賈菊芳，李婷婷，徐新生

（大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系和工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

0 引言

圓柱殼結(jié)構(gòu)作為一種經(jīng)典的輕質(zhì)結(jié)構(gòu)一直被廣泛應(yīng)用于航空、航天、機(jī)械、建筑等領(lǐng)域.由于其工作環(huán)境的復(fù)雜性，不可避免受到外界激勵(lì)力的作用產(chǎn)生共振、失穩(wěn)等現(xiàn)象.因此對此類構(gòu)件的動力特性和動力響應(yīng)進(jìn)行理論分析有十分重要的意義.針對圓柱殼振動問題的研究十分豐富，LEISSA A W[1]的論著中分析了圓柱殼在各種殼體理論下的振動問題.LOY C T[2]等和ZHANG X M[3]等分別用廣義微分求積法和波傳播法得到了圓柱殼自由振動的解.王宇[4]等針對固支-自由約束條件下的圓柱殼，基于Love 殼體理論研究了其受徑向諧波激勵(lì)或徑向沖擊激勵(lì)時(shí)的受迫振動響應(yīng)特性.李榆銀[5]等在辛對偶體系下采用波傳播分析法研究了薄壁圓柱殼在簡諧外力作用下的振動響應(yīng).楊永寶[6]等基于Donnell-Mushtari 柱殼理論，給出了薄壁圓柱殼自由振動頻率的精確解，并進(jìn)一步研究了徑向集中簡諧激勵(lì)力作用于該圓柱殼某一點(diǎn)時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).龐福振[7]等利用一種半解析法，基于Reissner-Naghdi 薄殼理論，對柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行受迫振動特性分析，分別研究了其受軸向和徑向單位點(diǎn)載荷時(shí)的動力響應(yīng).圓柱殼動力控制方程階數(shù)較高，常用的求解方法多為半逆解法，該方法需假設(shè)滿足給定邊界條件的試函數(shù)，高度依賴具體問題，解缺乏一般性.因此，亟待發(fā)展一種適用于不同邊界下圓柱殼振動問題的直接求解法.

基于經(jīng)典Reissner 薄殼理論，在哈密頓體系下表述彈性圓柱殼自由及受迫振動基本問題.在得到圓柱殼自由振動頻率及對應(yīng)模態(tài)振型后，利用模態(tài)疊加法和辛共軛正交關(guān)系得到受迫振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算公式，分析了圓柱殼在非軸對稱集中點(diǎn)力及軸對稱分布力的簡諧激勵(lì)下的位移幅值，討論了阻尼系數(shù)等因素對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響.

1 基本問題

考慮簡諧外載荷向量feiωt（i 為虛數(shù)單位）作用下的各向同性彈性圓柱殼，見圖1.殼體長為l，中面半徑為R，壁厚為h.引入阻尼損耗因子η，彈性模量為E=E(1+ηi)，泊松比為μ，密度為ρ，抗拉剛度K=Eh/(1 -υ2)，抗彎剛度D=Eh3/12(1 -υ2).取柱坐標(biāo)系(x,θ,r)，ueiωt,veiωt,weiωt分別對應(yīng)中面任意一點(diǎn)的軸向、周向和徑向位移響應(yīng).

圖1 圓柱殼坐標(biāo)系示意Fig.1 geometry and coordinate for a cylindrical shell

對拉格朗日函數(shù)變分，可得拉格朗日體系下的動力控制方程.

2 哈密頓方程及求解

其中，H為哈密頓算子矩陣，

式中，

3 自由振動問題

首先采用分離變量法討論式（3）的齊次正則方程組，即圓柱殼的自由振動問題.

可知解的形式[8-9]可以表示為

這樣，可得如下形式的本征解（以n≠0 為例）.n=0時(shí)類似，

可見只有8個(gè)獨(dú)立的待定常數(shù)，這些待定常數(shù)由邊界條件確定.這里將辛本征值分為兩類：Im(λn) ＞ 0的記為α類， -λn記為記為β類.相對應(yīng)的本征解記為

當(dāng)n=0 （零本征值）時(shí)，對應(yīng)的本征解也可分為2類，α類原變量與對偶變量為

考慮經(jīng)典邊界條件：簡支、固支和自由邊界.邊界條件用原變量和對偶變量表示為

（1）軟簡支邊界條件（記為SD）

（2）硬簡支邊界條件（記為SS）

（3）固支邊界條件（記為C）

（4）自由邊界條件（記為F）

將本征解代入端部邊界條件，可得圓柱殼自由振動問題待定系數(shù)的齊次代數(shù)方程組，記為

4 受迫振動問題

這里考慮圓柱殼受迫振動問題的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).針對非齊次方程組(3)，其特解Ψp可由齊次方程的解疊加而成，即

式中，n為周向波數(shù)；m為軸向半波數(shù).

將特解代入式（3），有

即將H中的Ω換成相應(yīng)的Ωmn（系統(tǒng)固有頻率）.故有

注意此處的H為受迫振動問題中的哈密頓算子矩陣，其中的無量綱頻率為激勵(lì)力頻率.由式（16）可得，

式中，

定義辛內(nèi)積[10]，

對式（17）則有

將其展開，可以得到

如果定義

式（19）可表示為

當(dāng)n=j≠0 時(shí)，有

此時(shí)，式（20）為

展開為

由于振型的正交性，有

即只有當(dāng)n=j,m=k時(shí)，不為0，故有

由此可得系數(shù)表達(dá)式

當(dāng)n=j=0 時(shí)，有

同理可得系數(shù)表達(dá)式為

將所得系數(shù)代入式（14）即得受迫振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng).

5 對比分析

5.1 固有頻率與文獻(xiàn)結(jié)果對比

為驗(yàn)證辛方法對于自由振動問題的可靠性和準(zhǔn)確性，與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對比.圓柱殼模型幾何參數(shù)為：h/R=0.01，L/R=20，泊松比μ=0.3，m=1.表1 為本文辛方法與文獻(xiàn)[3]中波傳播方法計(jì)算的各種邊界條件 下 的 前 10 階 無 量 綱 頻 率 參 數(shù)對比.為了簡化表達(dá)，用組合字母表示殼體邊界條件，例如C-SD 表示在X=0 處為固支邊界條件，在X=L處為軟簡支，其他情況類似.

表1 圓柱殼頻率參數(shù)對比Tab.1 comparison of the frequency parameters for cylindrical shell

從表1 對比結(jié)果可以看出，辛分析方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果十分吻合，說明本文方法可以準(zhǔn)確、有效地處理各種邊界條件下的自由振動問題.

5.2 幅頻響應(yīng)曲線與有限元對比

為驗(yàn)證辛方法對于受迫振動問題穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解的可靠性和準(zhǔn)確性，與有限元結(jié)果進(jìn)行對比.選取兩端固支圓柱殼，在位置為(θ0,X0)=(0,L/2)的點(diǎn)A處施加 徑 向 簡 諧 集 中 力 ，為力幅值.求解點(diǎn)B(0,L/4)的徑向位移，繪制幅頻響應(yīng)曲線.圓柱殼幾何參數(shù)為：L=10 m，R=1 m，h=0.01 m，彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3，阻尼損耗因子η=0.05，力的幅值.掃頻范圍0～300 Hz，步長0.5 Hz.圖2 為本文方法與有限元軟件ANSYS 計(jì)算的點(diǎn)B徑向位移幅值隨外激勵(lì)頻率的變化曲線.表2 為圖2 曲線最大峰值處對應(yīng)的外激勵(lì)頻率和最大位移幅值. 通過對比可知，本文方法計(jì)算結(jié)果和有限元結(jié)果十分吻合，說明辛方法在處理受迫振動問題時(shí)仍然準(zhǔn)確有效.由圖2 可見，波峰值最大處對應(yīng)的頻率為26.5 Hz（基頻大約為26.552 Hz），這也是實(shí)際工程中總是關(guān)注結(jié)構(gòu)基頻的原因.阻尼的存在和激勵(lì)頻率步長的選擇導(dǎo)致該值和基頻有一些出入.從式（25）和式（26）可以看出，如果不考慮阻尼，在外激勵(lì)頻率達(dá)到固有頻率時(shí)，響應(yīng)峰值將無限大.

圖2 點(diǎn)B 位移響應(yīng)Fig.2 displacement response of Point B

表2 最大峰值處對應(yīng)頻率與位移幅值Tab.2 frequency and displacement amplitude corresponding to the maximum peak value

6 不同類型激勵(lì)力下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

6.1 非軸對稱集中力

仍考慮上述受迫振動分析中的圓柱殼.圖3 給出了在點(diǎn)A施加徑向單位集中力時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B處的幅頻響應(yīng)曲線.

圖3 受點(diǎn)A 徑向載荷圓柱殼位移響應(yīng)Fig.3 displacement response of cylindrical shell under radial load at point A

圖4為在點(diǎn)B施加徑向單位載荷時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B的頻響曲線.可以看出，在點(diǎn)A施力時(shí)點(diǎn)B的響應(yīng)和在點(diǎn)B施力時(shí)點(diǎn)A的響應(yīng)曲線是幾乎一致的.而在施力點(diǎn)處的位移響應(yīng)在高頻處趨于平緩，不再有明顯峰值.

圖4 受點(diǎn)B 徑向載荷圓柱殼位移響應(yīng)Fig.4 dsplacement response of cylindrical shell under radial load at point B

6.2 阻尼損耗因子的影響

選取不同阻尼系數(shù)的的圓柱殼，考慮其受點(diǎn)A徑向單位載荷時(shí)點(diǎn)B的徑向位移響應(yīng)，結(jié)果見圖5.可見，阻尼損耗因子增大時(shí)，結(jié)構(gòu)的共振峰對應(yīng)頻率幾乎不變，而共振峰處的位移幅值明顯降低，并且在較高頻段，幅頻曲線相對平滑，峰值不再明顯.

圖5 不同阻尼因子下圓柱殼位移響應(yīng)Fig.5 displacement responses of cylindrical shell for different damping factors

6.3 軸對稱均布力

考慮上述圓柱殼整個(gè)殼體所受徑向均布載荷時(shí)圓柱殼點(diǎn)B的位移響應(yīng)..從式（25）、式（27）可以看到，在整個(gè)環(huán)向積分時(shí)，只有當(dāng)j為0 時(shí)該積分不為0，即式（25）所有系數(shù)均為0.也就是說，軸對稱形式的力只能激發(fā)軸對稱振型，即n為0 所對應(yīng)振型，故在軸對稱形式的力作用下，只需考慮軸對稱模態(tài)的疊加.

圖6為點(diǎn)B的軸向位移和徑向位移，可以看到，共振頻率相對較高，共振峰也相對較少.這是因?yàn)榇藥缀纬叽绲膱A柱殼軸對稱模態(tài)對應(yīng)的固有頻率相對較高；由于只激發(fā)出軸對稱模態(tài)，故共振峰較少.

圖6 圓柱殼位移響應(yīng)Fig.6 displacement response of cylindrical shell

7 結(jié)論

基于Reissner 殼理論，建立哈密頓體系，利用辛方法研究了圓柱殼受迫振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，主要結(jié)論如下.

（1）辛方法與文獻(xiàn)、有限元結(jié)果十分吻合，驗(yàn)證本方法對于圓柱殼自由振動和受迫振動問題的處理是準(zhǔn)確、有效的.

（2）基于數(shù)值結(jié)果知，阻尼損耗因子對共振峰值影響較大，對共振點(diǎn)的頻率影響較小，當(dāng)阻尼因子比較大時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線高頻部分對應(yīng)峰值不再明顯.

（3）非軸對稱簡諧激勵(lì)力可以激發(fā)軸對稱及非軸對稱振型，而軸對稱簡諧激勵(lì)力只能激發(fā)軸對稱振型.