金 蓉，李銀山，崔春義

（1.大連海事大學 交通運輸工程學院，遼寧 大連 116026；2.河北工業(yè)大學 機械工程學院，天津 300401）

梁的彎曲內力是材料力學教學的重點和難點內容，是解決梁彎曲強度和彎曲剛度問題的關鍵。對于靜定梁求彎曲內力，通常先求支座約束力，然后用截面法[1-7]求梁的內力；對于超靜定梁求彎曲內力通常先選擇靜定基，采用力法[1-7]求出多余約束力，然后按靜定梁求彎曲內力。對于復雜載荷作用的梁采用常規(guī)方法，手工運算過程煩瑣、速度慢。

李自林等[8]利用初參數方程求解了梁的彎曲問題；王秀華等[9]采用選擇靜定基與積分法相結合的方法求解了梁的彎曲問題；劉杰民等[10]采用虛懸臂梁法求解了梁的彎曲問題；劉明超等[11]采用拉氏變換法求解了梁的彎曲問題；楊迪熊等[12]采用單位支座位移法求解了超靜定梁的彎曲問題；朱伊德[13]用待定系數法求解了梁的彎曲問題。隨著計算機的普及，Maple和Matlab等工程計算軟件廣泛應用于工程力學[6，7，14-18]，提高了解題效率。李銀山等[19]將Maple軟件與材料力學相結合提出了求解結構彎曲變形的連續(xù)分段獨立一體化積分法（簡稱為ICI法）；吳艷艷等[20]采用ICI法求解了超靜定梁的彎曲問題；李銀山[7]采用ICI法求解了剛架的彎曲問題。

本文克服了截面法和力法等經典解法求解梁在復雜載荷作用下彎曲內力步驟煩瑣，解題速度慢的缺點，應用一體化積分法與Maple軟件相結合的方法直接快速統(tǒng)一求解了靜定梁和超靜定梁的彎曲內力問題，求解方法[7，13]更直接、更簡單，是獨立、自動化求解梁內力的方法。

1 一體化積分法

1.1 一體化積分法求解靜定梁的內力

一體化積分法求解靜定梁內力的步驟如下：

（1）按連續(xù)性將梁分為n段，建立各段彎矩、剪力、載荷集度的微分方程：

（2）將式（1）、式（2）分別積分1次得剪力方程、彎矩方程的通解：

（3）利用力的邊界條件建立2n個約束方程

利用計算機求解方程（4），可確定這2n個積分常數。

（4）將積分常數Ci，j（i=1，2，…，n；j=1，2）代入式（3）、式（4）可得靜定梁的剪力方程、彎矩方程。

（5）利用計算機繪出靜定梁的剪力圖、彎矩圖，并確定最大剪力、最大彎矩。

1.2 一體化積分法求解超靜定梁的內力

一體化積分法求解超靜定梁內力的步驟如下：

（1）按連續(xù)性將梁分為n段，建立各段彎矩、剪力、載荷集度的微分方程如式（1）、式（2），并積分得剪力方程、彎矩方程如式（3）、式（4）。

（2）建立各段撓度、轉角、彎矩的微分方程：

（3）將式（6）、式（7）分別積分1次，得轉角方程、撓度方程的通解：

（4）利用力、位移的邊界條件建立超靜定梁的4n個約束方程：

利用計算機求解方程（10），可確定4n個積分常數。

（5）將4n個積分常數Ci，j（i=1，2，…，n；j=1，2，3，4）代入式（3）、式（4）、式（8）、式（9）可得超靜定梁的剪力方程、彎矩方程、轉角方程、撓度方程。

（6）利用計算機繪出超靜定梁的剪力圖、彎矩圖，并確定最大剪力、最大彎矩。同時還可繪出超靜定梁的轉角圖、撓度圖，并確定最大轉角、最大撓度。

2 算例

2.1 求靜定梁的內力

算例1如圖1所示，其中圖1（a）中的簡支梁受分布載荷作用，載荷集度，試用一體化積分法建立梁的剪力方程、彎矩方程，畫梁的剪力圖、彎矩圖。

解：該簡支梁為靜定梁，其彎矩-載荷集度微分方程為：

梁的力邊界條件有2個：

應用一體化積分法，解得梁的剪力、彎矩方程：

式中0≤x≤l，梁的剪力圖、彎矩圖如圖1（b）、圖1（c）所示。

剪力、彎矩的極值：

算例2外伸梁的載荷和尺寸如圖2（a）所示，試用一體化積分法與Maple軟件編程建立梁的剪力方程、彎矩方程，畫梁的剪力圖、彎矩圖。

解：該外伸梁為靜定梁，將其分為3段，各段彎矩-載荷集度微分方程分別為：

梁的力邊界條件有6個：

應用一體化積分法及Maple軟件編程計算，解得梁的剪力方程：

梁的彎矩方程：

梁的剪力圖、彎矩圖如圖2（b）、圖2（c）所示。

圖2 外伸梁

剪力的極值、彎矩的極值：

2.2 求超靜定梁的內力

算例3兩端固定的梁如圖3（a）所示，承受梯形分布載荷作用，載荷集度的最大值為q1，最小值為q2，梁的抗彎剛度EI為常量。試用一體化積分法與Maple軟件編程建立梁的剪力方程、彎矩方程，畫梁的剪力圖、彎矩圖。

解：該梁為超靜定梁，其撓度-載荷集度微分方程為：

梁的位移邊界條件有4個：

按照一體化積分法及Maple軟件編程計算，解得梁的剪力、彎矩方程：

式中0≤x≤l。

當q1=2q0、q2=q0時，該梁的剪力圖、彎矩圖如圖3（b）、3（c）所示。

圖3 兩端固定梁

剪力的極值、彎矩的極值：

算例4如圖4（a）所示梁受集中力、集中力偶和分布載荷的作用，已知q0，a，Me=q0a2，梁的抗彎剛度EI為常量。試用一體化積分法與Maple軟件編程畫出梁的剪力圖和彎矩圖。

解：該梁為超靜定梁，將其分為3段，各段撓度-載荷集度微分方程分別為：

梁的力、位移邊界條件有12個：

應用一體化積分法及Maple軟件編程計算，得梁的剪力圖、彎矩圖如圖4（b）、圖4（c）所示。

圖4 復雜載荷作用的超靜定梁

剪力、彎矩的極值：

3 結論

本文方法及其算例表明：

（1）一體化積分法是求解梁彎曲內力的通用解析法，不論是靜定梁還是超靜定梁都可以解決，特別是對求解多段、復雜分布載荷作用下的梁的內力尤其具有優(yōu)勢。

（2）該方法程式化、簡潔明了。只需列出梁各段分布載荷函數、控制方程和邊界條件，與Maple軟件編程相結合，采用計算機積分快速準確求出積分常數。一旦積分常數確定，剪力函數和彎矩函數、剪力圖和彎矩圖、剪力最大值和彎矩最大值可一并得到，分析計算一氣呵成。

（3）一體化積分法是求解梁內力的獨立的方法。與傳統(tǒng)解法完全不同，解靜定問題不列平衡方程，不求約束反力；解超靜定問題，不選靜定基，不求多余的約束反力，一體化積分法是固體力學邊值問題的具體應用。

（4）實現梁內力的可視化，給予使用者直觀的學習體驗，達到所想即所得。這樣既提高學生的學習效率、學習興趣，又提高學生分析問題、解決問題的能力。將一體化積分法用于工程設計，高效、實用。