楊浩方 陳操

【摘要】本文基于對幾何直觀概念的認識，論述利用幾何直觀開展數(shù)學教學的體會：借助幾何直觀，理解數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學模型；借助幾何直觀，溝通算理，形成知識結(jié)構(gòu)；借助幾何直觀，把握問題本質(zhì)，促進問題解決；借助幾何直觀，化難為易，突破學習障礙；借助幾何直觀，明晰方法，拓寬解題思路。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 概念 幾何圖形 表現(xiàn)形式

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）28-0067-04

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出：幾何直觀有助于把握問題本質(zhì)，明晰解題路徑。因此，教師要進一步加強對幾何直觀的認識，將幾何直觀運用于小學數(shù)學課堂教學，以提升數(shù)學教學質(zhì)量，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、基于幾何直觀概念的認識

由于幾何直觀內(nèi)涵豐富并與一些相關(guān)聯(lián)概念之間存在緊密聯(lián)系，因而許多教師對幾何直觀概念的內(nèi)涵比較模糊。教師只有真正明白什么是幾何直觀、幾何直觀有哪些本質(zhì)特征，才能將幾何直觀有效運用于數(shù)學教學中。

（一）幾何直觀概念的解讀

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將原先的“空間與圖形”領(lǐng)域改為“圖形與幾何”領(lǐng)域，首次將幾何直觀列入十大數(shù)學核心素養(yǎng)之一。幾何直觀來源于“圖形與幾何”領(lǐng)域，但它也適用于“數(shù)與代數(shù)”等領(lǐng)域，所以這個圖形不單單局限于幾何圖形的范圍，它可以是表格、圖形、線段、方框、統(tǒng)計圖等。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對幾何直觀做了明確解釋：“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣……幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑?！毙抡n標指出了幾何直觀的內(nèi)涵及教育價值。幾何直觀是教師開展教學的一種有效手段，也是學生學習數(shù)學的有效方法。著名數(shù)學家徐利治說：“幾何直觀是借助與見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知?！睅缀沃庇^將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，化抽象為具體，以此幫助學生直觀地理解數(shù)學。

（二）幾何直觀的表現(xiàn)形式

若想進一步明白什么是幾何直觀，教師還應知道幾何直觀在小學數(shù)學中有哪幾種表現(xiàn)形式?？追舱芎褪穼幹薪淌趯缀沃庇^分為：實物直觀、替代物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀。實物直觀是指實物層面的幾何直觀，它是運用生活中的具體實物作為研究對象而進行學習的一種思維方式。如教學人教版數(shù)學一年級上冊“認識鐘表”一課，教師可以讓學生用家里的鐘表作為學具，讓學生通過觀察鐘面認識時針和分針，通過撥一撥時針認識幾時。又如，教學“數(shù)的認識”時，教師可以利用小棒、計數(shù)器等具體實物幫助學生認識數(shù)的組成及意義。

替代物直觀是指在替代物層面的直觀，它是運用替代物替代原有實物作為研究對象的一種思維方式。運用替代物直觀可以簡化原有的研究對象，更便于操作和研究。例如，教學人教版數(shù)學三年級上冊“倍的認識”例1時，教師可以讓學生用白色、紅色、黃色、藍色的小圓片學具替代白蘿卜、紅蘿卜、小白兔和小灰兔。這樣，既便于學生操作，又能使學生形象地感知數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

簡約符號直觀是指簡約符號層面的幾何直觀，從三維立體空間轉(zhuǎn)向了二維平面圖形，是對實物和替代物的進一步的抽象。例如，教學人教版數(shù)學三年級上冊“倍的認識”例2時，教師可以讓學生用人物簡筆畫或圓型、三角形、五角星等簡約符號代替擦桌椅的人數(shù)和掃地的人數(shù)，使學生能形象直觀地看出把掃地的4人看作1倍，擦桌椅的人數(shù)包含4個掃地的人數(shù)。簡約符號直觀能讓學生直觀、清楚地理解研究對象之間的關(guān)系，從具體思維逐漸過渡到抽象思維。

圖形直觀是指幾何圖形層面上的直觀，它是運用點、線、面、體“圖形與幾何”領(lǐng)域里的圖形進行描述和分析問題的一種思維方式。例如，教學人教版數(shù)學五年級上冊“植樹問題”的內(nèi)容時，教師可以引導學生通過畫線段圖的方式，理解“兩端都種”“只種一端”“兩端都不種”以及封閉圖形的種法，明晰棵數(shù)與間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學模型。

（三）幾何直觀與相關(guān)概念的辨析

為了開展有效教學，在認識“幾何直觀”內(nèi)涵的同時，教師還要明白幾何直觀與直觀幾何、空間觀念、數(shù)形結(jié)合等相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別。

1.幾何直觀與直觀幾何

雖然“幾何直觀”與“直觀幾何”都是建立在對圖形直觀感知的基礎(chǔ)上，學生都是在經(jīng)歷學習活動中積累活動經(jīng)驗、發(fā)展幾何直覺，但“直觀幾何”是指通過對圖形進行觀察，根據(jù)直觀認識來研究圖形的性質(zhì)和相關(guān)問題的一種幾何學習方式或手段；通過觀察比較或動手操作獲得對圖形的認識，并發(fā)展空間觀念。例如，在教學平行四邊形的面積時，教師引導學生運用觀察、操作等手段將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，并得出平行四邊形的面積推導公式，這種幾何學習的方法就是直觀幾何。因此，“直觀幾何”與“幾何直觀”是兩個不同的概念?！爸庇^幾何”是一種幾何學習的方法，“幾何直觀”是解決數(shù)學問題的一種思維方式、意識和習慣。

2.幾何直觀與空間觀念

雖然幾何直觀與空間觀念都跟圖形有關(guān)，但空間觀念是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認識。幾何直觀，是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。由此可知，空間觀念有比較明顯的目標特征，體現(xiàn)更多的是教學結(jié)果；而幾何直觀過程性特征更加突出，體現(xiàn)的是一種思維方式和能力，是學生的有效學習方法和教師的有效教學手段。另外，“空間觀念”屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，是幾何教學的一個重要專有名詞；而“幾何直觀”除了借助“幾何”，還跳出了“幾何”領(lǐng)域，運用到了更廣闊的領(lǐng)域。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將“空間觀念”修改為“空間觀念”和“幾何直觀”，雖然將“幾何直觀”從原先的“空間觀念”剝離出來，但兩者之間存在緊密聯(lián)系。例如，我們?nèi)绻逦硐?、發(fā)展空間觀念，就需要用到觀察、想象、分析等直觀手段；運用圖形描述和分析問題的幾何直觀，也離不開空間觀念的觀察與想象?？梢?，“空間觀念”和“幾何直觀”兩者相輔相成，相互促進與發(fā)展。

3.幾何直觀與數(shù)形結(jié)合

在現(xiàn)實教學中會存在一個誤區(qū)，大多數(shù)教師以為“數(shù)形結(jié)合”就是“幾何直觀”。其實，兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別。幾何直觀可以通過數(shù)形結(jié)合建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型。數(shù)形結(jié)合有兩種形式：一種是“以數(shù)解形”，另一種是“以形助數(shù)”。為此，浙江省特級教師顧志能做了一個很形象的比喻：數(shù)形結(jié)合好比公路的雙向車道，它可以從“數(shù)”出發(fā)到“形”，又可以從“形”出發(fā)到“數(shù)”；而幾何直觀就只是從“形”出發(fā)到“數(shù)”的單向車道。

二、基于幾何直觀教學的實踐

明白了幾何直觀概念的深刻內(nèi)涵，教師就可以將它有效運用于小學數(shù)學教學。幾何直觀作為一種教學手段，可以使復雜的問題變得簡明形象，有助于學生理解數(shù)量關(guān)系、溝通算理、化難為易、明晰解題思路等。

（一）借助幾何直觀，理解數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學模型

小學生的思維處在具體形象思維向抽象思維過渡的階段，而數(shù)學模型比較抽象，學生建構(gòu)數(shù)學模型需要經(jīng)歷一個過程。為了幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型，教師可以借助幾何直觀，讓學生通過畫圖、操作等手段，將數(shù)量關(guān)系具體化、直觀化，使學生在形象感知中直觀理解數(shù)量關(guān)系，有效完成數(shù)學模型的建構(gòu)。

例如，教師在課堂上出示這樣的題目：在一條20米長的筆直道路一旁種樹，每隔5米種一棵可以種幾棵？學生馬上列出了算式：20÷5=4（棵）。這時教師追問：20÷5=4，表示什么意思？是怎么種的呢？還有不同的種法嗎？接著，引導學生用畫圖的方法試著再次解答。學生通過畫圖得到了不同的答案（如圖1所示）。

學生發(fā)現(xiàn)在筆直道路一旁種樹有三種情況：兩端都種、只種一端、兩端都不種。教師再次引導學生探究，通過觀察線段圖發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)和棵數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：兩端都種，棵數(shù)=間隔數(shù)+1；一端種，棵數(shù)=間隔數(shù)；兩端都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。學生通過畫圖，運用數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)現(xiàn)了植樹問題的數(shù)量關(guān)系，并在頭腦中建立了數(shù)學模型。

（二）借助幾何直觀，溝通算理，形成知識結(jié)構(gòu)

為了實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標，教師要整體把握教學內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)。以教學“數(shù)與運算”為例，在學生理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)意義的同時，教師可借助圖形，使學生在觀察、感知中理解整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的計算原理。基于計數(shù)單位表達的一致性，學生可以將整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的計算原理統(tǒng)一成求幾個這樣的計數(shù)單位的積（如圖2所示）。

教師借助幾何直觀教學法，有效幫助學生理解了知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，溝通了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)計算原理之間的聯(lián)系，使學生將所學的數(shù)學知識形成結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容。

（三）借助幾何直觀，把握本質(zhì)，促進問題解決

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出了幾何直觀的教學價值：“幾何直觀有助于把握問題本質(zhì)，明晰思維的路徑。”基于此，教師可利用幾何直觀教學法，讓學生通過畫圖、操作等手段發(fā)現(xiàn)題目中隱含的數(shù)學信息，抓住數(shù)學問題的本質(zhì)，找到解題路徑，促進問題解決。

例如，教學“公因數(shù)和最大公因數(shù)”一課時，教師出示題目：有一間長16分米、寬12分米的儲藏室要鋪地磚，為了能整齊美觀，你認為鋪邊長幾分米地磚比較合適？（地磚的邊長為整分米）對此，教師引導學生用畫圖的方法解決問題。（如圖3所示）

學生經(jīng)過動手畫一畫，發(fā)現(xiàn)正方形地磚的邊長可以是1dm、2dm、4dm。學生經(jīng)過觀察又發(fā)現(xiàn)：地磚的邊長越短，需要地磚的塊數(shù)就越多；地磚的邊長越長，需要地磚的塊數(shù)就越少。學生還發(fā)現(xiàn)求地磚的邊長就是求12和16的公因數(shù)。通過進一步觀察圖形，學生發(fā)現(xiàn)選擇邊長為4分米的方磚鋪地最合適。學生運用圖形工具，把抽象的數(shù)學語言轉(zhuǎn)化為直觀、形象的圖形語言，厘清了解題思路，明晰了所求問題的本質(zhì)，有效地解決了問題。

（四）借助幾何直觀，化難為易，突破學習難點

學生在學習過程中難免會遇到一些條件隱蔽、關(guān)系錯綜復雜的題目，在解決問題的過程中也時常會卡在某個點上。這時，教師可引導學生通過幾何直觀，利用圖像分析化難為易，將抽象的數(shù)學問題形象化、直觀化，突破學習難點。

例如，教學人教版數(shù)學四年級下冊“平均數(shù)”時，教師出了一道題：在某次期末考試中，明明的語文、科學、英語平均成績是92分，數(shù)學的考試成績比四門課平均成績高6分，明明的數(shù)學成績是多少？在解答過程中，學生遇到了一個難點：四門課的平均分不知道，該如何解決問題呢？在教師的引導下，師生共同畫了一個條形統(tǒng)計圖（如圖4所示）。借助形象直觀的圖像，學生發(fā)現(xiàn)兩塊圖形的陰影部分的面積是相等的，于是馬上攻克了學習難點，求出了四門課的平均成績是6÷3=2，92+2=94，這樣數(shù)學成績就迎刃而解，即94+6=100。可見，借助圖像，學生能更直觀地理解平均數(shù)的意義，再利用條形統(tǒng)計圖移多補少的方法，順利突破了學習難點。

（五）借助幾何直觀，明晰方法，拓寬解題思路

幾何圖形的直觀性，為學生探究數(shù)學問題提供了強有力的支撐，可有效拓寬學生的解題思路。

例如，教學人教版數(shù)學五年級下冊“長方體和正方體的表面積”的內(nèi)容時，教師出示了這樣一道題：有一個長、寬、高分別是10cm、4cm、5cm的長方體盒子（如圖5所示），要在這個長方體盒子的四周貼上標簽（接頭處不計），標簽的面積是多少？學生根據(jù)原有公式很快得出了算式：（10×5+4×5）×2，10×5×2+4×5×2。對此，教師可以引導學生將長方體展開（如圖6所示）。學生通過動手操作和觀察，發(fā)現(xiàn)：長方體的側(cè)面積=底面周長×高，于是列出了新的算式（10+4）×2×5。借助直觀圖形，學生打開了思路，從多角度分析和思考數(shù)學問題，最終得出了不同的解題方法。

三、基于幾何直觀教學的反思

（一）幾何直觀教學要尊重學生的已有經(jīng)驗

學生在生活或?qū)W習中積累的經(jīng)驗是發(fā)展幾何直觀能力的基礎(chǔ)，幾何直觀教學要建立在學生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，圖形的選擇要與學生已有經(jīng)驗相匹配，教師要尊重不同學生的選圖經(jīng)驗。例如，小學低年級學生喜歡用擺小棒、擺卡片等實物圖來認識數(shù)、比較數(shù)的大小并進行數(shù)的加減運算；到了中年級，學生就會選擇一些簡單的符號表示數(shù)量關(guān)系；隨著圖形經(jīng)驗的豐富，到了高年級，學生會用線段圖、統(tǒng)計圖表等來表示數(shù)量關(guān)系。教師要在尊重學生已有選圖經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，引導學生選擇最有利于問題解決的圖形，以此達到有效解決問題的目的。

（二）幾何直觀教學要關(guān)注學生的語言表達

幾何直觀教學的本質(zhì)是借助圖表將抽象的數(shù)學語言形象化，幫助學生分析、理解、掌握抽象的數(shù)學知識。因此，在幾何直觀教學中教師要關(guān)注學生觀察圖形的能力、分析問題的能力、用語言表達的能力，使學生經(jīng)歷從圖形的觀察到數(shù)學語言表達的學習過程。通過語言表達，學生學會了溝通數(shù)與形之間的聯(lián)系，把握了問題本質(zhì)，促進了問題的解決。

（三）幾何直觀教學要重視學生的作圖訓練

圖形是培養(yǎng)學生幾何直觀能力的重要載體。培養(yǎng)學生的作圖意識，讓學生掌握一定的作圖技能，有利于發(fā)展學生的數(shù)學思維，幫助學生有效解決問題。經(jīng)調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)小學生的作圖能力比較弱，有些學生不擅長用圖來表示信息和問題，有的學生畫的圖是殘缺的，有的學生甚至把圖形畫錯了。例如，教學人教版數(shù)學二年級上冊“一班得了12面小紅旗，二班比一班多得了3面，二班得了多少面？”的例題時，學生在畫圖過程中出現(xiàn)了種種錯誤現(xiàn)象，導致無法找到數(shù)量之間的關(guān)系。對此，教師要對學生加強作圖指導，可根據(jù)學生的畫圖情況，分三個層次進行反饋：第一個層次反饋象形圖，第二個層次反饋直條圖，第三個層次反饋線段圖。當然，培養(yǎng)學生的作圖能力不能一蹴而就，需要教師持之以恒，常抓不懈。一旦學生掌握了作圖技能，分析和解決問題的能力就會大大提高。

總之，幾何直觀教學適用于數(shù)學的每一個領(lǐng)域。教師合理運用幾何直觀開展數(shù)學教學，能有效提升數(shù)學教學質(zhì)量。

參考文獻

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作者簡介：楊浩方（1983— ），浙江杭州人，本科，一級教師，研究方向為優(yōu)化教學方法提升教學質(zhì)量的課堂實踐研究；陳操（1974— ），浙江磐安人，本科，一級教師，研究方向為小學數(shù)學高效課堂教學。

（責編 黎雪娟）