王仙業(yè) 劉海濤 黃 田

天津大學機構(gòu)理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津，300354

0 引言

腿式機器人采用足端離散接觸地面的方式跨越障礙，對非結(jié)構(gòu)化環(huán)境具有很好的適應性，因此在空間探索、戰(zhàn)場偵察、抗災救援等方面具有良好的應用前景[1-3]。其中，基于平面多閉環(huán)連桿機構(gòu)的腿式機器人具有控制簡單、可靠性高等特點，引起了學術(shù)界的廣泛關(guān)注[4-7]。在過去的幾十年中，研究人員提出了眾多閉鏈腿式機構(gòu)[8-12]，如Chebyshev機構(gòu)、Klann機構(gòu)、Theo Jansen機構(gòu)(TJL)等。

在此類機構(gòu)中，TJL可以生成與步行哺乳動物相似的足端軌跡，且該軌跡底部平緩，可有效減小行進過程中由慣性力造成的桿件與地面間的沖擊，保證了腿式機器人的平穩(wěn)運動[13-14]。國內(nèi)外學者圍繞TJL開展了大量研究工作[15-18]。KOMODA等[19]利用虛功原理，推導了Chebyshev、Klann和TJL三種機構(gòu)的動力學模型，并在曲柄尺寸、輸入角速度和機構(gòu)總質(zhì)量相同的條件下，對比了三種機構(gòu)的足端軌跡和能量消耗，結(jié)果表明TJL的足端軌跡底部最為平緩，且總能耗最低，更適用于腿式機器人。HAGHJOO等[20]以成年人在行走過程中踝關(guān)節(jié)相對于臀部生成的運動軌跡為目標，優(yōu)化了TJL的尺度參數(shù)，據(jù)此設計了一款下肢康復訓練設備。LIU等[21]以人在上樓梯時的步態(tài)作為目標軌跡，研究了TJL的優(yōu)化設計問題，并基于優(yōu)化結(jié)果設計了一種爬樓梯機器人，實現(xiàn)了該步態(tài)軌跡的模仿。文獻[22-24]以輸入能量最小為優(yōu)化目標，綜合了TJL的尺度參數(shù)。文獻[25-26]通過調(diào)節(jié)機構(gòu)的桿長和機架鉸接位置，將TJL設計成一種變參數(shù)機構(gòu)，從而獲得可變化的末端輸出運動。

鑒于TJL輸出的足端軌跡底部平緩、適用于腿式機器人的平穩(wěn)運動，本文以TJL的足端軌跡為優(yōu)化目標，研究一種平面六桿閉鏈腿式機構(gòu)[27]的尺度參數(shù)優(yōu)化設計問題，使其能夠很好地復現(xiàn)TJL輸出的運動軌跡。

1 機構(gòu)描述與運動學分析

1.1 機構(gòu)描述

本文研究的平面閉鏈腿式機構(gòu)如圖1所示。該機構(gòu)由6根連桿和7個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)組成，桿AD為機架，桿ABE為原動件，桿CFG為輸出件，點G的運動軌跡為該機構(gòu)的足端軌跡。利用Grübler-Kutzbach準則計算該機構(gòu)的自由度:

圖1 平面閉鏈腿式機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

(1)

式中，n、j、fi分別為桿件數(shù)目、轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)數(shù)目、第i個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的自由度,n=6，j=7，fi=1。

由式(1)可知，該機構(gòu)的自由度為1，因此該機構(gòu)在桿ABE的驅(qū)動下具有確定的末端輸出運動。

1.2 運動學分析

如圖1所示，在點A處建立坐標系A(chǔ)xy，水平方向為x軸。在該坐標系下，可將Ⅱ級桿組(桿EF-CFG)中點G的位置矢量表示為

rG=rC+q1(rF-rC)+q2M(rF-rC)

(2)

式中，lCF、lCG、lFG分別為桿CF、CG和FG的長度。

由式(2)可知，為得到rG，需要先計算rC和rF。類似地，可將Ⅱ級桿組(桿BC-CD)中點C的位置矢量表示為

rC=rB+q3(rD-rB)+q4M(rD-rB)

(3)

lBD=‖rD-rB‖rB=(lAcosα，lABsinα)T

rD=(lADcosθ0，lADsinθ0)T

式中，lA、lAD、lBC、lCD分別為桿AB、AD、BC和CD的長度；lBD為點B與點D之間的距離；α為曲柄的輸入角；θ0為機架與x軸之間的固定安裝角度。

在Ⅱ級桿組(桿EF-CFG)中，點F的位置矢量為

rF=rC+q5(rE-rC)+q6M(rE-rC)

(4)

lCE=‖rE-rC‖rE=(lAEcosβ,lAEsinβ)T

式中，lAE、lBE、lEF分別為桿AE、BE和EF的長度；lCE為點C與點E之間的距離；β為桿AE與x軸之間的夾角。

將式(3)和式(4)代入式(2)，可得點G的位置矢量:

rG=ArB+BrE+CrD

(5)

A=(1-q3-q5q1+q3q5q1)I+aM+

bM2+(q4q6q2)M3

B=q5q1I+(q6q1+q5q2)M+q6q2M2

C=(q3-q3q5q1)I+cM-dM2-(q4q6q2)M3

a=q3q6q1+q3q5q2+q4q5q1-q4-q6q1-q5q2

b=q3q6q2+q4q6q1+q4q5q2-q6q2

c=q4-q3q6q1-q3q5q2-q4q5q1

d=q3q6q2+q4q6q1+q4q5q2

表1給出了文獻[27]中該機構(gòu)的尺度參數(shù)，其中θ0=0°。根據(jù)式(5)，可得到不同輸入角度下機構(gòu)的位形,如圖2所示。由圖2可知，該平面閉鏈腿式機構(gòu)能夠近似模擬步行哺乳動物的腿部運動，但在該組尺度參數(shù)下，其軌跡底部的平緩性稍差,因此，有必要進一步研究該機構(gòu)的尺度綜合問題，以得到更優(yōu)的末端輸出運動軌跡。

表1 閉鏈腿式機構(gòu)量綱一尺度參數(shù)

(a)α=0° (b)α=36° (c)α=72° (d)α=108°

2 尺度參數(shù)優(yōu)化設計

文獻[20]給出了TJL的量綱一尺度參數(shù)(表2)。在該機構(gòu)中，機架與x軸之間的固定安裝角θ0=11.6°(圖3)。由圖3可知，TJL可連接機架與足端的桿CD和桿CG(圖中綠色部分)，足端軌跡可視為由桿CD和桿CG的運動確定。注意到，在所提出的腿式機構(gòu)(圖1)中存在與圖3相同的連桿，故在保證兩種機構(gòu)尺度參數(shù)lCD、lCG和運動參數(shù)φ3、φ5相同的前提下，即可得到相同的輸出運動。為減少設計變量，令兩機構(gòu)的桿長lCD、lCG分別相等。此外，注意到φ3由曲柄搖桿機構(gòu)ABCD(圖中紅色部分)確定，故令兩機構(gòu)中l(wèi)AB、lBC、lAD和安裝角度θ0的取值分別相等，使得在給定相同輸入角α時，兩種機構(gòu)的φ3亦相等。在上述前提下，當φ5對應相等時，兩機構(gòu)的足端位置相同。

表2 TJL量綱一尺度參數(shù)

圖3 TJL結(jié)構(gòu)簡圖

根據(jù)前文推導的運動學模型，可得所研究機構(gòu)(圖1)中φ5的解析表達式：

(6)

TJL中φ5的求解可參見文獻[19]。為便于區(qū)分，下文將TJL的φ5記為φ′5，且其余角度亦采用相同定義方式。進一步，結(jié)合式(3)和式(5)可知，式(6)中包含lBE、lEF、lCF、lAE和lFG共5個獨立參數(shù)，將它們定義為設計向量

x=(lBE，lEF，lCF，lAE，lFG)T

(7)

2.1 目標函數(shù)與約束條件

本文的優(yōu)化目標為兩機構(gòu)中點G的軌跡偏差最小，基于上述分析可將其轉(zhuǎn)化為兩機構(gòu)的φ5與φ′5的偏差最小，即

(8)

其中，N為一個運動周期內(nèi)輸入角的離散點數(shù)目。當η取最小值時，可認為兩種機構(gòu)的足端軌跡最為相近。

為了保證設計結(jié)果的可行性，依據(jù)機構(gòu)尺度參數(shù)間的幾何關(guān)系來確定優(yōu)化問題的約束條件。

基于上述分析，將兩機構(gòu)尺度相同部分重合，得到的結(jié)果如圖4所示。結(jié)合圖2可知，在一個運動周期內(nèi)，桿BE繞點B旋轉(zhuǎn)一周,故以桿BC為機架、桿BE為曲柄、桿CF為搖桿、桿EF為連桿(圖4)。根據(jù)該曲柄搖桿機構(gòu)的曲柄存在條件，可得到lBE、lEF、lCF之間的約束關(guān)系：

圖4 兩種機構(gòu)的結(jié)構(gòu)對比

c1=lBE+lEF-lBC-lCF<0

(9)

c2=lBE-min(lEF,lBC,lCF)<0

(10)

因兩機構(gòu)的lAB、lBC、lCD和lAD取值相同，故在一個運動周期內(nèi)兩機構(gòu)的φ2(桿AB和桿BC之間的夾角)相等，因此，φ1和φ4滿足如下約束關(guān)系：

c3=φ1+φ4=2π-φ2

(11)

式中，φ1為曲柄搖桿機構(gòu)BEFC中桿BC與桿BE之間的夾角；φ4為桿AB和桿BE之間的夾角。

結(jié)合式(3)可知，φ1和φ4中僅包含lBE和lAE兩個獨立參數(shù)，故利用式(11)可得到lBE與lAE之間的隱式約束關(guān)系。類似地，在一個運動周期內(nèi)兩機構(gòu)的γ2(桿BC和桿CD之間的夾角)相等，則φ5和φ滿足如下約束關(guān)系：

c4=φ5+φ=2π+γ2-γ1

(12)

式中，γ1為桿CG和桿CF之間的固定角度；φ為桿CF與桿BC之間的夾角。

結(jié)合式(3)～式(5)可知，式(12)中僅包含lCF和lFG兩個獨立參數(shù)，故利用式(12)可得到設計變量lCF與lFG之間的隱式約束關(guān)系。

最終，本文所研究的平面閉鏈腿式機構(gòu)優(yōu)化設計問題被定義為如下單目標優(yōu)化問題：

(13)

2.2 優(yōu)化設計

根據(jù)等式約束c3和c4，可將設計變量進一步縮減為lBE、lEF和lCF。若采用一般的優(yōu)化算法[12]，則需給定三個設計變量的取值范圍。考慮到三個設計變量與已知量lBC構(gòu)成曲柄搖桿機構(gòu)BEFC，且約束條件c1和c2源自該機構(gòu)的曲柄存在條件，故可參考曲柄搖桿機構(gòu)的優(yōu)化設計方法確定三個設計變量，從而簡化優(yōu)化問題的求解。

為設計該曲柄搖桿機構(gòu)，首先確定其搖桿的擺角范圍。將φ視為搖桿CF的擺角，它與φ5之間滿足約束c4。注意到該約束同樣存在于TJL中，即

φ′5+φ′=2π+γ2-γ′1

(14)

其中，φ′為TJL中桿BC與桿CF′的夾角；γ′1為桿CG與桿CF′的夾角(圖4)，因此，可參考TJL確定φ的擺角范圍。圖5所示為一個運動周期內(nèi)TJL中φ′的變化曲線。由圖5可知，φ′的兩個極值分別為φ′max=181.68°和φ′min=103.96°，所對應的輸入角分別為348.55°和167.94°，則擺角φ應滿足

圖5 TJL中φ′的變化曲線

Δφ=φmax-φmin=φ′max-φ′min=77.72°

(15)

其次，需要確定搖桿CF的極限位置。根據(jù)TJL中φ′的兩個極值及其所對應的輸入角，得到TJL的兩個極限位置，如圖6所示。為了保證φ5和φ′5具有相同的變化趨勢，兩機構(gòu)應同時達到極限位置。由于兩機構(gòu)的四桿機構(gòu)ABCD相同，故需要設計的曲柄搖桿機構(gòu)BEFC的機架BC可由TJL的兩個極限位置確定。進而，可確定φ的極值所對應搖桿的兩個極限位置(C1F1和C2F2)，如圖6所示。

(a)φ和φ′均為最大值

根據(jù)曲柄搖桿機構(gòu)極限位置的幾何條件，即曲柄與連桿共線，可構(gòu)造如下約束方程：

(16)

式中，a1、a2分別為曲柄搖桿機構(gòu)BEFC兩個極限位置處點B到點F的距離。

式(16)中包含lBE、lEF、lCF和φmax四個參數(shù)。為求解式(16)，根據(jù)兩機構(gòu)同時達到極限位置的條件進一步可得

‖rE1‖=‖rE2‖

(17)

i=1，2

φm1=φmaxφm2=φmax-Δφ

式中，rBi、rCi、rEi分別為兩極限位置處點B、點C和點E的位置矢量。

式(16)和式(17)提供了3個約束方程，包含4個參數(shù)。因此，當φmax給定時，便可得到lBE、lEF和lCF。進一步，根據(jù)式(8)即可定量評價兩機構(gòu)足端軌跡的近似程度。為了避免曲柄搖桿機構(gòu)BEFC存在奇異位形，并保證其擺角范圍，給定φmax的取值范圍為78°<φmax<180°，取離散點個數(shù)N=200，繪制η隨φmax的變化曲線，如圖7所示。由圖7可知，當φmax=168°時，η取得最小值，因此，可認為此時兩機構(gòu)的足端軌跡最為接近。將φmax代入式(16)、式(17)、式(11)和式(12)，即可得到優(yōu)化后機構(gòu)的量綱一尺度參數(shù)(表3)。

圖7 η隨φmax的變化曲線

表3 優(yōu)化后閉鏈腿式機構(gòu)的量綱一尺度參數(shù)

在表1和表3兩組尺度參數(shù)下，腿式機構(gòu)的φ5與TJL中φ′5的變化曲線見圖8。由圖8可知，優(yōu)化后φ5的變化規(guī)律與φ′5更為接近。圖9進一步對比了兩組尺度參數(shù)下腿式機構(gòu)與TJL的足端軌跡。優(yōu)化后的機構(gòu)與TJL具有相同的跨高h，且最大軌跡偏差小于0.26。上述結(jié)果表明，優(yōu)化后閉鏈腿式機構(gòu)可以很好地逼近TJL的足端軌跡。

(a)角度的變化曲線

(a)足端軌跡

3 多足移動機器人樣機

利用優(yōu)化后的尺度參數(shù)設計了一種多足移動機器人，其CAD模型如圖10所示。整機包括左右布置的兩個模塊，每個模塊包含一個主傳動軸和兩組前后布置的雙足步行單元，每組雙足步行單元由兩個閉鏈腿式機構(gòu)、傳動齒輪組、傳動同步帶輪、曲柄軸組成。整機由安裝在中間的兩個電機驅(qū)動，并設置了電池倉來放置電池，通過同步帶輪將動力傳遞給主傳動軸；傳動齒輪組分別與主傳動軸和曲柄軸固連，主傳動軸通過齒輪傳動將動力分別傳輸?shù)角S上；曲柄軸帶動閉鏈腿式機構(gòu)的曲柄轉(zhuǎn)動，從而使閉鏈腿式機構(gòu)輸出足端運動，支撐機器人在地面移動。為減小機器人質(zhì)量，機身框架由碳纖維板制成，其余構(gòu)件采用光敏樹脂材料3D打印成形。

(a)整體結(jié)構(gòu)

雙足步行單元是機器人的行走裝置，其行走步態(tài)直接反映機器人的運動狀態(tài)。圖11為該雙足步行單元的結(jié)構(gòu)示意圖，由兩個腿式機構(gòu)組成，這兩個腿式機構(gòu)共用一個機架，共線布置的曲柄之間相位差為180°，通過單電機驅(qū)動實現(xiàn)兩機構(gòu)的同步運動。雙足步行單元在水平地面行走時，交替完成支撐推進和邁步跨越的動作，從而使機架向前移動。如圖11所示，支撐腿(紅色)處于支撐階段，足端支撐在點G處；擺動腿(藍色)處于擺動階段，足端在點G′處。當兩腿式機構(gòu)同時接觸地面時，會有短暫的雙重支撐階段，即兩足端分別處于點O1和點O2，兩次雙重支撐之間曲柄旋轉(zhuǎn)180°，為一個行走周期。

圖11 雙足步行單元結(jié)構(gòu)簡圖

為分析雙足步行單元的運動平穩(wěn)性，在足端支撐的G點處建立參考坐標系Gx′y′，水平方向為x′軸；在A點處建立連體坐標系A(chǔ)xy，在任意瞬時位形下坐標系A(chǔ)xy平行于坐標系Gx′y′(圖11)。則在坐標系Gx′y′中，D點的位置矢量rGD可表示為

rGD=rD-2rG

(18)

據(jù)此，可得到雙足步行單元機架在行走過程中的運動軌跡(假設無滑動)。類似地，亦可得到采用相同結(jié)構(gòu)設計的TJL雙足步行單元機架運動軌跡，如圖12所示。通過對比可知，本文設計的雙足步行單元在一個行走周期中機架上下波動幅度較小，能夠有效保證機架的運動平穩(wěn)性。

圖12 行走時機架上固定點的軌跡

根據(jù)設計的多足移動機器人CAD模型，完成對電機、軸承、控制器等零件的選型，制作、裝配，得到如圖13所示的多足移動機器人實物樣機，包含機器人本體、驅(qū)動控制系統(tǒng)以及電池。該樣機的主要參數(shù)見表4。利用搭建的多足移動機器人開展行走實驗(圖14)，給定電機轉(zhuǎn)速為30 r/min，機器人沿直線行進，速度可達0.06 m/s。利用激光測距儀得到樣機在行走過程中主體框架與地面的距離,變化范圍為140～142.2 mm，上下波動幅度小，證明了移動的平穩(wěn)性。

圖13 多足移動機器人實物樣機

表4 樣機參數(shù)

t=0 t=0.5 s t=1.0 s

4 結(jié)論

(1)在利用基本桿組法建立機構(gòu)運動學模型的基礎(chǔ)上，以該機構(gòu)與TJL的足端軌跡偏差最小為優(yōu)化目標，建立了考慮尺度參數(shù)間幾何約束的單目標優(yōu)化模型。通過考察機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，利用曲柄搖桿機構(gòu)的極限位置條件，有效減少了設計變量數(shù)目，并將優(yōu)化設計問題簡化為一維搜索問題，進而得到優(yōu)化后的機構(gòu)尺度參數(shù)。優(yōu)化結(jié)果表明，最大軌跡偏差小于0.26，機構(gòu)可近似復現(xiàn)TJL的足端運動軌跡。

(2)利用優(yōu)化后的機構(gòu)尺度參數(shù)設計了一種多足移動機器人，并分析了雙足步行單元在一個行走周期內(nèi)的運動平穩(wěn)性。仿真與實驗結(jié)果表明，該雙足步行單元能夠有效保證多足移動機器人的運動平穩(wěn)性，從而驗證了設計方案的可行性。