孟國艷， 銀潤龍， 李新云

(忻州師范學院數(shù)學系，山西忻州034000)

1 引 言

《關于一流本科課程建設的實施意見》提出課程是人才培養(yǎng)的核心要素，課程質量直接決定人才培養(yǎng)質量.教育部吳巖司長提出建設“金課”必須具有高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度，這為線性代數(shù)課程的教學改革指明了前進的方向.線性代數(shù)課程中線性方程組和向量的幾何意義對于具體問題的分析建模有著獨特的優(yōu)勢，其核心概念——矩陣，在機器學習[1]、人臉識別[2-3]、圖像處理[4-5]和工程應用[6]等方面也有著重要的應用.因此，對于線性代數(shù)課程，如何有效提高課堂教學質量，如何打造高質量的“金課”，具有十分重要的意義.王曉民和蘇道畢力格[7]討論了在線性代數(shù)教學中引入實際應用案例和幾何意義的重要性，通過實例解釋了矩陣的數(shù)乘運算、矩陣乘法、逆矩陣、特征值和特征向量，并且給出了向量組線性相關性和線性方程解的幾何意義.段滋明[8]等闡述了線性代數(shù)課程傳統(tǒng)線下教學模式以及慕課網(wǎng)絡教學狀況，對混合式教學的內容設計、教學過程、教學資源建設等進行了探索與實踐.文軍等[9]基于 MOOC 課程建設，以課程內容的知識體系、知識點、計算方法、案例等為重點，表明了系統(tǒng)的優(yōu)化研究與實踐.這些方法和觀點對于培養(yǎng)學生興趣和教師有效組織教學提供了一些很好的措施，但對于如何促進學生與教師同步學習，如何引導學生自主專業(yè)學習等方面缺乏啟示，本文針對這些問題進行教學改革和探索，在理工科相關專業(yè)開展教學并取得了一定的成效.

作為地方性師范院校，基于我院著力實施“本科教育提升行動”，按照“三步走”發(fā)展戰(zhàn)略，建設特色鮮明、國內知名的高水平應用型師范大學的目標，在多年線性代數(shù)課程教學實踐過程中，發(fā)現(xiàn)教學中存在一些“痛點”問題.

(i) 學生對課程重要性認識不足

理科專業(yè)的新生多數(shù)對數(shù)學類基礎課程認識不到位，學習積極性不高，甚至認為考研才學此課程，缺乏學習動力.同時隨著網(wǎng)絡的普及，幾乎每一位學生都擁有智能手機，上課打游戲和聊天等時有發(fā)生.學生對于疑惑、不解的習題，傾向于上網(wǎng)搜索查詢，缺乏認真思考.

(ii) 線性代數(shù)課程學習難度大

線性代數(shù)課程主要包括行列式、矩陣、線性方程組等內容，概念抽象，理論深奧，計算繁雜，而且前后知識點聯(lián)系緊密，學習難度相對較大.由于中學時也沒有接觸過類似的基本概念，學生在入門時很難領會其含義，應用更是無從下手，容易產(chǎn)生畏難情緒.線性代數(shù)課程的課時安排較少，而該課程的學習量又偏重，學生學習不輕松.

(iii) 課程與信息化技術的融合度不高

學院多數(shù)教師認為數(shù)學需要的是思考，板書可以給學生更充分的思考時間，習慣于一言堂，很少用信息技術.部分教師教學中使用了新科技，但與教學融合不夠深入，課后信息反饋不及時不暢通，缺乏便于衡量的過程性考核機制，再加上課堂吸引力不足，學生缺乏好奇心，導致課堂注意力較差，學習興趣較低.

造成上述情況的主要原因可歸結為：

(i) 中學階段學生主要注重考試成績，爭取考上大學，結果造成學生視野窄，很少接觸實際問題，也缺乏思考如何解決實際生活中的問題.雖然學習了一些計算機知識，但主要關心如何操作使用，不懂得計算機可以解決哪些重要的實際問題，如天氣預報、石油勘探，更不懂計算機如何工作，在學生的頭腦中沒有形成有效的“問題”，從而也缺少對“問題”的探究.

(ii) 近幾年新生數(shù)學基礎弱，邏輯思維能力和計算能力差，在解方程組、矩陣化階梯形、矩陣求逆等內容上計算不過關，頻繁出錯，這影響到相關內容的學習.事實上，有的內容只有學到后面才能理解透和掌握好，而學生往往沒有堅持到最后，只見樹木，不見森林，易產(chǎn)生厭學情緒.

(iii) 教學內容相對多，課時少，教師忙于講授內容，缺少課堂練習，學生課下不主動學習，學習內容不能及時掌握，學生對傳統(tǒng)教學方法有厭倦感，對手機、游戲抵制力不強，日復一日，最終跟不上學習的節(jié)奏，容易產(chǎn)生厭學情緒.

從以上原因來看，傳統(tǒng)的教學內容和課堂教學模式不太適應我院學生的實際情況，需要新活力，新內容和新手段促進教學，尤其是多數(shù)同學的課后作業(yè)正確率不高，思考題多數(shù)沒有解題思路，對線性代數(shù)課程內容的思考與理解度持續(xù)下降，長此以往，理工科專業(yè)，特別是計算機專業(yè)后繼課程的學習也會受到影響，更不用說創(chuàng)新能力和人才培養(yǎng).為此，針對教學中的“痛點”問題，結合 “金課”建設目標，對線性代數(shù)課程開展了“一中心兩目標”的課程教學改革探索.

2 教學改革探索與實踐

為更好地實現(xiàn)師范院校在立德樹人任務中的引領作用，實現(xiàn)學生發(fā)展為中心，培養(yǎng)學生確立積極向上的思政觀、人生觀和價值觀，激發(fā)學生的愛國熱情和民族自豪感，故針對“痛點”問題(i)，在傳統(tǒng)知識和能力教學目標中，不僅增加了能力目標：激發(fā)學生的探索和求知欲望，培養(yǎng)學生自主學習能力，還補充了素質目標：提升自身的專業(yè)知識素質和培養(yǎng)學生的終身學習和專業(yè)發(fā)展意識.

2.1 調整教學內容，引領學生“高觀點”

(i) 針對“痛點”問題(i)和(ii)，不斷充實教學內容.①擴展生活實例及理工科專業(yè)相關內容的實例.如利用“國慶”閱兵方陣、列車信息表、機場的航班信息表可以引出矩陣概念；手機像素、人口遷徙問題可以利用矩陣知識解決；交通網(wǎng)絡流量分析問題[10]可以通過建立線性方程組模型加以解決.這樣學生會感知線性代數(shù)一直在自己的生活中，不再是遙不可及、枯燥的抽象理論，可以激發(fā)學生的好奇心和求知欲，調動學生學習數(shù)學的積極性和主動性，并用數(shù)學思維啟迪人生.②教學中將中學方程組求解使用的一些結論給出證明并進行拓展[11]，培養(yǎng)學生的終身學習意識.③結合計算機專業(yè)特征，在線性代數(shù)課程教學中，引入編程實踐內容，更容易激發(fā)學生的學習興趣和挑戰(zhàn)愿望，同時可以提高學生的實踐能力和編程思維，實現(xiàn)“學有所用”的教學理念.④融入反映學科前沿的知識.教材內容總是有限的，在授課過程中對教材內容不斷進行拓展延伸，補充學科發(fā)展的前沿信息.如在矩陣乘法運算后補充點乘和矢量乘，這也是目前數(shù)學研究熱點——四元數(shù)的主要運算和線性方程組的機器求解進展，滿足學生個性化的學習需求，使課程教學更具學術性和拔高性.

(ii) 針對“痛點”問題(ii)，重組教學內容.在現(xiàn)有的教學內容下，突出線性代數(shù)理論應用于實踐，以實踐環(huán)節(jié)為引領，提煉線性代數(shù)模型，最后解決問題，教學以矩陣為核心，圍繞矩陣應用——線性方程組求解，重新調整線性代數(shù)教學內容.這樣可以幫助學生更好地理清知識脈絡，由淺入深地實現(xiàn)對知識的掌握.此外，教學過程中注重實際應用與編程思想的融合，更容易激發(fā)學生的學習興趣.

(iii) 針對“痛點”問題(i)，在教學內容中融入課程思政.例如，逆矩陣一課，以密碼問題引入，引導學生關注解密專家王小云的研究思路，她的敬業(yè)、嚴謹、專注、創(chuàng)新，無不體現(xiàn)出“工匠精神”.線性方程組以劉徽的《九章算術注》中的實例導入，使學生認識到我國古代數(shù)學的輝煌成就.總之，中國科學家們取得卓越成就的事例不僅可以培養(yǎng)學生科學的歷史觀，激發(fā)學生的文化自信，也可以激發(fā)學生積極的、正確的人生觀和價值觀.在教學中，突發(fā)事件也是隨時進行課程思政的“觸點”.此外，教學中特別注意自身的“身正為范”的引導作用，通過教師自身的敬業(yè)精神感染學生，影響學生將來的職業(yè)精神.

2.2 改革教學方法，促進學生“高效率”

針對“痛點”問題，在教學過程中改變過去單向講授的情況，并根據(jù)課程的教學內容和目標，采用恰當?shù)慕虒W方法.

(i) 問題啟發(fā)教學法.課堂教學中精心設計導入知識點的引例，將實際背景、幾何問題或典型例題等作為引入基本概念的切入點，通過層層深入的提問進行引導，學生思維活躍，能夠深入思考與理解知識點，通過解決實際問題將理論知識與應用融合，引領學生融會貫通，加深對概念的理解，既激發(fā)學生興趣，又融入編程思想，可以鍛煉學生應用數(shù)學知識處理問題的能力，進而提升專業(yè)知識素質.在教學過程中，教師有意識地先提出一些與學生專業(yè)結合的實際問題，學生在課前查閱資料，課外通過自主學習尋找問題的解決方法，這樣不僅調動了學生的學習主動性和積極性，還鍛煉了學生查閱資料解決問題的實踐能力.由于大學課程學時數(shù)的限制，課堂上無法過多講解實際應用案例，因而將部分案例通過網(wǎng)絡推送給學生，引導學生自主學習，培養(yǎng)學習興趣.

(ii) 自主學習法.該方法主要是根據(jù)授課進度，小組成員選擇每一章學習遇到的難點問題或一些疑惑，課下收集整理資料，最后由小組代表對已解決的問題或疑惑進行匯報，若同時有新問題產(chǎn)生，學生可以充分利用團隊力量討論并嘗試解惑.在這一過程中，學生也可以對概念的新認識或見解、線性代數(shù)常用的數(shù)學思想與方法總結匯報，教師最后點評.這種方式充分體現(xiàn)“以學生發(fā)展為中心”的理念.很多學生表示在探索問題、解決問題過程中容易產(chǎn)生成就感，更愿意對專業(yè)的前沿問題進行深入了解與思考.經(jīng)過一個學期的訓練，學生能夠形成初步的探究思維方式，學生的創(chuàng)新能力、應用能力、團隊合作能力和語言表達能力等得到了明顯提升，特別是學生的教學基本功有所提高，為后續(xù)參加頂崗實習支教活動奠定了堅實的基礎.

(iii) 信息技術與傳統(tǒng)教學相結合.教學中信息技術輔助課程教學，逐步形成了師生互動、適用于線性代數(shù)特點的“PPT+傳統(tǒng)板書+微助教”的課堂教學模式，彰顯了理論推導和實際應用相結合的教學方式.理論知識采用“PPT+傳統(tǒng)板書”，學生練習和測試用“微助教”平臺實現(xiàn).課堂師生互動，可以看到每一名同學的具體作答情況(如圖1所示)及整體包括最先提交答案的同學(如圖2所示)，這樣能夠針對性提問，吸引學生的關注，提升學生對知識的掌握度.微助教平臺發(fā)布課前課后作業(yè)，學生限時在線上提交作業(yè)，學生互評后，教師線上批改全部作業(yè)，關注每一名學生的知識掌握情況，方便及時采取措施，對于出錯較多的同學，會在下次課前單獨講解分析.此外，有錯誤的作業(yè)還需要將改錯繼續(xù)上傳教學群，確保學生真正掌握所學內容，便于學生相互觀摩學習，有效保障課堂效率.課外穿插實驗教學環(huán)節(jié)，促進理論與應用同步提升.課前和課后學生可以在“微助教”平臺上自主學習，實現(xiàn)預習與復習鞏固，在課外釘釘群及時回應學生疑問，針對性地解決學生的學習困惑，實現(xiàn)教師“教為中心”向“學生學為中心”的轉變.

圖1 手機答題展示 圖2 電腦答題整體展示

2.3 創(chuàng)新教學管理，加強學生“高責任”

針對“痛點”問題(iii)，結合過程性考核需求，利用信息技術，推進教學過程性管理，促進學習效果.利用微助教平臺，課前簽到；課堂上練習和測試，課后作業(yè)實現(xiàn)學生互評，同時磨練學生的責任感和使命感，教師通過平臺對作業(yè)進行管理(如圖3所示).學生觀看PPT課件(如圖4所示)，網(wǎng)絡資源學習瀏覽都有詳細記錄可以導出(包括每一名學生學習的時間，時長及次數(shù)等).這樣每一次的教學活動都可以從微助教平臺看到詳情，教師可以對學生的實際學習情況及時跟進，進而適當調整教學內容、進度和方法等，進一步提高課堂效率.這樣，信息技術的使用，不僅優(yōu)化了教師的教學管理工作，也為最終的過程性考核提供了有力的支撐和保障.

圖3 單次作業(yè)細節(jié)

圖4 瀏覽ppt簡單記錄

2.4 完善考核評價，養(yǎng)成學生“高自律”

按照“金課”建設標準，目前線性代數(shù)課程增加了過程性考核內容及所占的比重(30%)，過程性考核的內容仍在逐步完善，包括上課(出勤、課堂練習、問題回答等)、作業(yè)(10次的積分成績)、章節(jié)測試(4次)，其中上課表現(xiàn)、作業(yè)及章節(jié)測試在總成績中占比均為10%.這樣學生將學習與思考落實在平時，從而倒逼學生回歸基礎，注重點滴知識及個人素質的積累.隨著微助教功能的增加，將陸續(xù)增加學生在線學習情況考核，包括PPT課件查閱、網(wǎng)絡資源學習、同學疑問學生在線解答、互評作業(yè)次數(shù)、自主學習的主動匯報等，這樣過程性考核所占的比重也將提升為40%.

3 課程教學創(chuàng)新實踐效果

信息技術融入線性代數(shù)課程教學，極大地促進了學生自主學習意識，節(jié)省了教學時間，特別是解決了疫情期間大一新生開學遲，學時不足這一問題.經(jīng)過多年不斷的探索和創(chuàng)新改革，教學效果明顯改善，主要體現(xiàn)在：

(i) 學生的自主學習意識增強.學生課前課后主動應用平臺進行自主學習，主動查看PPT和網(wǎng)絡學習資源，同時教師發(fā)布信息和學生互動交流，拓寬學生學識視野(圖5)，還利用為知筆記進行交流，學生在后繼課程學習時充分利用了這些知識，如利用思維導圖做聽課筆記(圖6)，非常清晰條理，有助于學生更好的理解和掌握所學內容.

圖5 師生交流截圖

圖6 學生應用思維導圖記筆記

(ii)學生思考問題的意識得到增強，主要體現(xiàn)在提問題的人數(shù)不斷增加(如圖7)，也會提出解題新思路，并與教師進行交流討論.

圖7 平時學習問題互動交流

(iii)學生的考試成績發(fā)生了較為明顯的變化，成績得到明顯提升.下面結合計算機系近年最終的考核情況，說明線性代數(shù)課程教學創(chuàng)新改革后對教學效果的影響.

由表1和圖8可以看到，隨著課程教學創(chuàng)新不斷進行，優(yōu)生率和及格率大幅度提高，成績分布越來越接近正態(tài)分布，進一步說明教學改革創(chuàng)新對學生的影響明顯，對學生發(fā)展有促進作用.

表1 學生考試成績比較

圖8 學生考試各成績段對應人數(shù)比較圖

(iv) 學生“學以致用”的意識通過理論與編程相融合得到提升.基于編程思想學習線性代數(shù)，有助于學生后續(xù)程序課程的學習，也有利于學生在參與數(shù)學建模時見到成效.

4 結 論

我院的線性代數(shù)課程教學改革于2018年開始，通過總結之前教學中主要存在的3個“痛點”問題，結合理工科專業(yè)實例對教學內容進行重組，應用問題啟發(fā)式教學法，強化課堂教學過程性管理，改革考核評價機制，拓展學生視野，這些舉措極大地提升了學生的核心素養(yǎng)和綜合應用知識的能力.但是學生在學習平臺上參與課外網(wǎng)絡資源學習人數(shù)占比(如圖9所示)方面仍不夠理想，需要繼續(xù)探索更有效地促進學生自主學習的方法.

圖9 查看網(wǎng)絡資源記錄數(shù)據(jù)

總之，線性代數(shù)課程的改革創(chuàng)新仍在路上，領悟“課程思政”內涵，找準切入點和觸點，將“課程思政”有效地融入線性代數(shù)教學中，弘揚民族精神，創(chuàng)新人才培養(yǎng)，實現(xiàn)人才培養(yǎng)和教學質量的雙提升.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.