賈婧瑜，沈云波，曹建鋒

(1.西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安710021；2.中國(guó)航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，株洲 412000)

齒輪傳動(dòng)作為常見(jiàn)的機(jī)械傳動(dòng)方式之一，隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，正朝著高速、重載、高精度的方向發(fā)展，這對(duì)其動(dòng)態(tài)性能也提出了更高的要求。人字齒輪不僅具有傳動(dòng)穩(wěn)定以及斜齒輪本身承載能力高的優(yōu)點(diǎn)，而且克服了斜齒輪軸向力對(duì)支承軸承的磨損，使其成為航空發(fā)動(dòng)機(jī)、船舶動(dòng)力等高速、重載、大功率傳動(dòng)的重要傳動(dòng)形式。然而人字齒輪兩側(cè)輪齒存在不可避免的非完全對(duì)稱，是引起人字齒輪產(chǎn)生偏載、軸向振動(dòng)、噪聲的主要根源，嚴(yán)重影響齒輪系統(tǒng)的壽命、可靠性等使用性能[1]。

由于引起齒輪振動(dòng)的因素很多，分析各因素對(duì)各種齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的影響，對(duì)了解系統(tǒng)振動(dòng)的來(lái)源具有重要意義。文獻(xiàn)[2-3]建立了簡(jiǎn)化的集中質(zhì)量模型，分別研究了直齒輪傳動(dòng)過(guò)程中動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差、傳動(dòng)誤差的高次諧波成分、齒輪傳動(dòng)中時(shí)變嚙合阻尼對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的影響。然而該集中質(zhì)量模型僅局限于直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為和振動(dòng)特性的分析。文獻(xiàn)[4]研究了由多個(gè)部件組成的齒輪系統(tǒng)振動(dòng)情況，并通過(guò)模態(tài)分析得到了齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)特性和齒輪的動(dòng)載荷系數(shù)。但該研究主要解決是的直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)分析，且沒(méi)有涉及軸向振動(dòng)的問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]研究了人字齒輪輪齒兩側(cè)載荷變化情況，通過(guò)求解嚙合線上的柔度來(lái)獲得人字齒輪副的嚙合剛度。但該研究主要針對(duì)輪齒對(duì)稱情況下的人字齒輪，沒(méi)有考慮對(duì)稱度偏差對(duì)嚙合剛度的影響。文獻(xiàn)[6]建立了可用于變速動(dòng)態(tài)分析過(guò)程的人字形行星齒輪動(dòng)態(tài)模型，得到了人字齒輪在忽略齒廓誤差情況下加速過(guò)程的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。但該研究尚未考慮人字齒輪兩側(cè)輪齒對(duì)稱度偏差對(duì)系統(tǒng)軸向振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[7]在理論和實(shí)驗(yàn)方面研究了在不同轉(zhuǎn)速和扭矩下人字齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。不過(guò)在理論和實(shí)驗(yàn)中未考慮對(duì)稱度偏差對(duì)軸向振動(dòng)的影響因素。文獻(xiàn)[8-10]分別采用ANSYS有限元軟件的接觸分析模塊，和螺旋錐齒輪的載荷接觸分析模型，對(duì)齒輪傳動(dòng)進(jìn)行靜態(tài)接觸分析，從而得到完整嚙合周期內(nèi)的時(shí)變嚙合剛度，為本文具有對(duì)稱度偏差的人字齒輪傳動(dòng)嚙合剛度的計(jì)算提供了方法。在人字齒輪動(dòng)力學(xué)研究方面，文獻(xiàn)[11-12]利用TCA和LTCA技術(shù)計(jì)算了人字齒輪的內(nèi)部激勵(lì)，建立了人字齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，在時(shí)域和頻域內(nèi)分析了系統(tǒng)沿不同方向的振動(dòng)情況。文獻(xiàn)[13-14]構(gòu)建了人字齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，考慮了時(shí)變嚙合剛度、綜合嚙合誤差等重要因素，對(duì)在使用過(guò)程中齒距累積誤差對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生的影響進(jìn)行了研究。但文獻(xiàn)并沒(méi)有考慮人字齒輪對(duì)稱度偏差對(duì)嚙合剛度和軸向振動(dòng)情況的影響。文獻(xiàn)[15]進(jìn)行了人字齒輪傳動(dòng)小輪軸向固定和軸向竄動(dòng)對(duì)齒面載荷分布的影響的研究，采用齒面承載接觸分析的方法，根據(jù)齒面偏載情況，提出了通過(guò)人字齒輪復(fù)合修形設(shè)計(jì)獲得左右齒面載荷均勻分布方法，并確定了最佳修形量。然而該文獻(xiàn)中人字齒輪對(duì)稱度偏差與偏載量的關(guān)系，缺乏系統(tǒng)的描述。文獻(xiàn)[16]研究了人字齒輪減速器傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立，分析計(jì)算了時(shí)變嚙合剛度和傳遞誤差的變化情況，得到了時(shí)域和頻域內(nèi)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，但該研究沒(méi)有考慮對(duì)稱度偏差對(duì)人字齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響。文獻(xiàn)[17]研究了高轉(zhuǎn)速下人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)沿軸向的振動(dòng)特性，分析了螺旋角誤差、時(shí)變嚙合剛度和綜合齒形誤差激勵(lì)下系統(tǒng)的軸向振動(dòng)情況。但文獻(xiàn)仍未考慮對(duì)稱度偏差對(duì)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)的影響情況。

文中旨在提出并建立考慮對(duì)稱度偏差的人字齒輪系統(tǒng)多自由度動(dòng)力學(xué)分析模型，研究對(duì)稱度偏差對(duì)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)軸向振動(dòng)的影響，并驗(yàn)證了理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化規(guī)律的一致性。

1 人字齒輪對(duì)稱度偏差

人字齒輪是由兩個(gè)螺旋角相等、方向相反的斜齒輪構(gòu)成。如果要求兩側(cè)輪齒的同側(cè)齒面圍繞中心平面對(duì)稱，那么齒輪左右的同一位置的輪齒上的螺旋特征也圍繞中心平面對(duì)稱。

圖1給出了人字齒輪沿齒輪分度圓柱面展開時(shí)對(duì)稱度偏差的定義。即人字齒輪左右兩側(cè)斜齒輪同一側(cè)齒面上的理論螺旋線的交點(diǎn)O應(yīng)位于中心平面上。但由于齒輪加工和制造誤差，實(shí)際兩側(cè)齒面的螺旋線在分度圓柱展開平面上的交點(diǎn)偏離到中心平面的H點(diǎn)，那么實(shí)際交點(diǎn)H與中心平面之間的距離就定義為人字齒輪的對(duì)稱度偏差fA。

圖1 對(duì)稱度偏差的定義Fig.1 Definition of symmetry deviation

根據(jù)對(duì)稱度偏差的定義，并考慮齒輪齒距測(cè)量的方法，構(gòu)建了螺旋線法[18]人字齒輪兩側(cè)輪齒對(duì)稱度偏差測(cè)量模型，建立的對(duì)稱度偏差測(cè)量坐標(biāo)系如圖2所示。

圖2 齒輪測(cè)量坐標(biāo)系

在圖3所示的數(shù)控CNC齒輪測(cè)量中心對(duì)人字齒輪的對(duì)稱度偏差進(jìn)行了測(cè)量，所測(cè)量的齒輪參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 試驗(yàn)所用人字齒對(duì)的基本參數(shù)

圖3 人字齒輪對(duì)稱度偏差測(cè)量Fig.3 Measurement of symmetry deviation of herringbone gears

小輪的對(duì)稱度偏差測(cè)量結(jié)果如圖4所示，其中橫坐標(biāo)為齒的序號(hào)，縱坐標(biāo)為相鄰齒的對(duì)稱度偏差?？梢钥闯?，15號(hào)齒和16號(hào)齒間的對(duì)稱度偏差較為明顯。

圖4 小齒輪相鄰齒對(duì)稱度偏差的測(cè)量結(jié)果Fig.4 Measurement results of full tooth helix of pinion

對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，采用統(tǒng)計(jì)分析的方法獲得了小輪的對(duì)稱度偏差為fa1=0.025 mm。利用同樣的測(cè)量原理和方法，測(cè)量出大輪的對(duì)稱度偏差為fa2=0.048 mm。

2 人字齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

2.1 十二自由度動(dòng)力學(xué)分析模型

人字齒輪中兩對(duì)斜齒輪的結(jié)構(gòu)和材料屬性是相同的，但由于對(duì)稱度偏差對(duì)齒輪嚙合的影響，左右兩組斜齒輪副的嚙合剛度有所不同。將齒輪輪轂和軸視為一個(gè)整體，忽略輪轂和軸的連接形式，將人字齒輪退刀槽部分看作剛體，左右兩側(cè)斜齒輪視為剛性連接，對(duì)稱度偏差造成的嚙合剛度變化會(huì)使得原本人字齒輪兩側(cè)對(duì)稱分布的軸向力發(fā)生變化，從而引發(fā)軸向竄動(dòng)。建立考慮對(duì)稱度偏差的人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型，如圖5所示。

圖5 彎-扭-軸耦合人字齒輪振動(dòng)模型

根據(jù)牛頓第二力學(xué)定律，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以由圖5中得到：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：yi,zi,θi(i=1，2，3，4)分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪中心點(diǎn)O1,O2,O3和O4在z方向和y方向的平移量和角位移量；m1,m2,m3,m4,I1,I2,I3,I4分別為人字齒輪左側(cè)和右側(cè)斜齒輪的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；β1為人字齒輪的螺旋角；Fy1,Fy2為人字齒輪左右兩側(cè)斜齒輪副的切向嚙合力；Fz1,Fz2為人字齒輪左右兩側(cè)斜齒輪副的軸向嚙合力；Rb1,Rb2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的基圓半徑；cy1,cy2,cy3,cy4,ky1,ky2,ky3,ky4為每個(gè)滾動(dòng)軸承在徑向的支撐阻尼和支撐剛度；cz2,cz4,kz2,kz4為從動(dòng)輪在軸向的支撐阻尼和支撐剛度；cz13,cz24,kz13,kz24為左側(cè)和右側(cè)斜齒輪中間退刀槽部分在軸向的拉、壓阻尼和剛度；Fs1(t),Fs2(t)為人字齒輪左側(cè)和右側(cè)斜齒輪副的嚙入沖擊激勵(lì)；T1和T3分別為小齒輪兩側(cè)主動(dòng)輪的輸入扭矩。

其中，由于嚙入沖擊時(shí)間很短，因此通常將嚙合沖擊力曲線簡(jiǎn)化成鋸齒波函數(shù)來(lái)處理。從圖6所示的嚙入沖擊力曲線可以看出對(duì)稱度偏差對(duì)人字齒輪輪齒兩側(cè)的嚙合沖擊影響較小。

圖6 嚙入沖擊力曲線圖

通過(guò)龍格-庫(kù)塔法求解可得到人字齒輪主從動(dòng)輪在軸向和徑向的振動(dòng)位移和振動(dòng)速度，以及扭轉(zhuǎn)變形量和齒輪在軸承處的支承力變化情況。

2.2 有限元法求解齒輪嚙合剛度

使用Abaqus對(duì)人字齒輪嚙合剛度進(jìn)行仿真時(shí)，由于考慮到輪轂和軸等支承結(jié)構(gòu)增加模型的計(jì)算量影響計(jì)算精度，為了獲得準(zhǔn)確的嚙合剛度，需要簡(jiǎn)化人字齒輪系統(tǒng)模型。對(duì)人字齒輪三維簡(jiǎn)化模型進(jìn)行相關(guān)的網(wǎng)格劃分，因齒輪輪齒和輪轂的網(wǎng)格密度不同，剖分后分別劃分網(wǎng)格。齒輪輪齒先剖分出一個(gè)齒，生成端面的面網(wǎng)格，同時(shí)采用軟件的實(shí)體映射劃分功能對(duì)單個(gè)斜齒的體網(wǎng)格進(jìn)行生成(如圖7所示)，進(jìn)而得到整個(gè)斜齒輪的體網(wǎng)格。因所研究人字齒輪考慮到對(duì)稱度偏差的影響，在實(shí)際模型中可以看作兩側(cè)輪齒并非完全對(duì)稱，而是一側(cè)斜齒輪相對(duì)另一側(cè)含有微小的圓心角偏移。則最后需要對(duì)斜齒輪網(wǎng)格進(jìn)行復(fù)制和旋轉(zhuǎn)命令，使其成為目標(biāo)網(wǎng)格，即生成含有對(duì)稱度偏差的人字齒輪體網(wǎng)格，如圖8所示。

圖7 單個(gè)斜齒的網(wǎng)格劃分Fig.7 Meshing of a single helical tooth

仿真使用的齒輪模型參數(shù)與之前所測(cè)齒輪參數(shù)一致。仿真時(shí)約束了除兩齒輪繞軸旋轉(zhuǎn)的自由度外所有自由度，在小齒輪上施加一個(gè)較低的準(zhǔn)靜態(tài)速度，在大輪上施加一個(gè)額定的負(fù)載扭矩，進(jìn)行齒輪嚙合傳動(dòng)的準(zhǔn)靜態(tài)仿真。圖9為齒輪嚙合模擬中某時(shí)間的嚙合狀態(tài)。由Abaqus得到的嚙合剛度曲線(圖10)可以看出，由于對(duì)稱度偏差存在，人字齒輪兩側(cè)斜齒輪副嚙合剛度曲線存在偏差，右側(cè)斜齒輪副的嚙合剛度略小于左側(cè)齒輪副的嚙合剛度。

圖9 齒輪嚙合模擬中某時(shí)間的嚙合狀態(tài)Fig.9 Meshing state at one point in the simulation of gear mesh

圖10 人字齒輪左右側(cè)的嚙合剛度Fig.10 Meshing stiffness of the left and right sides of the gear

2.3 人字齒輪系統(tǒng)軸向振動(dòng)特性仿真

根據(jù)測(cè)得的對(duì)稱度偏差，可得知人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中主動(dòng)輪中左旋相對(duì)右旋偏差0.025 mm，從動(dòng)輪中左旋相對(duì)右旋偏差0.048 mm。進(jìn)一步求得主動(dòng)輪兩側(cè)輪齒圓心角偏移量為54″，從動(dòng)輪兩側(cè)輪齒圓心角偏移量為35″，人字齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表2。人字齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)情況可以根據(jù)給出的動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算，得到人字齒輪的軸向振動(dòng)速度如圖11所示。

圖11 對(duì)稱度偏差為0.025 mm時(shí)的軸向振動(dòng)速度

表2 人字齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和分析

3.1 封閉功率流人字齒輪試驗(yàn)臺(tái)

與傳統(tǒng)的開放功率流試驗(yàn)臺(tái)相比，本次實(shí)驗(yàn)中使用的封閉式功率流試驗(yàn)臺(tái)更加節(jié)能。封閉式功率流意味著能量傳輸?shù)穆肪€在整個(gè)測(cè)試臺(tái)中形成一個(gè)閉環(huán)。變頻逆變系統(tǒng)使加載設(shè)備消耗的部分能量轉(zhuǎn)化為電能，然后再傳輸回驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到加載和節(jié)能的效果。振動(dòng)速度傳感器型號(hào)為CYT9200，測(cè)量范圍0～50 mm·s-1，系統(tǒng)采樣頻率2 000 Hz。

試驗(yàn)臺(tái)的布局如圖12所示。在測(cè)試和測(cè)量過(guò)程中，傳感器分別在輸入軸的軸向90°，180°和270°三個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行測(cè)試。

圖12 人字齒輪試驗(yàn)臺(tái)布局

3.2 測(cè)試結(jié)果的驗(yàn)證分析

人字齒輪在不同速度和扭矩下的振動(dòng)速度是由試驗(yàn)臺(tái)測(cè)量的。以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以小齒輪右側(cè)沿Z方向的振動(dòng)速度為縱坐標(biāo)，得到三個(gè)測(cè)量點(diǎn)的振動(dòng)速度對(duì)比圖。

圖13所示為人字齒輪在轉(zhuǎn)速為8 00 r·min-1、1 200 r·min-1，1 500 r·min-1時(shí)分別沿軸向的振動(dòng)速度?？梢钥闯?，當(dāng)測(cè)量點(diǎn)和扭矩保持不變的條件下，轉(zhuǎn)速的增加導(dǎo)致了振動(dòng)速度的增加；同樣在1 500 r·min-1時(shí)，明顯看出相對(duì)比其他兩種情況下齒輪的軸向振動(dòng)速度波動(dòng)更大。

圖13 恒定扭矩下不同轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)速度比較Fig.13 Comparison of the vibration speeds at different revolutions per minute with constant torque

圖14所示為轉(zhuǎn)速為1 000 r·min-1時(shí)不同扭矩情況下齒輪沿軸向的振動(dòng)速度對(duì)比圖?？梢钥闯?，在測(cè)量點(diǎn)和轉(zhuǎn)速不變的條件下，扭矩的增加導(dǎo)致振動(dòng)速度增加；同時(shí)當(dāng)扭矩較大時(shí)，齒輪在軸向的振動(dòng)速度波動(dòng)較大。

圖14 恒定轉(zhuǎn)速不同扭矩下的振動(dòng)速度Fig.14 Comparison of vibration speed at 1 000 rpm with different torques

圖15所示為齒輪在800 r·min-1，1 200 r·min-1，1 500 r·min-1時(shí)齒輪沿軸向的振動(dòng)速度對(duì)比圖。得到在轉(zhuǎn)速和扭矩不變的條件下，測(cè)量點(diǎn)移動(dòng)振動(dòng)速度的變化規(guī)律。當(dāng)轉(zhuǎn)速為800 r·min-1和1 200 r·min-1時(shí)，三個(gè)測(cè)量點(diǎn)的振動(dòng)速度變化幅度不大，但當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到1 500 r·min-1時(shí)，明顯看到隨著測(cè)量點(diǎn)位置的變化，振動(dòng)速度逐漸變快，表現(xiàn)出對(duì)稱度偏差對(duì)齒輪軸向振動(dòng)的影響。

圖15 不同扭矩下的振動(dòng)速度比較

為了進(jìn)一步評(píng)估模型的準(zhǔn)確性，對(duì)人字齒輪在1 000 r·min-1時(shí)測(cè)量結(jié)果和理論結(jié)果進(jìn)行直接比較。從圖16中可以看出，響應(yīng)曲線的整體形狀都吻合得很好，盡管可以看到有小數(shù)量的誤差，但模型和實(shí)驗(yàn)之間的合理一致性仍然相當(dāng)明顯。

圖16 人字齒輪測(cè)量和理論仿真的響應(yīng)曲線的比較

4 結(jié) 論

1) 建立了考慮人字齒輪兩側(cè)輪齒對(duì)稱度偏差的傳動(dòng)系統(tǒng)12自由度彎-扭-軸動(dòng)力學(xué)分析模型，并采用有限元法精確求解了考慮對(duì)稱度偏差影響的兩側(cè)輪齒嚙合的時(shí)變嚙合剛度，結(jié)果表明了對(duì)稱度偏差明顯減少了齒輪副的綜合嚙合剛度。

2) 采用齒輪齒距測(cè)量法獲得了小輪的對(duì)稱度偏差為0.025 mm，大輪的對(duì)稱度偏差為0.048 mm；運(yùn)用龍格-庫(kù)塔法求解了動(dòng)力學(xué)方程，獲得了不同工況下傳動(dòng)系統(tǒng)軸向振動(dòng)速度；搭建了封閉功率流人字齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)，在實(shí)際扭矩和速度范圍內(nèi)對(duì)人字齒輪進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果表明扭矩和轉(zhuǎn)速的增大會(huì)造成振動(dòng)速度的增加；理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果直接比較表明小輪軸向振動(dòng)速度變化趨勢(shì)具有高度的一致性。

3) 文中獲得的理論分析結(jié)果僅考慮了不同工況下的齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，因而與齒輪箱表面實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)比誤差較大?？紤]齒輪箱的動(dòng)態(tài)特性，建立齒輪系統(tǒng)和箱體的耦合動(dòng)力學(xué)分析模型并探究齒輪箱體耦合振動(dòng)情況，是進(jìn)一步研究的方向。