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非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程解的多重性

2022-06-21 03:21謝蘇靜陶勝達(dá)王春勇
關(guān)鍵詞:位勢有界臨界點

謝蘇靜,陶勝達(dá),王春勇

(賀州學(xué)院 教育與音樂學(xué)院,廣西賀州 542899)

§1 引言及主要結(jié)果

本文主要研究非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程多解的存在性問題

其中ω >0是一個常數(shù),u,φ:R3→R,V(x)(R3,R)是位勢,ω表示相位,u表示粒子的場,φ表示電磁位勢.為了描述三維空間中非線性Klein-Gordon-Maxwell場與靜電場之間的相互作用所產(chǎn)生的孤立波問題,文[1]首次提出了方程模型

其中0<ω <m0,4<q <6,m0和e分別表示粒子的質(zhì)量和電量.作為方程(1)的一般情形,方程

近年來受到了很多學(xué)者的關(guān)注,文[2]研究了λ0時關(guān)于方程(2)只有一個平凡解,除此之外,文[3]證明了當(dāng)(2,4),0,λ >0且充分大時,方程(2)至少有一個徑向?qū)ΨQ非平凡解,更多關(guān)于方程(1)和(2)的研究可以閱讀文獻(xiàn)[4-5].

方程(*)是方程(1)和(2)的推廣,對于方程(*)的研究,在a(x)1且g(x)0的特殊條件及非線性項f滿足局部(AR)條件下,文[6]研究帶有強(qiáng)制位勢下方程(*)的無窮多解的存在性;文[7]在a(x)1且g(x)0且位勢是變號的情形下通過弱化非線性項f所滿足的條件,獲得了與文[6]相同的結(jié)果,而在位勢是消失位勢的情形下,文[8]討論了方程(*) 的解的多重性問題.尤其需要指出的是:在非線項具有擾動項時,文[9]用變分法研究了當(dāng)a(x)1時方程(*)的多解性,得到如下結(jié)果.

定理A若V(x),a(x),g(x)以及f(x,u)滿足如下假設(shè)條件.

則存在常數(shù)m >0,當(dāng)‖g‖2<m,a(x)1時關(guān)于方程(*)至少有兩個不同的解(u,φ).

值得注意的是:上述大部分已有文獻(xiàn)在處理方程(*)解的存在性或多重性問題均要求a(x)1且g(x)0,或a(x)1.受文[9-10]的啟發(fā),本文主要考慮a(x),g(x)是一個正連續(xù)函數(shù)的情形下,利用變分法和山路定理研究在非線性具有擾動項時方程(*)多解的存在性,所得的結(jié)果推廣和完善了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.

本文若V(x),a(x),g(x)以及f(x,u)滿足如下假設(shè)條件.

對于R3和|z|≥L成立.

得到的主要結(jié)果如下.

§2 預(yù)備知識及相關(guān)引理

首先回顧文[11]中關(guān)于臨界點理論的一些基本知識.

Ls(R3)(1≤s <∞)是通常意義下的Lebegue空間,相應(yīng)的范數(shù)為

令H1(R3):{2(R3):2(R3)},相應(yīng)的范數(shù)為

令D1,2(R3):{2*(R3):2(R3)},相應(yīng)的范數(shù)為

顯然,Φ(u,φ)1(E ×D1,2(R3)),且(*)是Φ(u,φ)的Euler-Lagrange方程,其中D1,2(R3)是在‖.‖下的完備化空間.

在(V)的假設(shè)之下,有如下的緊性引理成立.

引理2.1(見[11]) 若假設(shè)(V)成立,則嵌入(R3)(2≤p ≤2*6)是連續(xù)的,即存在正常數(shù)C,使得

引理2.2(見[12]) 由假設(shè)(V)成立,嵌入(R3)(2≤p <6)是緊嵌入.

由于Φ(u,φ)具有強(qiáng)不確定性,為了避免這種不確定性,利用文獻(xiàn)[13]中臨界理論中的還原法.

引理2.3(見[13-14]) 對于1(R3),根據(jù)Lax-Milgram定理,則存在唯一的φφuD1,2(R3),使得方程

成立.

進(jìn)一步地,映射Ψ:1(R3)(u)φuD1,2(R3)連續(xù)可微,它對應(yīng)的圖像

引理2.4(見[15]) 下列說法是等價的.

(i) (u,φ)1,2(R3) 是Φ的臨界點(i.e.(u,φ)是系統(tǒng)(*)的解);

(ii)u是J的臨界點,且φφu.因此泛函1當(dāng)R 是J的臨界點時,(u,φu)1(R3)×D1,2(R3)是方程(*)的一個解.

§3 主要結(jié)果的證明

引理3.1若(V), (A), (G), (F1)成立,且存在常數(shù)m3>0使得g滿足‖g‖2<m3,則存在常數(shù)ρ,α >0,使得J(u)|‖u‖ρ ≥α.

證由假設(shè)(A), (F1)以及H?lder不等式,有

引理3.2若假設(shè)(V), (A)和(F2)成立,則存在v0,且‖v0‖ >ρ,使得J(v0)<0,其中ρ是引理3.1所定義的.

證由假設(shè)(A),(F2)以及引理2.3(i) 中的-ω ≤φu ≤0,則

由于4<μ <6,故對于0,當(dāng)t →+∞時,J(tu)→-∞.取v0tu,當(dāng)t >0足夠大且0 時,J(v0)<0.

引理3.3若假設(shè)(V), (A), (G)以及(F1)成立,且{un} ?E是J的有界PS序列,則{un}在E中有強(qiáng)收斂的子列.

證 由于{un}?E是J的有界PS序列,所以{un}滿足

由Sobolev嵌入定理可知,存在v1,使得

其中{vn}?{un}?E且{vn}滿足(7).

第一部分:易見當(dāng)n →∞時

第二部分:證明當(dāng)n →∞時

第四部分:證明當(dāng)n →∞時

由(A),(F1),s >r-1以及H?lder不等式,可以得到

因此由假設(shè)(A),(10)以及(4,6), 2(s-r)≤s ≤6(s-r),故當(dāng)n →∞時有

由(15)-(18)和(14)可得‖vn-v‖→0.

定理1.1的證明由于2(R3),g ≥0,且0,因此存在函數(shù),使得

從而有

由于(4,6),故當(dāng)t >0足夠大時,得c:inf{J(u) :0, 其中ρ是引理3.1所定義的,:{:‖u‖<ρ}.

根據(jù)Ekeland變分原理[11],則存在{un}?,使得對于所有的,

成立,且

從而{un}是J的有界PS序列.根據(jù)引理3.3可知,存在u0,使得J′(u0)0且J(u0)c1<0.

定理1.2的證明根據(jù)山路定理[11],由引理3.1,引理3.2可知,存在序列{un}?E,使得

矛盾.因此meas(Ω0)0,即:R3時,幾乎處處有η(x)0,且在Lp(R3)(2≤p <6)中,ηn →0.

由假設(shè)(G)以及H?lder不等式,類似于(21)的討論,當(dāng)n →+∞時,有

由(22), (A), (F3), 4<μ <6,-ω ≤φu,故當(dāng)n →∞時,則

因此0≥-1.這與4<μ <6矛盾.因此{(lán)un}在E中有界.

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