江五元 曹 聰黃 俊

(1.湖南理工學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，湖南岳陽(yáng) 414006;2.湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南岳陽(yáng) 414006)

§1 引言

對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型一般描述為

其中u ＞0為初始資本，c ＞0表示單位時(shí)間的消費(fèi)支出，{S(t):t ≥0}為到時(shí)間t的總收入.該模型可以模擬以研究和開發(fā)為主營(yíng)業(yè)務(wù)的公司的資金流，同時(shí)也可以應(yīng)用于人壽保險(xiǎn)公司.許多文獻(xiàn)對(duì)保險(xiǎn)對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究，如[1]考慮了帶紅利界策略的對(duì)偶模型，假設(shè)收益服從指數(shù)分布或混合指數(shù)分布時(shí)，得到了期望折現(xiàn)紅利支付的明確計(jì)算公式和相關(guān)結(jié)論.[2]進(jìn)一步研究了擴(kuò)散干擾情形下的最優(yōu)紅利界問(wèn)題.[3]對(duì)更新對(duì)偶模型中的破產(chǎn)時(shí)間問(wèn)題進(jìn)行了研究，其中收益到達(dá)過(guò)程為廣義Erlang(n)過(guò)程.[4-6]考慮了對(duì)偶模型中的總紅利支付，[7]研究了帶恒定紅利界策略和觀察時(shí)間服從指數(shù)分布時(shí)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，而[8]在[7]的基礎(chǔ)上考慮了擴(kuò)散干擾情形.關(guān)于對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的研究，讀者可以進(jìn)一步參考文獻(xiàn)[9-10].

本文在文獻(xiàn)[4]研究的帶閾值分紅策略對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中引入擴(kuò)散干擾項(xiàng)，探索總紅利支付和破產(chǎn)概率的相關(guān)性質(zhì).研究模型是[4]的相應(yīng)推廣，另外對(duì)[1-3]等文獻(xiàn)研究的恒定紅利界模型進(jìn)行了改進(jìn).

考慮帶干擾項(xiàng)的閾值對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型

b為常數(shù)，c2＞c1.當(dāng)R(t)≤b時(shí)，消費(fèi)率為c1，不發(fā)生紅利支付;而當(dāng)R(t)＞b時(shí)，消費(fèi)率變?yōu)閏2，紅利支付率為c2-c1.

定義最終破產(chǎn)時(shí)間Tinf{t|R(t)≤0}，若R(t)＞0 對(duì)任意t ≥0，則T∞.R(T-)表示破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余，|R(T)|為破產(chǎn)時(shí)赤字.破產(chǎn)概率

I(A)為集A的示性函數(shù).

為了確保每單位時(shí)間的凈收入為正，假設(shè)E[S(1)]-c2＞0.

Gerber-Shiu折現(xiàn)罰函數(shù)

其中，δ ≥0為折現(xiàn)系數(shù)，懲罰函數(shù)w(x1，x2)是定義在[0，∞)×[0，∞)上的非負(fù)函數(shù).

直到破產(chǎn)時(shí)的折現(xiàn)總紅利支付為

直到破產(chǎn)時(shí)的折現(xiàn)總紅利支付的期望記為

§2 V(u;b)和m(u)滿足的積分-微分方程

首先假設(shè)u ＞b，在充分小的時(shí)間區(qū)間(0，)內(nèi)，考慮是否有收入發(fā)生，利用全概率公式，有

利用It′o公式

(2.1)式可以重寫為

對(duì)(2.2) 關(guān)于求導(dǎo)，令0，得

同理，當(dāng)0＜u ≤b時(shí)，有

若記

綜合上面的推導(dǎo)過(guò)程，得到下面結(jié)論.

定理2.1期望折現(xiàn)紅利支付滿足下面的積分-微分方程

初始條件

注當(dāng)σ0時(shí)，(2.5)式的兩個(gè)方程分別對(duì)應(yīng)[4]中的(4)和(5).

利用相同的推導(dǎo)過(guò)程可得下面的定理2.2.

定理2.2Gerber-Shiu折現(xiàn)罰函數(shù)m(u)滿足下面的積分-微分方程

初始條件

由定理2.2，當(dāng)δ0，w(x1，x2)1時(shí)，可得如下推論.

§3 收入服從指數(shù)分布時(shí)方程的解

所以A1，A2，A3均小于或等于零.又V(u;b)顯然是u的增函數(shù)，而

若A2＜0，A3＜0，則當(dāng)u →+∞時(shí)，必有＜0，與V(u;b)是增函數(shù)矛盾，因此必有A20，A30以及A1＜0.所以

由初始條件(2.6)得

解線性方程組(3.9)，可得B1，B2，B3和A1，再將其分別代入(3.6)和(3.8)，可得V(u;b)的表達(dá)式.

利用相似的推導(dǎo)，由(2.7)得

§4 收入服從混合指數(shù)分布時(shí)的期望折現(xiàn)紅利

首先給出V2(u)的一個(gè)結(jié)論.

引理4.1在模型(1.1)中，假設(shè)不考慮紅利支付，消費(fèi)支出為常數(shù)c，則破產(chǎn)時(shí)間的拉普拉斯變換為

其中κδ是下面關(guān)于s的方程的唯一負(fù)根

證設(shè)隨機(jī)過(guò)程M(t)e-δt+sR(t)，因?yàn)镽(t)有獨(dú)立平穩(wěn)增量，則M(t)為鞅的充分必要條件是E[M(t)]M(0)，即(4.2)式成立.再由關(guān)于鞅的可選樣本定理和控制收斂定理，可得命題成立.

定理4.1當(dāng)u ＞b時(shí)，期望折現(xiàn)紅利支付V(u;b)滿足

證設(shè)xu-b，Tx為盈余過(guò)程下降x的首達(dá)時(shí)間.因此，紅利將連續(xù)支付直到時(shí)刻Tx，支付率為c2-c1.由引理(4.1)，到時(shí)刻Tx時(shí)，若保險(xiǎn)賠付額為1個(gè)單位，則其期望現(xiàn)值為故

整理后即得(4.3).

將(4.3)代入(2.5)的第二個(gè)式子得

下面假設(shè)隨機(jī)收入服從混合指數(shù)分布，即

其中，β1＜β2＜···＜βn，Gi ＞0，且G1+G2+···+Gn1.則分布函數(shù)

對(duì)(4.6)式進(jìn)行變量替換，并將(4.7)代入(4.6) 得

和

由初始條件V(0;b)0，得

由[2]中(2.6)，知V ′(b-;b)1，即

由(4.12)-(4.14)，可解出Hj，j0，1，...，n.

總結(jié)推導(dǎo)過(guò)程，得到下面的定理.

根據(jù)相似的推導(dǎo)，由(2.7)可以得到Gerber-Shiu折現(xiàn)罰函數(shù)m(u)的表達(dá)式.

§5 數(shù)值例子

表1 根據(jù)不同的b，由(3.9)可得相應(yīng)的B1，B2，B3和A1

將B1，B2，B3，A1的值代入(3.6)和(3.8)可得V(u;b)的解析表達(dá)式.圖1描繪了V(u;b)隨u變化的函數(shù)圖像.從圖1可知，對(duì)固定的u，隨著b的增大，V(u;b)減少.這也說(shuō)明，對(duì)于相同的初始資本，紅利界b設(shè)定越高時(shí)，則分紅越少.

圖1 b取不同值時(shí)，V(u，b)隨u的變化

若取b6，c11，c23，δ0.1，σ2，μ0.01，而收入到達(dá)率λ分別取0.1，0.2，0.3，0.4，0.5時(shí)，圖2描繪了V(u;b)隨u變化的函數(shù)圖像.從圖2可知，對(duì)固定的u，隨著λ的增大，V(u;b)增加.因?yàn)棣嗽酱?，表示單位時(shí)間收入越多，從而保險(xiǎn)公司資本盈余積累越快，就越容易超過(guò)紅利界b，導(dǎo)致分紅越多.