李欣,梁載濤,李勝軍

(1.安徽理工大學數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院,安徽淮南 232001;2.海南大學理學院,海南?？?570228)

1.引言

近些年, 徑向對稱系統(tǒng)的周期解及動力學行為引起了一些專家學者們的關注, 此類系統(tǒng)在天體力學、物理學、電磁學等應用學科中都有著廣泛而又重要的應用, 因此, 研究其動力學行為具有現(xiàn)實意義.例如, 意大利的Fonda教授及其合作者應用拓撲度理論系統(tǒng)深入地研究了如下徑向對稱系統(tǒng)

周期解的存在性, 其中f ∈C(R×R+→R)關于第一個變量是周期函數(shù)且關于第二個變量在零點是奇異的.[6?11]其基本思想是通過極坐標變換, 將系統(tǒng)(1.1)轉化為與之等價的含角動量的二階奇異微分方程, 其結果深刻地揭示了周期解與角動量之間的緊密關系和漸進行為.值得注意的是, 此類系統(tǒng)和已有文獻中所研究的奇異微分系統(tǒng)有著本質(zhì)的不同, 因為該系統(tǒng)所隱含的角動量在其中扮演著重要作用.近幾年, 國內(nèi)儲繼峰教授等在文[2]中將研究二階奇異微分方程周期解存在性的非線性二擇一定理推廣到徑向對稱系統(tǒng)(1.1), 以及劉期懷教授等在文[16]中通過對Poincar′e映射的定性分析, 探討了一類具有排斥型奇異的徑向對稱系統(tǒng)周期解和擬周期解的存在性.此外, 關于徑向對稱系統(tǒng)(1.1)周期解穩(wěn)定性的研究, 請參考文[3,14-15].

受上述文獻的啟發(fā), 本文考慮如下奇異平面微分系統(tǒng)

系統(tǒng)(1.2)在物理學中應用廣泛.例如, 描述玻色―愛因斯坦凝聚體中渦旋偶極子的運動方程, 通過引入相關的變量變換, 將方程等價于形如(1.2)的奇異平面系統(tǒng), 詳見文[17].運用Leray-Schauder二擇一定理[12], 我們將證明系統(tǒng)(1.2)存在一族周期解.

注意到該系統(tǒng)是一類徑向對稱系統(tǒng).通過引入極坐標變換u(t) =r(t)cos ψ(t),r(t)sin ψ(t),其中r(t)>0, 極角ψ(t)∈R, 因此系統(tǒng)(1.3)等價于

其中, ω沿著系統(tǒng)的解為常數(shù).定義u的角動量為μ(t) = r2(t)ψ′(t), 由系統(tǒng)(1.4)的第二個等式,可得μ(t) = ωa(t).顯然, 為了研究系統(tǒng)(1.2)徑向周期解的存在性, 首先需要討論系統(tǒng)(1.4)周期解的存在性.本文受儲繼峰教授等在文[4-5,13]中的思想和方法啟發(fā), 研究系統(tǒng)(1.4)周期解的存在性, 得到了一些周期解的存在性結果.在文[4-5,13]中, 儲繼峰教授等主要應用Leray-Schauder二擇一定理以及一些不動點定理探究了不同類型的二階奇異微分方程周期解的存在性和多解性.

本文創(chuàng)新之處如下: 1)將文[2]中關于二階徑向對稱系統(tǒng)周期解的存在性結果推廣到一階奇異平面系統(tǒng); 2)除了周期解的存在性, 本文還得到了周期解的一些動力學行為; 3)首次分析了周期問題(2.1)格林函數(shù)的符號.

2.格林函數(shù)的符號

考慮如下周期邊值問題

首先, 回顧Sobolev不等式中最佳常數(shù)公式

其中Γ是伽瑪函數(shù).

定理2.1假設

且存在1 ≤p ≤+∞, 使得

由文[1]中推論2.3可知, 當

3.主要結果

為方便起見, 列出如下假設條件:

(H1)存在連續(xù)非負函數(shù)e(r)和h(r),使得0 ≤g(t,r)≤e(r)+h(r),?(t,r)∈[0,T]×(0,+∞),其中e(r)>0, 且關于r單調(diào)不增, h(r)/e(r)關于r單調(diào)不減;

證首先證明?ω >0, 系統(tǒng)(1.4)的第一個方程存在一個T-周期正解.為此, 先證明方程

存在一個T-周期正解r滿足r(t)+?(t)>0.若其成立, 則容易得到?r =r(t)+?(t)是系統(tǒng)(1.4)第一個方程的T-周期正解, 因為

由于(H3)成立, ?ω >0, 選擇n0∈{1,2,...}(與ω有關)滿足<σRω+??和

令N0={n0,n0+1,...}, 考慮如下一族方程

其中λ ∈[0,1],n ∈N0, gn(t,s)為截斷函數(shù), 即

顯然, 尋找方程(3.3)的T-周期解與尋找下列問題的不動點等價

其中b0=1/n, Tn是全連續(xù)算子, 其定義為

因此(3.6)式中的Hω=2∥a∥∥b∥1Rω.

引理3.4?ω >0, 存在常數(shù)δω>0, 當n充分大時, 方程(3.5)的任意T-周期解rn滿足

為了證明(3.7)式, 我們先證明

引理3.5??>0, 存在常數(shù)ω(?)≥1, 若ω ≥ω(?), 且r是方程(1.4)的T-周期解, 則∥r∥≥?.

證反證法, 設rn是方程

下面完成定理3.1的證明.?θ ∈[0,ˉθ], 由引理3.7可知, 系統(tǒng)(1.2)的解滿足u(t + T) =u(t)eiθ, ?t ∈R.當θ =2π/k,其中正整數(shù)k ≥1時,由于ψ(t+kT)=ψ(t)+2π,因此,u(t)是周期的, 其最小周期為kT, 且在周期時間kT里剛好圍繞原點旋轉一周.則對任意正整數(shù)k ≥2π/ˉθ,我們有kT-周期解, 設為uk(t), 其極坐標用(rk(t),ψk(t))表示, 令角動量μk(t) = ωka(t), 故有(ωk,rk,ψk)滿足系統(tǒng)(1.4), (ωk,rk)∈C, 且