張 震，劉保國(guó)，周萬(wàn)春，劉時(shí)言

（1.鄭州工程技術(shù)學(xué)院機(jī)電與車輛工程學(xué)院，河南 鄭州 450000；2.河南工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的關(guān)鍵部件，它的運(yùn)行狀態(tài)直接影響旋轉(zhuǎn)機(jī)械的性能[1]。但是由于軸承的早期故障信號(hào)往往比較微弱，而且外界噪聲較大，干擾嚴(yán)重，因此常常被淹沒(méi)在干擾噪聲之中，難以識(shí)別。所以研究一種能夠抑制外界噪聲，較好提取軸承故障特征的檢測(cè)方法，不僅能夠提高旋轉(zhuǎn)機(jī)械使用壽命，更是保證其正常運(yùn)行的關(guān)鍵。

奇異值分解（singular value decomposition 簡(jiǎn)稱SVD）作為一種零相位，零時(shí)間偏移的信號(hào)處理方法，在故障特征提取領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2]。在使用SVD進(jìn)行信號(hào)的降噪處理時(shí)，最大的難點(diǎn)在于奇異值的有效秩次難以確定[3]。假如參與重構(gòu)信號(hào)的奇異值過(guò)多，就會(huì)使重構(gòu)信號(hào)混入一部分的噪聲，從而降低信號(hào)的信噪比，無(wú)法起到降噪的目的。而選擇過(guò)少，則會(huì)失去信號(hào)的有用成分，有時(shí)甚至?xí)斐尚盘?hào)波形的畸變。奇異值能夠達(dá)到消噪處理的原理，是使用Hankel矩陣構(gòu)造法構(gòu)造軌跡矩陣時(shí)，周期信號(hào)組成的矩陣相鄰兩行具有高度相關(guān)性，進(jìn)而產(chǎn)生奇異值的前幾項(xiàng)的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)后面所有項(xiàng)的現(xiàn)象，我們稱之為周期信號(hào)的奇異值集聚性。而噪聲信號(hào)組成的相鄰兩行是完全不相關(guān)的，因此噪聲信號(hào)的所有項(xiàng)的奇異值是近似的。所以當(dāng)采用奇異值前幾項(xiàng)進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，就會(huì)使在重構(gòu)信號(hào)中產(chǎn)生抑制噪聲的效果?；诖嗽?，眾多研究學(xué)者提出了確定奇異值有效秩次方法，均取得了一定的效果。其中，文獻(xiàn)[4]提出使用奇異值差分譜法，選取奇異值差分譜最大峰值處作為奇異值重構(gòu)的有效降噪階次，并將該方法應(yīng)用在車床主軸箱故障診斷中，取得了良好的效果。文獻(xiàn)[5]提出奇異熵增量法確定有效奇異值的秩次，降噪效果也比較好。文獻(xiàn)[6]提出了奇異值增量曲率法確定奇異值的有效秩次，對(duì)于微弱信號(hào)的檢測(cè)，其檢出概率明顯上升。文獻(xiàn)[7]提出了奇異值累積法以確定奇異值的有效秩次，所獲得的提取信號(hào)的信噪比大幅度提升。但是，我們必須清楚的認(rèn)識(shí)到，由于滾動(dòng)體和保持架相對(duì)隨機(jī)滑動(dòng)等現(xiàn)象無(wú)法避免[8]，因此故障激發(fā)的沖擊將從原來(lái)的相同時(shí)間間隔變?yōu)椴▌?dòng)間隔。所以滾動(dòng)軸承真實(shí)的故障信號(hào)是一種非平穩(wěn)的，非線性的信號(hào)[2]。而這種非平穩(wěn)，非線性將導(dǎo)致在進(jìn)行信號(hào)的奇異值分解時(shí)，故障特征的奇異值將不會(huì)集中在前幾項(xiàng)，而是向其他項(xiàng)分散。此時(shí)單單利用奇異值集聚性進(jìn)行降噪處理，將顯得力不從心。

基于上述分析，提出以歸一化奇異值占比（normalized singular value ratio 簡(jiǎn)稱NSR）為重構(gòu)準(zhǔn)則的奇異值分解法，此方法兼顧考慮周期分量奇異值積聚性和非線性，非平穩(wěn)信號(hào)向其他項(xiàng)分散的性質(zhì)的特性，能夠較好的處理滾動(dòng)軸承早期微弱故障的特征提取。當(dāng)使用歸一化奇異值占比的方法進(jìn)行重構(gòu)的信號(hào)，會(huì)引入較多的噪聲，為增大前面分量所占比重，并節(jié)約計(jì)算時(shí)間，這里提出適合奇異值分解的軟閾值函數(shù)（soft threshold function）作為其加權(quán)和截至條件，以提高重構(gòu)信號(hào)的信噪比。

最后為了更好的提取軸承信號(hào)中的沖擊特征，結(jié)合前人方法[10]，在重構(gòu)信號(hào)之后，以最大譜峭度為準(zhǔn)則選取濾波器合適的中心頻率以及帶寬進(jìn)行濾波，并使用包絡(luò)譜進(jìn)行分析，經(jīng)過(guò)仿真信號(hào)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，證明這里方法所提取的特征信號(hào)更加真實(shí)，取得了良好的效果。

2 算法簡(jiǎn)介

2.1 奇異值分解（SVD）

奇異值分解是指：對(duì)于一個(gè)矩陣A∈Rm×n，不管其行列是否相關(guān)，必定存在正交矩陣U＝［U1，U2…Un］∈Rm×n和V＝［V1，V2…Vn］∈Rm×n，使

式中：對(duì)角陣D＝diag［δ1，δ2…δ］l且有：δ1≥δ2≥…≥δl＞0，式（1）稱為A的奇異值分解，D的主對(duì)角元素為矩陣A的奇異值。設(shè)從轉(zhuǎn)子測(cè)得的原始信號(hào)x離散化后為x=［x1，x2，…，x］l，使用Hankel矩陣構(gòu)造軌跡矩陣，

式中：l=m+n-1，m≥n；經(jīng)過(guò)SVD處理后得到的奇異值是降序排列的，其中的奇異值與分量信號(hào)一一對(duì)應(yīng)，當(dāng)使用t項(xiàng)奇異值進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，即

由式（3）可知，原始信號(hào)A經(jīng)過(guò)奇異值分解以后，原始信號(hào)會(huì)分解為由奇異值δt與其相對(duì)應(yīng)的相互正交的向量ut與vtT相乘后，各項(xiàng)疊加的結(jié)果。

2.2 歸一化奇異值占比重構(gòu)法（NSR）

為了能夠充分利用SVD分解后各分量信息，避免在非線性，非平穩(wěn)條件下僅采用前幾項(xiàng)奇異值較大的分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，導(dǎo)致微弱故障特征被剔除或難以反映內(nèi)在規(guī)律的現(xiàn)象，提出了一種基于（normalized singular value ratio）NSR的奇異值分解重構(gòu)法進(jìn)行重構(gòu)，使更多的奇異值分量都參與信號(hào)重構(gòu)，兼顧了微弱故障的信息。計(jì)算步驟如下:

（1）設(shè)奇異值分解后有t個(gè)分量x=(x1，x2，…，xt)，其對(duì)應(yīng)的奇異值δ=［δ1，δ2，…δ］t

（2）計(jì)算各個(gè)分量對(duì)應(yīng)的FSR占整個(gè)模態(tài)的比重：

（3）計(jì)算各個(gè)分量的歸一化權(quán)重

此時(shí)采用歸一化奇異值占比法進(jìn)行重構(gòu)的信號(hào)為：

2.3 改進(jìn)的軟閾值截止法（soft threshold）

為了提高計(jì)算效率，提高提取信號(hào)的信噪比，必須設(shè)立閾值，將權(quán)重極小的一部分分量舍去。并且由前人分析得出，周期信號(hào)的奇異值會(huì)積聚在前面的分量中，因此為了增大前面奇異值的占比，結(jié)合軟硬閾值設(shè)計(jì)法[10]，提出適用于SVD的改進(jìn)的軟閾值截止法。其函數(shù)如下。

此時(shí)采用改進(jìn)的軟閾值進(jìn)行重構(gòu)的信號(hào)為：

2.4 譜峭度理論

譜峭度能夠?qū)π盘?hào)的局部沖擊特性由較好的描述[7]。

對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)A（t）的Wold—Cramer 分解頻域表達(dá)式（9）為：

式中：t—時(shí)間；H（t，f）—頻率f的復(fù)包絡(luò)。

令Y（t）的四階譜累積量為：

式中：S（f）—譜瞬時(shí)矩，表示包絡(luò)能量。

其2n階瞬時(shí)矩表達(dá)式為：

式中：n—正整數(shù)，當(dāng)n=1，2時(shí)，可以求出2階和4階的瞬時(shí)矩。因此聯(lián)立式可以求出Y（t）的譜峭度為：

使用譜峭度最大值所在頻率作為為共振解調(diào)技術(shù)帶通濾波器的最優(yōu)中心頻率和帶寬，能夠最大限度的提取信號(hào)的故障特征。

3 軟閾值SNSR-SVD故障特征提取流程

根據(jù)上面的理論分析，這里擬提出基于SNSR-SVD 的故障特征提取方法，首先將故障信號(hào)進(jìn)行奇異值分解，使用式（4）計(jì)算各奇異值的占比，并進(jìn)行歸一化處理，計(jì)算其歸一化占比值。隨后將計(jì)算的歸一化占比的各分量權(quán)重值引入式（7）得到基于軟閾值的奇異值占比的各分量信號(hào)的權(quán)重。并進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。將重構(gòu)后的信號(hào)計(jì)算最大譜峭度所在的頻率，并將重構(gòu)信號(hào)通過(guò)以此頻率作為共振解調(diào)最優(yōu)中心頻率和帶寬的帶通濾波器，最后對(duì)通過(guò)濾波器的信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析。其具體流程，如圖1所示。

圖1 方法流程圖Fig.1 Method Flowchart

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證這里方法對(duì)提取故障特征的有效性，利用局部故障滾動(dòng)軸承的隨機(jī)模型進(jìn)行驗(yàn)證。隨機(jī)模型可以表示為：

式中：Am—第m個(gè)故障沖擊的幅值；g—軸承的衰減系數(shù)也可稱為阻尼；T—軸承故障沖擊的周期；M—軸承沖擊激發(fā)的個(gè)數(shù)，τi—由相對(duì)滑動(dòng)引起的時(shí)間延遲，通常為周期T的（1～2）%。F—故障特征頻率。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation Parameters

為體現(xiàn)軸承的早期微弱故障，在添加信噪比為-16dB 的高斯白噪聲，此時(shí)仿真信號(hào)為x（t）=x1(t)+x2(t)，其時(shí)域頻域波形，如圖2 所示。

圖2 仿真信號(hào)時(shí)域和頻域圖Fig.2 Time-Domain and Frequency-Domain Graphs of Simulation Signals

由圖2所示，有效信號(hào)被大量噪聲信號(hào)淹沒(méi)，其時(shí)域波形，如圖2（a）和頻域波形如圖2（b）均無(wú)法分析出故障信號(hào)的特征。兩種對(duì)比方法的頻譜，采用奇異值差分譜和奇異熵增量曲率譜對(duì)信噪比較低的仿真信號(hào)進(jìn)行降噪處理的效果并不理想。無(wú)法辨別故障信號(hào)的頻率特征，信號(hào)特征發(fā)生了畸變，如圖4所示。當(dāng)采用這里方法對(duì)仿真信號(hào)降噪處理的譜峭度以及包絡(luò)譜，如圖5所示。

圖3 兩種比對(duì)方法的有效秩次Fig.3 Effective Rank of Two Comparison Methods

圖4 兩種對(duì)比方法的頻譜Fig.4 The spectrum of the Two Comparison Methods

圖5 SNSR-SVD方法信號(hào)譜峭度和頻譜Fig.5 Signal Kurtosis and Spectrum by SNSR-SVD Method

根據(jù)文獻(xiàn)[9]的方法進(jìn)行快速譜峭度分析，以確定最優(yōu)頻率和帶寬，快速譜峭度是一個(gè)彩色圖，其顏色代表不同頻率下的峭度的大小，顏色越明亮，譜峭度值越大。使用這里方法進(jìn)行最大譜峭度優(yōu)化時(shí)的峭度值為2.9，此時(shí)的頻域波形圖，如圖5（b）所示；有圖5（b）可以較為清楚的分析出仿真信號(hào)的倍頻成分，分析故障信號(hào)的故障特征。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證這里方法的有效性，選用美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)（Case Western Reserve University）軸承數(shù)據(jù)中心的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證[11]。信號(hào)取自實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)端的振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率為12000Hz。試驗(yàn)采用電火花加工技術(shù)在滾動(dòng)軸承上布置單點(diǎn)損傷。軸承的型號(hào)是6205-2RS JEM SKF，為深溝球軸承，軸承的滾動(dòng)體個(gè)數(shù)n=9，內(nèi)圈直徑為25mm，外圈直徑為52mm，厚度為15mm，滾動(dòng)體直徑為7.94mm，節(jié)徑為39.04mm。根據(jù)軸承故障特征頻率計(jì)算公式，計(jì)算當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速為1797r/min時(shí)，軸承的外圈，內(nèi)圈和滾動(dòng)體的特征頻率，如表2所示。

表2 軸承故障特征頻率Tab.2 Characteristic Frequency of Bearing Failure

5.1 軸承內(nèi)圈故障特征提取

用軸承內(nèi)圈數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)域和頻域分析，如圖6所示。

圖6 內(nèi)圈故障信號(hào)時(shí)域與頻域圖Fig.6 Time-Domain and Frequency-Domain Graphs of Inner-Ring Fault Signals

為進(jìn)一步對(duì)比這里方法，采用文獻(xiàn)[12]的方法進(jìn)行對(duì)比分析，分別得到的包絡(luò)譜，如圖7所示。

圖7 兩種方法包絡(luò)譜對(duì)比Fig.7 Comparison of Envelope Spectra Between Two Methods

由圖7可以看出，在圖7（a）中，故障信號(hào)的2倍頻和3倍頻處幅值基本相同，且雜波較多。在圖b中可以明顯看到倍頻的衰減現(xiàn)象，這表明更多的故障特征的細(xì)節(jié)信息得以呈現(xiàn)，且雜波的幅值也被抑制，證明了這里方法的有效性。

5.2 軸承外圈圈故障提取

用軸承外圈圈數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)域和頻域分析，如圖8所示。

圖8 外圈故障信號(hào)時(shí)域與頻域圖Fig.8 Time Domain and Frequency Domain Ddiagram ofOuter-Ring Fault Signal

采用文獻(xiàn)[12]的方法進(jìn)行對(duì)比分析，分別得到的包絡(luò)譜，如圖9所示。由圖9可以看出，在圖像圖9（a）上，外圈軸承信號(hào)雜波較多，在圖9（b）中雜波的幅值抑制非常明顯，證明了這里方法的有效性。

圖9 兩種方法包絡(luò)譜對(duì)比Fig.9 Comparison of Envelope Spectra Between Two Methods

6 結(jié)論

（1）對(duì)比證明了在高噪聲背景下的軸承故障信號(hào)非線性將導(dǎo)致軸承故障特征的SVD分解奇異值發(fā)生了向相近奇異值移動(dòng)的現(xiàn)象，此時(shí)僅采用前幾項(xiàng)分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，很容易丟失信號(hào)的特征，并導(dǎo)致信號(hào)發(fā)生畸變。

（2）仿真證明了采用軟閾值歸一化奇異值占比法作為奇異值有效階次選擇方法，能夠更多的引入軸承故障特征的細(xì)節(jié)信息，對(duì)于提取軸承的早期故障特征有效。

（3）實(shí)驗(yàn)證明了使用SNDR-SVD作為有效秩次選擇方法，使用最大譜峭度作為構(gòu)造濾波器帶寬和最優(yōu)頻率的優(yōu)化選擇法，能夠更好的識(shí)別沖擊信息，提取的故障特征更加真實(shí)有效。