楊新文，劉姝彤，胡耀華

（1.同濟(jì)大學(xué)上海市軌道交通結(jié)構(gòu)耐久與系統(tǒng)安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；2.同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804）

現(xiàn)代有軌電車(chē)是指一種電力驅(qū)動(dòng)的“城市軌道交通”系統(tǒng)，其輪軌導(dǎo)向、輪軌導(dǎo)向、車(chē)輛編組運(yùn)行在專用行車(chē)道上，是一種中運(yùn)量城市軌道交通系統(tǒng)。其優(yōu)點(diǎn)在于環(huán)境污染小，占地面積小，工程投資成本是地鐵建設(shè)投資的1/5 到1/4?，F(xiàn)代有軌電車(chē)車(chē)輛大多采用低地板設(shè)計(jì)，地板距軌面最低為35 cm，不設(shè)置站臺(tái)，同時(shí)最大運(yùn)量相比公交車(chē)提高5 至7倍［1］。獨(dú)立輪對(duì)轉(zhuǎn)向架是實(shí)現(xiàn)有軌電車(chē)低地板的關(guān)鍵，但是，獨(dú)立輪對(duì)轉(zhuǎn)向架同樣也面臨較為嚴(yán)峻的運(yùn)營(yíng)維護(hù)問(wèn)題［2］：①由于受到軌道幾何不平順及實(shí)際運(yùn)行時(shí)輪軌接觸等的影響，獨(dú)立輪對(duì)在線路運(yùn)行過(guò)程中出現(xiàn)橫向位移就難以自動(dòng)對(duì)中，曲線運(yùn)行時(shí)獨(dú)立車(chē)輪的輪緣磨耗要比傳統(tǒng)剛性輪對(duì)大得多。這樣會(huì)造成輪軌橫向力大，橫向位移較大，在曲線上運(yùn)行時(shí)輪緣貼靠鋼軌而不斷產(chǎn)生磨耗。因此，獨(dú)立車(chē)輪的側(cè)磨較大，甚至容易發(fā)生脫軌；②獨(dú)立輪對(duì)和槽型軌之間由于側(cè)磨，輪緣磨薄，鋼軌軌距減小，導(dǎo)致游間變大，從而車(chē)輛晃車(chē)問(wèn)題比較嚴(yán)重，導(dǎo)致乘客舒適性和列車(chē)運(yùn)行安全性下降。③線路超高和軌底坡設(shè)計(jì)欠合理，有軌電車(chē)線路小半徑曲線較多，疊加獨(dú)立輪對(duì)結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致輪軌接觸型面不匹配產(chǎn)生嚴(yán)重的輪軌接觸問(wèn)題。因此，研究現(xiàn)代有軌電車(chē)輪軌型面匹配對(duì)提高現(xiàn)代有軌電車(chē)運(yùn)行安全性與平穩(wěn)性有非常重要的意義。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)高速鐵路、重載鐵路和現(xiàn)代有軌電車(chē)等輪軌匹配和型面優(yōu)化設(shè)計(jì)做了大量工作，其中，車(chē)輪型面優(yōu)化較鋼軌型面優(yōu)化更加全面，完善程度更高［3-5］。張劍［6-7］等通過(guò)研究，調(diào)整鋼軌型面擴(kuò)展系數(shù)，選取軌頭位置的適當(dāng)區(qū)域進(jìn)行擴(kuò)展，將擴(kuò)展后的鋼軌型面與初始型面進(jìn)行拼接，從而減少了輪軌接觸法向間隙，增大接觸面積，減小接觸應(yīng)力，提高輪軌共形度。Wu等［8］參考倫敦地鐵運(yùn)營(yíng)狀況，參考現(xiàn)有的鋼軌軌頭形狀設(shè)計(jì)車(chē)輪廓形，用擴(kuò)展法得到了輪緣接觸性能較好、輪軌接觸點(diǎn)分布較均勻的輪軌匹配關(guān)系，以及車(chē)輪踏面和鋼軌軌頭接觸時(shí)較低的等效錐度。崔大賓等［9-10］改進(jìn)了傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，充分考慮軌下結(jié)構(gòu)對(duì)車(chē)輛的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，建立基于輪軌接觸法向間隙的車(chē)輪踏面優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，以輪軌間隙隨橫移量變化所圍成的面積作為目標(biāo)函數(shù)，并利用改進(jìn)的序列二次規(guī)劃法對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值求解。Shevtsov 等［11-12］提出基于輪對(duì)滾動(dòng)圓半徑差曲線（RRD）的車(chē)輪廓形優(yōu)化方法，選取優(yōu)化區(qū)域14 個(gè)離散點(diǎn)坐標(biāo)作為自變量，建立自變量與滾動(dòng)半徑差之間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，以RRD函數(shù)為目標(biāo)從而建立優(yōu)化模型，利用表面響應(yīng)擬合的多點(diǎn)近似法（MARS）數(shù)值求解獲得優(yōu)化型面。并利用多體動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS/Rail 進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證優(yōu)化型面的性能。陳思亦［13］提出一種考慮設(shè)計(jì)周期內(nèi)內(nèi)外側(cè)鋼軌總體磨耗情況的重載鐵路鋼軌型面優(yōu)化方法，該方法將鋼軌優(yōu)化區(qū)域離散點(diǎn)用β樣條曲線連接，基于高斯徑向基函數(shù)法對(duì)響應(yīng)值和自變量之間建立數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，然后利用遺傳算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到最終的優(yōu)化型面。

上述在輪軌磨耗與型面優(yōu)化設(shè)計(jì)方面做了大量工作，然而關(guān)于使用槽型軌的低地板有軌電車(chē)輪軌型面匹配的研究卻十分有限。本文采用改進(jìn)的徑向基函數(shù)響應(yīng)面法和序列二次規(guī)劃法（SQP）對(duì)槽型鋼軌的接觸型面進(jìn)行了優(yōu)化，并結(jié)合車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了評(píng)價(jià)分析，研究結(jié)果可為現(xiàn)代有軌電車(chē)鋼軌選型與維護(hù)提供理論依據(jù)。

1 槽型鋼軌型面優(yōu)化模型

1.1 槽型鋼軌型面優(yōu)化計(jì)算思路

現(xiàn)代有軌電車(chē)槽型鋼軌型面優(yōu)化模型的計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 鋼軌型面優(yōu)化流程圖Fig.1 Flow chart of profile optimal design of groove-shaped rail

首先根據(jù)鋼軌標(biāo)準(zhǔn)初始型面利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得到不同鋼軌設(shè)計(jì)型面，其次通過(guò)車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型對(duì)上述不同鋼軌型面進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算和基于Archard材料磨耗模型計(jì)算鋼軌磨耗量（計(jì)算過(guò)程如圖2所示），然后基于徑向基函數(shù)響應(yīng)面法對(duì)型面優(yōu)化區(qū)域樣本點(diǎn)縱坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)磨耗精確響應(yīng)值進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，最后利用序列二次規(guī)劃法對(duì)模型求解，得到鋼軌優(yōu)化型面。

圖2 槽型軌磨耗預(yù)測(cè)流程圖［14］Fig.2 Flow chart of wear prediction of grooveshaped rail

1.2 有軌電車(chē)車(chē)輛車(chē)-軌耦合動(dòng)力學(xué)模型

本文采用多體動(dòng)力學(xué)軟件Universal Mechanism（UM）建立70%低地板的有軌電車(chē)車(chē)輛與軌道系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)模型［14］，車(chē)輛模型采用“動(dòng)車(chē)+拖車(chē)+動(dòng)車(chē)”編組形式的三個(gè)模塊組成，如圖3所示，拖車(chē)采用獨(dú)立輪對(duì)，動(dòng)車(chē)采用非獨(dú)立輪對(duì)，模型基本參數(shù)如表1所示。

表1 模型基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the model

圖3 采用獨(dú)立旋轉(zhuǎn)車(chē)輪的有軌電車(chē)車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型Fig 3 Dynamical model of modern tram with independent rotating wheels

本文選用60R2 鋼軌，與工字型鋼軌相比，60R2鋼軌軌頂踏面帶有一個(gè)U 型槽，可保護(hù)車(chē)輪不發(fā)生脫軌。選用與槽型軌型面相匹配的現(xiàn)代有軌電車(chē)車(chē)輛車(chē)輪踏面進(jìn)行輪軌接觸和磨耗計(jì)算，圖4 為鋼軌橫截面示意圖。

圖4 60R2槽型軌橫截面示意圖（單位：mm）Fig.4 Schematic diagram of section of grooveshaped rail(unit:mm)

1.3 鋼軌型面優(yōu)化模型建立

鋼軌磨耗與其型面之間存在著高度非線性關(guān)系，優(yōu)化鋼軌廓形需要找到兩者之間一種顯式的關(guān)系和模型，而響應(yīng)面方法是函數(shù)逼近的有效工具之一，對(duì)于求解這類高度非線性關(guān)系的問(wèn)題有著很重要的作用。采用響應(yīng)面法對(duì)鋼軌型面進(jìn)行優(yōu)化。

如果存在一組實(shí)值函數(shù)φi(x)(i=1，…，m)和一組實(shí)參數(shù)λi(i=1，…，m)將實(shí)空間R中的任意點(diǎn)F表示為其線性組合［15］。

則稱φi(x)(i=1，…，m)為基函數(shù)，設(shè)m個(gè)不重合插值樣本點(diǎn)的模式集合為1，…，m}，分別代入式（1）可得：

式（2）用矩陣可表示為

其中：

式中：Φ為插值矩陣。

顯然，當(dāng)矩陣Φ接近奇異時(shí)，式（3）的解會(huì)變得不穩(wěn)定。因此，對(duì)于基函數(shù)的基本要求是能使式（3）中的插值矩陣Φ非奇異。Micchelli［16］給出證明：對(duì)于試驗(yàn)樣本中不重合的插值樣本點(diǎn)集{x(s)∈Ek|s=1，…，m}[x(i)≠x(j)(i≠j)]， 如 果φi(x(i))=則式（3）中的插值矩陣Φ一定非奇異。根據(jù)文獻(xiàn)［17］中提出的最佳一致逼近理論中哈爾條件的等價(jià)定義，說(shuō)明了徑向基函數(shù)是未知函數(shù)唯一的最佳一致逼近形式。

對(duì)任意插值樣本點(diǎn)x(j)，可以表示為其中‖ · ‖是Euclidean 范數(shù)。對(duì)于試驗(yàn)設(shè)計(jì)所得點(diǎn)集{x(j)∈En|j=1，2，…，m}，徑向基函數(shù)模型如式（5）所示［14］：

式中：m為插值樣本點(diǎn)數(shù)；x(j)為第j個(gè)插值樣本點(diǎn)向量；λj(j=1，2，…，m）為待定系數(shù)為徑向基函數(shù)；‖x-x(j)‖為插值函數(shù)上任一點(diǎn)到第j個(gè)插值樣本點(diǎn)的距離，對(duì)n維（從優(yōu)化角度為n個(gè)設(shè)計(jì)變量）空間，如（6）式所示：

為便于表達(dá)，令：

若有m個(gè)插值樣本點(diǎn)，在任一插值樣本點(diǎn)x(i)的精確響應(yīng)值為F(i)，即：

展開(kāi)并形成方程組：

解 方 程 組 即 可 求 得 待 定 系 數(shù)λj（j=1，2，…，m）。

以上所述的徑向基函數(shù)形式可以用來(lái)近似高度非線性的問(wèn)題，本文為了進(jìn)一步提高其精確范圍，在原式的基礎(chǔ)上加入多項(xiàng)式項(xiàng)，即為改進(jìn)的增廣徑向基函數(shù)表達(dá)式。

對(duì) 于k維 空 間，多 項(xiàng) 式 項(xiàng) 為1，x1，…，的取值視選取的多項(xiàng)式而定，如下所示。

分別將m個(gè)插值樣本點(diǎn)和樣本值代入，再加上如下i個(gè)正交方程即可求得式中的待定系數(shù)。如（12）式所示：

寫(xiě)成矩陣的形式可表示為

其中：

Fang［18］對(duì)不同形式的徑向基函數(shù)進(jìn)行了研究，認(rèn)為高斯徑向基函數(shù)近似度較高，通過(guò)大量數(shù)值算例驗(yàn)證總結(jié)出常數(shù)bi取值的經(jīng)驗(yàn)公式：

式中：r0為設(shè)計(jì)空間內(nèi)相距最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的距離。

2 結(jié)果分析

2.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證1.3 節(jié)模型的正確性，將本文槽型軌型面預(yù)測(cè)模型計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［19］中槽型軌計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，車(chē)速為15 km.h-1，線路參數(shù)為曲線半徑50米，超高60 mm，其他參數(shù)如圖5所示。在相同工況時(shí)槽型軌曲中點(diǎn)處QZ的磨耗量對(duì)比如圖6所示，圖中X=0為軌腰中軸線，坐標(biāo)X為鋼軌橫斷面水平方向，坐標(biāo)Z為鋼軌橫斷面垂直方向。

圖5 曲線軌道參數(shù)Fig.5 Parameters of curve track

圖5中，ZH、HY、QZ、YH、HZ分別為直緩點(diǎn)、緩圓點(diǎn)、曲中點(diǎn)、圓緩點(diǎn)、緩直點(diǎn)；A點(diǎn)為前緩和曲線中點(diǎn)；B點(diǎn)為曲線中點(diǎn)；C點(diǎn)為后緩和曲線中點(diǎn)；V為車(chē)速；R為曲線軌道半徑；h為曲線超高。

采用與文獻(xiàn)［19］較為接近的參數(shù)與工況進(jìn)行計(jì)算分析，由圖6可知，本文計(jì)算的鋼軌外軌最大磨耗量為1.7 mm，位于Y=30 mm 位置附近，與文獻(xiàn)［19］鋼軌磨耗的最大值和峰值位置基本相當(dāng)，而在軌頂面計(jì)算結(jié)果略有差異，考慮到本文鋼軌型面優(yōu)化的目的也是為了降低鋼軌側(cè)磨，選擇Y=30 mm附近的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比有一定的針對(duì)性，本文模型可用于后續(xù)槽型軌磨耗預(yù)測(cè)分析。

圖6 圓曲線外側(cè)槽型軌磨耗量對(duì)比Fig.6 Comparison of wear amount of grooveshaped rail outside circular curve

2.2 鋼軌型面優(yōu)化分析

針對(duì)70%低地板有軌電車(chē)通過(guò)曲線時(shí)側(cè)磨較為嚴(yán)重的問(wèn)題展開(kāi)鋼軌型面優(yōu)化，假設(shè)車(chē)輪踏面外形固定。鋼軌型面優(yōu)化區(qū)域如圖7所示，其中，A、B為固定點(diǎn)：A 點(diǎn)為軌頭中心，B 點(diǎn)為軌距測(cè)量點(diǎn)，與A點(diǎn)垂向距離為16 mm。AB點(diǎn)中間的點(diǎn)為可動(dòng)點(diǎn)，共選取10個(gè)，可動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為自變量，記為x1，x2，x3，…，x10，每個(gè)可動(dòng)點(diǎn)的浮動(dòng)下限為初始型面以下2 mm處，如圖8所示。

圖7 型面區(qū)域優(yōu)化示意圖Fig.7 Schematic diagram of profile area optimization

圖8 型面優(yōu)化設(shè)計(jì)空間Fig.8 Optimization design space of profile

利用D-Optimal 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法［15］抽取優(yōu)化點(diǎn)的縱坐標(biāo)組合，加上初始標(biāo)準(zhǔn)型面，共得到72 組鋼軌型面樣本點(diǎn)，并用β樣條曲線進(jìn)行擬合，用于不同鋼軌型面磨耗仿真分析。本文仿真時(shí)根據(jù)實(shí)際線路條件，選取半徑及速度兩個(gè)因素，分析得到不同的鋼軌優(yōu)化型面。不同半徑工況各參數(shù)設(shè)計(jì)如表2所示。

表2 不同曲線半徑工況設(shè)計(jì)Tab.2 Design cases of different curve radius

對(duì)上述72 個(gè)不同型面在3 個(gè)循環(huán)周期內(nèi)，即迭代30 次，進(jìn)行仿真，得到72 組不同的結(jié)果。目標(biāo)變量選擇優(yōu)化區(qū)域中左右軌發(fā)生磨耗總和和最大磨耗速率，約束條件為踏面為嚴(yán)格凸曲線和坐標(biāo)上下邊界，最終得到的鋼軌型面優(yōu)化設(shè)計(jì)為多約束多目標(biāo)非線性規(guī)劃問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為

首先利用序列二次規(guī)劃法，結(jié)合多目標(biāo)規(guī)劃原理，對(duì)式（16）進(jìn)行求解，得到優(yōu)化結(jié)果。然后將優(yōu)化后各點(diǎn)縱坐標(biāo)用β樣條曲線平滑處理得到鋼軌優(yōu)化型面，如圖9、10所示。

圖9 優(yōu)化前后型面對(duì)比Fig.9 Comparison of profile before and after optimization

得到優(yōu)化型面后，對(duì)其在循環(huán)周期內(nèi)的磨耗進(jìn)行仿真計(jì)算，與初始型面對(duì)比如圖11所示。

由圖11 可知，設(shè)計(jì)周期內(nèi)，當(dāng)有軌電車(chē)車(chē)輛在槽型軌優(yōu)化型面運(yùn)行時(shí)，鋼軌最大磨耗量從0.434 mm下降至0.386 mm，優(yōu)化效果11.1%，另外，對(duì)比鋼軌的通過(guò)總重可知，發(fā)現(xiàn)鋼軌優(yōu)化型面后通過(guò)總重由13.48 Mt 提高至16.89 Mt，優(yōu)化效果為25.3%，充分說(shuō)明針對(duì)小半徑曲線不同曲線半徑工況提出的鋼軌優(yōu)化型面可以有效地降低鋼軌的磨耗量并且提高鋼軌使用壽命。

圖10 局部放大圖Fig.10 Local amplification

圖11 設(shè)計(jì)周期內(nèi)型面磨耗對(duì)比Fig.11 Comparison of profile wear in design cycle

對(duì)優(yōu)化后型面進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，統(tǒng)計(jì)了獨(dú)立輪對(duì)在仿真過(guò)程中接觸面積和最大接觸應(yīng)力平均值，如表3所示。

由表3可知，將優(yōu)化型面與初始型面對(duì)比，所有車(chē)輪的接觸面積有所增大，最大接觸應(yīng)力有所降低，提升效果顯著。獨(dú)立輪對(duì)外側(cè)優(yōu)化效果分別為25.73%和14.39%，獨(dú)立輪對(duì)內(nèi)側(cè)優(yōu)化效果分別為30.87%和22.76%。綜合分析可知，鋼軌優(yōu)化型面相比初始型面優(yōu)化效果在15%～31%，可以有效減輕鋼軌磨耗尤其側(cè)磨、增大輪軌接觸面積和減小輪軌接觸應(yīng)力，從而提高鋼軌壽命，對(duì)于保護(hù)鋼軌和車(chē)輪，提高列車(chē)運(yùn)行安全性和穩(wěn)定性十分重要。

表3 輪軌接觸參數(shù)對(duì)比Tab.3 Comparison of parameters of wheel-rail contact

3 結(jié)論

建立了現(xiàn)代有軌電車(chē)槽型鋼軌磨耗預(yù)測(cè)模型，基于增廣高斯型徑向基函數(shù)鋼軌優(yōu)化模型，并利用序列二次規(guī)劃法和多目標(biāo)優(yōu)化原理求解，計(jì)算分析了鋼軌的磨耗特征和優(yōu)化型面效果，并對(duì)輪軌接觸參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，主要結(jié)論如下：

（1）對(duì)于外側(cè)鋼軌，發(fā)生磨耗的主要位置在軌距角Y=30 mm 部分，在踏面位置Y=5 mm 部分也存在少量磨耗對(duì)于內(nèi)側(cè)鋼軌，發(fā)生磨耗的主要位置在軌頂Y=5 mm部分和護(hù)軌Y=67 mm部分。

（2）鋼軌優(yōu)化型面相比初始型面優(yōu)化效果在15%～30%，可以有效減輕鋼軌磨耗尤其側(cè)磨、增大輪軌接觸面積和減小輪軌接觸應(yīng)力，從而提高鋼軌壽命，對(duì)于保護(hù)鋼軌和車(chē)輪，提高列車(chē)運(yùn)行安全性和穩(wěn)定性十分重要。