)性型選取a2(u，v)+divu·divv，而不是Dirichlet積分a1(u，v)(兩者在這個(gè)a1(v，v)a2(v，v)意義下是等價(jià)的).

然而在非凸多邊形區(qū)域中，帶有邊界條件(2)的Stokes方程(1)和帶有邊界條件(3)的Stokes方程(1)之間存在著重大區(qū)別.(1)和(3)的速度解在以下意義上可能是非H1空間解.

而截然相反的是，(1)和(2)的速度解在下面(5)意義下仍然是光滑的.

在過(guò)去的十多年間，對(duì)具有類(lèi)似于上述奇異解的研究越來(lái)越多(參見(jiàn)[16-17]和其中的參考文獻(xiàn)).也有一些有限元方法文獻(xiàn)，但文獻(xiàn)中對(duì)(1)和(3)的離散化都假設(shè)為在(5)意義下的光滑速度解，并采用了a2(·，·)或a1(·，·)，例如文[1-6]和文[9-10]等.這些有限元方法都不能正確求解上述非H1空間解，參見(jiàn)[11].

對(duì)于非H1空間解，文[11]提出并分析了一種新的交錯(cuò)型Taylor-Hood類(lèi)型單元(CPl+2)2-Pl.然而其中的理論并不包括原始的Taylor-Hood元(Pl+1)2-Pl.作者也提到一種穩(wěn)定化有限元方法(文[7])，可以用于求解非H1空間解.

本文為Stokes方程(1)和(3)的Taylor-Hood單元(Pl+1)d-Pl研究了一種新理論.這些單元的收斂性被證明了.新理論由一個(gè)最大inf-sup條件和一個(gè)Hahn-Banach延拓的新技巧所組成.需要指出，文[14]和文[15]的經(jīng)典理論失效:無(wú)法分析非H1空間解的收斂性，參見(jiàn)文[11].

§2 有限元方法和最大inf-sup條件

給定Ω ?Rd(d2，3)是一個(gè)簡(jiǎn)單連通的多邊形或多面體區(qū)域，具有Lipschitz連續(xù)邊界?Ω.?Ω的單位外向法線(xiàn)用n表示.

本文只考慮邊界條件(3)中最重要和最讓人感興趣的情形Γ2?Ω，即在?Ω上n×u0且p0，所提出的有限元方法及其理論可以直接應(yīng)用于混合邊界條件(3).

令Th表示把Ω剖分為三角形或四面體的滿(mǎn)足形狀正則性的網(wǎng)格剖分，參見(jiàn)文[18].令hT表示一般單元T的直徑，h表示所有單元直徑hT的最大值.令Pl表示總次數(shù)小于或等于整數(shù)l≥1的多項(xiàng)式空間.定義標(biāo)準(zhǔn)Taylor-Hood有限元空間

其中

根據(jù)文[11]中的方法，對(duì)于ah(·，·)，可以證明如下離散核空間上的橢圓性

其中離散核空間Kh和范數(shù)||·||ah如下定義

同時(shí)根據(jù)文[11]中的方法，對(duì)于上述定義的Taylor-Hood元，也可以證明如下的inf-sup穩(wěn)定性

然而在上述離散核空間橢圓性和inf-sup穩(wěn)定性下，如何證明Taylor-Hood 元對(duì)于非H1空間解的收斂性是一個(gè)未解決的挑戰(zhàn)性課題，參見(jiàn)文[11](那里的分析仍然不能用于證明本文所研究的Taylor-Hood元的收斂性).

因此必須要找到一種新方法.確切地說(shuō)，直接在Qh上定義它的范數(shù)

其中

由(14)不難看出(15)確實(shí)定義了一個(gè)范數(shù)，即(15)對(duì)于Taylor-Hood單元是定義良好的.從而(15)的inf-sup 條件恒成立.在有限元空間Uh -Qh中，相對(duì)于范數(shù)||| · |||h和||·||Qh而言，上述的雙線(xiàn)性型b(·，·)自然是有界的.因此稱(chēng)(15)為最大inf-sup條件.

然而在收斂性和誤差估計(jì)中，對(duì)于UH0(curl;Ω)∩H(div;Ω)中的函數(shù)以及Qh的有限元函數(shù)而言，最需要的是上述的b(·，·)也必須有界，這成為證明針對(duì)非H1空間解的收斂性的一個(gè)至關(guān)重要的條件(參見(jiàn)文[11]).但是(15)是為有限元空間定義的，困難在于雙線(xiàn)性型b(·，·)在U -Qh上關(guān)于范數(shù)|||·|||h和||·||Qh是否仍然有界不是顯然的，因?yàn)閨|·||Qh是按照上述最大inf-sup條件僅僅在有限元空間Uh所定義.幸運(yùn)的是，借助Hahn-Banach延拓定理，可以克服這種困難.事實(shí)上，對(duì)雙線(xiàn)性型b(·，·)進(jìn)行了延拓，得到了一個(gè)延拓雙線(xiàn)性型，在空間U×Qh上關(guān)于范數(shù)|||·|||h和||·||Qh確實(shí)是有界的，然后證明收斂性，并推導(dǎo)出誤差估計(jì)和收斂階，即速度解在(4)的意義下是非H1空間解.因此證明了Taylor-Hood有限元解正確地收斂于精確的非H1空間解.

§3 Hahn-Banach延拓

本節(jié)研究和最大inf-sup條件相關(guān)的Hahn-Banach延拓.

引理3.1對(duì)于雙線(xiàn)性型b(·，·)，滿(mǎn)足在(Uh，|||·|||h)和(Qh，||·||Qh)上的有界性(其中||·||Qh是由最大inf-sup 條件定義的)，即

那么在U ×Qh上存在一個(gè)雙線(xiàn)性型G(·)(·)滿(mǎn)足

(i)

(ii)

(iii) 如果divv0，則

證考慮在U ×Q上的一個(gè)一般延拓.對(duì)任意的，定義一個(gè)Uh上的線(xiàn)性函數(shù)

然后g(·)(·)就是Uh×Q上的一個(gè)有界雙線(xiàn)性型.根據(jù)(15)，(16)，對(duì)所有的shQh，有

由文[19](定理1，第5節(jié)，第106頁(yè))中的Hahn-Banach延拓定理，存在g(·)(q)從Uh ×Q到U ×Q上的延拓，用G(·)(q)表示，滿(mǎn)足

下面證明引理中的(iii).給定任意一個(gè)，且divv0.由在范數(shù)|||·|||h(參見(jiàn)后面的(27))下Uh對(duì)U的逼近性質(zhì)，存在一列vhUh滿(mǎn)足隨著h →0，|||vh-v|||h →0.而且由于

由于強(qiáng)收斂性意味著弱收斂性，有

因此得到結(jié)論(iii).

§4 誤差估計(jì)

利用引理3.1，用延拓G(·)(·)替換g(·)(·)(即替換b(·，·))，可得到以下誤差估計(jì).

定理4.1設(shè)(u，p)是Stokes方程(1)與邊界條件(3)在Γ2?Ω情況下的精確解.設(shè)(uh，ph)為有限元問(wèn)題(9)的有限元解.那么

證對(duì)任意給定的zhKh.然后根據(jù)離散核空間橢圓性

其中ah(zh-uh，vh)ah(zh-u，vh)+ah(u-uh，vh)，ah(zh-u，vh) ≤||u-zh||ah||vh||ah，同時(shí)

根據(jù)三角不等式，得到u-uh的估計(jì).

根據(jù)文[14]，由于最大inf-sup條件，對(duì)所有的wh?Uh(這里是Kh在Uh中的正交補(bǔ)空間)，

根據(jù)引理3.1，使用延拓G(·)(qh)有

從而得到

另外，b(wh+vh，qh)b(u，qh)0，即wh+vhKh.于是

綜上所述得到

下面估計(jì)壓力的誤差.根據(jù)inf-sup條件(14)，

其中

有

再根據(jù)三角不等式，推得結(jié)論.

根據(jù)定理4.1的誤差估計(jì)，將給出收斂階.回顧一個(gè)插值結(jié)果(參見(jiàn)文[20]):對(duì)一些1 ≥r≥0對(duì)(Hr(Ω))d，curl(Hr(Ω))2d-3，divu0，存在一個(gè)vhUh滿(mǎn)足

因此得到以下推論中所述的誤差估計(jì).

推論4.1在和定理4.1一樣的條件下，有

§5 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)給出數(shù)值結(jié)果，主要目的是研究對(duì)于光滑和非H1空間速度解的收斂性.由于數(shù)值計(jì)算是為了考察針對(duì)非H1空間速度解，總是設(shè)定壓力的精確解為p:0.選擇L-形區(qū)域Ω(-1，1)2([0，1]×[-1，0]).給出光滑解和兩類(lèi)非H1空間解的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

例1 光滑速度解

給定精確的光滑速度解u為:u1(x，y)sin(πy)cos(πx)，u2(x，y)-sin(πx)cos(πy).表1中列出了數(shù)值結(jié)果.可以看到，(P2)2-P1元得到了速度的能量范數(shù)最優(yōu)收斂性O(shè)(h2)，而L2范數(shù)是次優(yōu)收斂性O(shè)(h2);壓力得到了超收斂性O(shè)(h3).至于速度的L2范數(shù)的次最優(yōu)性，應(yīng)該是ah(·，·)引起的.事實(shí)上，如果用a2(·，·)，那么可以得到L2范數(shù)的最優(yōu)收斂階;但是，a2(·，·)不適合于非H1空間解.

表1 算例1的誤差和收斂階

圖1 算例1的真解

圖2 算例1的有限元解

例2 奇異速度解

給定精確的奇異速度解u為:u1(x，y)-u2(x，y)其中(ρ，θ)代表極坐標(biāo)，其中ρtanθ.對(duì)于任意小的0，u的正則性為r23.數(shù)值結(jié)果見(jiàn)表2.可以看到，(P2)2-P1元得到了正確收斂的有限元解.能量范數(shù)的收斂階好于理論收斂階2≈13，而L2范數(shù)收斂階甚至達(dá)到了23.壓力以L(fǎng)2范數(shù)超收斂性O(shè)(h)收斂，但是壓力在H1范數(shù)下是不收斂的;實(shí)際上，理論上也無(wú)法建立該范數(shù)下的收斂性，而只有L2范數(shù)下的收斂性.

表2 算例2 的誤差和收斂階

圖3 算例2的真解

圖4 算例2的有限元解

例3 更奇異的速度解和奇異數(shù)據(jù)

給定一個(gè)更加奇異的速度u，u1(x，y)-(x+1)(y+1)和u2(x，y)(x+1)(y+1).對(duì)于任意小的0，u的奇異性為r12.右端項(xiàng)f，g:divu和邊界值χ:t·u都更加奇異:它們不是L2函數(shù);它們屬于一些負(fù)分?jǐn)?shù)階Sobolev空間.表3列出了數(shù)值結(jié)果.同樣，(P2)2-P1元仍然得到了L2范數(shù)下最優(yōu)收斂階12，而能量范數(shù)的收斂階好于理論收斂階2≈14.至于壓力的收斂性行為，類(lèi)似于算例2.

表3 算例3 的誤差和收斂階

圖5 算例3的真解

圖6 算例3的有限元解