楊川 李棟龍 周虹

摘? 要：應(yīng)用Hirota方法及擴(kuò)展的同宿測試法對(duì)廣義的Vakhnenko方程進(jìn)行研究，獲得了該方程周期孤立波解。

關(guān)鍵詞：Hirota方法;擴(kuò)展的同宿測試法;廣義Vakhnenko方程;周期孤立波解

中圖分類號(hào)：O175.2? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.03.018

0? ?引言

隨著當(dāng)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展，非線性科學(xué)日顯重要，其中非線性偏微分方程是非線性科學(xué)的重要內(nèi)容之一，故尋找非線性偏微分方程的精確解是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的重要研究課題。至今，人們創(chuàng)造并發(fā)展了很多求非線性方程精確解的方法，如逆散射法[1]、B?cklund變換法[2]、齊次平衡法[3]、雙曲函數(shù)展開法[4]、擴(kuò)展的雙曲函數(shù)展開法[5]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[6]和Hirota變換法[7]等。近年來，許多學(xué)者致力于Hirota變換法的各種推廣和應(yīng)用[8-11]，使得Hirota變換法有了進(jìn)一步的發(fā)展和拓展。這些求解非線性方程精確解的方法有力地推動(dòng)了非線性科學(xué)的發(fā)展。

Vakhnenko方程（Vakhnenko equation，VE）是研究某種處于松弛介質(zhì)中的高頻波的數(shù)學(xué)模型[12]，公式如式（1）所示：

[??xAu+u=0 ].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

其中：[A=??t+u??x] ，[u]表示無維壓力變量，[x]和[t]分別表示空間和時(shí)間變量。對(duì)于邊界條件，即當(dāng)[|x|→∞]時(shí)，[u→0]，具有多回形孤子解[13]。

廣義的Vakhnenko方程（generalised Vakhnenko equation，GVE）[14]，即：

[??x（A2u+qu2+βu）+qAu=0] .? ? ? ? ?（2）

其中：[β]、[q]是任意的非零常數(shù)，其具有回形孤子解、駝峰型和尖型孤子解。Vakhnenko等[15]用B?cklund轉(zhuǎn)換法和逆散射法對(duì)方程在[q=1]時(shí)進(jìn)行了求解，分別得到了方程具有一個(gè)無限序列守恒定律的結(jié)論和N-孤子解。El-Nahhas[16]用同倫分析法對(duì)Vakhnenko方程求解并得到了單回形孤子解。Hirota等[17]用因變量轉(zhuǎn)換法（dependent variables transition，DVT）求出多孤子解。Li[18]通過研究描述電磁物理學(xué)中高頻波（high frequency wave，HFW）傳播的Vakhnenko方程來描述一種新型的呼吸器。通過在Hirota雙線性法中將雙線性函數(shù)擴(kuò)展為混合指數(shù)函數(shù)和三角余弦函數(shù)，構(gòu)建了一個(gè)解析多值函數(shù)解，這是一個(gè)經(jīng)過驗(yàn)證的環(huán)狀扭結(jié)呼吸器。Abdou等[19]基于三波法得到Vakhnenko方程單一的周期孤立波解。Li等[20]基于擴(kuò)展的同宿測試法獲得Vakhnenko方程的N-loop解。本文主要應(yīng)用Hirota方法及擴(kuò)展的同宿測試法在文獻(xiàn)[14]基礎(chǔ)上對(duì)廣義的Vakhnenko方程（GVE） 求解其周期孤立波解并對(duì)解進(jìn)行討論。

1? ? 精確解及解的分析

式（2）（[q=1]）對(duì)應(yīng)的雙線性形式[14]為：

[（βDXDT+D3XDT+D2X）f?f=0].? ? ? ? ? ? （3）

其中：X、T分別表示空間和時(shí)間變量。

Hirota雙線性算子定義為：

[DmxDkt（a?b）=（??x-??x）m（??t-]

[??t）ka（x， t）b（x， t）|x=x， t=t]? .? ? ? ? ?（4）

為了獲得新周期孤立波解，作如下假設(shè)：

假設(shè)1

[f=e-Ω（X+α2T）+b1cosp（X-α1T）+b2eΩ（X+α2T）].（5）

其中：[αj、bj、p、Ω（j=1， 2）]是實(shí)數(shù)。

將式（5）代入式（3）化簡后得到：

[2b1b2pΩ[（3p2-Ω2-β）α1+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3Ω2-p2+β）α2+2]sin（η）sinh（ξ）+2b1b2[p2（3Ω2-p2+β）α1+Ω2（Ω2-3p2+β）α2+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（Ω2-p2）]cos（η）cosh（ξ）+b21p2（β-4p2）α1-1]+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[4b2Ω2[（β+4Ω2）α2+1]=0.]

其中：[η=p（X-α1T）]， [ξ=Ω（X+α2T）+lnb2]，令[sin（η）sinh（ξ）]、[cos（η）cosh（ξ）]的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)等于0，可求得：

[α1=-p2+Ω2-β（p2+Ω2）2+2β（Ω2-p2）+β2， α2=-p2+Ω2+β（p2+Ω2）2+2β（Ω2-p2）+β2，b2=-14b21p2（3p2-Ω2-3β）Ω2（p2-3Ω2-3β）.]? ? ? ? （6）

并可得到周期孤立波解：

[U=6（lnf）XX=12b1b2（Ω2-p2）cosp（X-α1T）cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1cosp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+24b1b2pΩsinp（X-α1T）sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1cosp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+][24b2Ω2-6b21p2{b1cosp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2].（7）

[U]中的各常數(shù)關(guān)系由式（6）給出：

1）若[α1α2>0]，[b2>14b21]，[U]中的[X]和[T]取任何值都不會(huì)使其分母為0，此時(shí)得到非奇異的周期孤立波解，見圖1。

2）若[α1α2>0]，[0<b2<14b21]，此時(shí)當(dāng)[X]和[T]取某些值時(shí)，可使表達(dá)式（7）的分母為0，則這時(shí)的[U]為奇異的周期孤立波解，見圖2，奇異的部分已被截?cái)唷?/p>

假設(shè)2

[f=e-Ω（X+α2T）+b1sinp（X-α1T）+b2eΩ（X+α2T）] . （8）

將式（8）代入式（3）化簡后得到：

[2b1b2pΩ[（3p2-Ω2-β）α1+（3Ω2-p2+β）α2+2]cos（η）sinh（ξ）+2b1b2[p2（3Ω2-p2+β）α1+Ω2（Ω2-3p2+β）α2+（Ω-p2）]sin（η）cosh（ξ）+b21p2[（β-4p2）α1-1]+4b2Ω2[（β+4Ω2）α2+1]=0.]

其中：[η=p（X-α1T）]，[ξ=Ω（X+α2T）][+lnb2]，令[cos（η）sinh（ξ）]、[sin（η）cosh（ξ）]的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)等于0，得到的系數(shù)關(guān)系同假設(shè)1的式（6），此時(shí)可得到周期孤立波解為：

[U=12b1b2（Ω2-p2）sinp（X-α1T）cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1sinp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+? ? ? ? 24b1b2pΩcosp（X-α1T）sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1sinp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+][? ? ? 24b2Ω2-6b21p2{b1sinp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2] . （9）

[U]中的各常數(shù)關(guān)系由式（6）決定：

1）若[α1α2>0，]，[b2>14b21]，得到非奇異的周期孤立波解，見圖1。

2）若[α1α2>0]，[0<b2<14b21]，此時(shí)當(dāng)[X]和[T]取某些值時(shí)，使表達(dá)式（9）的分母為0，則這個(gè)時(shí)候的[U]為奇異的周期孤立波解，見圖2，奇異的部分已被截?cái)唷?/p>

假設(shè)3

[f=b1cosp（X-α1T）+b2eΩ（X+α2T）-e-Ω（X+α2T）]. （10）

將式（10）代入式（3）得到的系數(shù)關(guān)系同式（6），此時(shí)的周期孤立波解為：

[U=12b1b2（Ω2-p2）cosp（X-α1T）sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1cosp（X-α1T）+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+? ? ? 24b1b2pΩsinp（X-α1T）cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1cosp（X-α1T）+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2-][? ? ? 24b2Ω2+6b21p2{b1cosp（X-α1T）+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2.]（11）

這完全是一個(gè)奇異的周期孤立波解，見圖3和圖4。

假設(shè)4

[f=b1sinp（X-α1T）+b2eΩ（X+α2T）-e-Ω（X+α2T）]. （12）

將式（11）代入式（3）運(yùn)算化簡得到的系數(shù)關(guān)系同式（6），此時(shí)的周期孤立波解為：

[U= 12b1b2（Ω2-p2）sin[p（X-α1T）]sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1sin[p（X-α1T）]+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2 -? ? ?24b1b2pΩcos[p（X-α1T）]cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1sin[p（X-α1T）]+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2-][? ? ?24b2Ω2+6b21p2{b1sin[p（X-α1T）]+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2 .]（13）

這也完全是一個(gè)奇異的周期孤立波解，見圖3和圖4。

2? ? 結(jié)論

本文主要應(yīng)用Hirota方法及擴(kuò)展的同宿測試法獲得了廣義的Vakhnenko方程的周期孤立波解。這些解是包含一個(gè)周期解和一個(gè)孤立波的雙波，它反映了周期解和孤立波的彈性碰撞，這是一個(gè)有趣的物理現(xiàn)象，證明了廣義的Vakhnenko方程解的復(fù)雜性以及各種動(dòng)力學(xué)行為。

參考文獻(xiàn)

[1]? ? ?ABLOWITZ M J，SEGUR H. Solitons and inverse scattering transform[M]. Philadelphia：SIAM，1981.

[2]? ? ?B?CKLUND A V. Concerning surfaces with constant negative curvature[M]. Lancaster：New Era Printing，1905.

[3]? ? WANG M L，ZHOU Y B，LI Z B. Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics[J]. Physics Letters A，1996，216（1-5）：67-75.

[4]? ? ?PARKES E J，DUFY B R. Travelling solitary wave solutions to a compound KdV-Burgers equation[J]. Physics Letters A，1997，229：217-220.

[5]? ? ?FAN E G. Extend tanh-function method and its applications to nonlinear equations[J]. Physics Letters A，2000，277（4-5）： 212-218.

[6]? ? ?FU Z T，LIU S K，LIU S D，et al. New Jacobi elliptic functione expansion and new periodic solutions of nonlinear wave equations[J]. Physics Letters A，2001，290（1-2）：72 -76.

[7]? ? ?HIROTA R，GILSON C，NIMMO J，et al. The direct method in soliton theory[M]. Cambridge：Cambridge University Press，2004.

[8]? ? ?DAI Z D，JIANG M R，DAI Q Y，et a1. Homoclinic bifurcation for the Boussinesq equation with even constraints[J]. Chinese Physics Letters，2012，23（5）：1065-1067.

[9]? ? ?DAI Z D，LIU Z J，LI D L. Exact periodic solitary-wave solutions for KdV equation[J]. Chinese Physics Letters，2008，25（5）：1531-1533.

[10]? ?DAI Z D，LIU J，ZENG X P，et al. Periodic kink-wave and kinky periodic-wave solutions for the Jimbo-Miwa equation[J]. Physics Letters A，2008，372（38）：5984-5986.

[11]? &nbsp;DAI Z D，LIN S Q，F(xiàn)U H M，et al. Exact three-wave solutions for the KP equation[J]. Applied Mathematics and Computation，2010，216（5）：1599-1604.

[12]? ?VAKHNENKO V O. High-frequency soliton-like waves in a relaxing medium[J]. Journal of Mathematical Physics，1999，40（4）：2011-2020.

[13]? ?WU Y Y，WANG C，LIAO S J. Solving the one-loop soliton solution of the Vakhnenko equation by means of the homotopy analysis method[J]. Chaos， Solitons and Fractals，2005，23（5）：1733-1740.

[14]? ?MORRISON A J，PARKES E J. The N-soliton solution of the modified generalised Vakhnenko equation （a new nonlinear evolution equation）[J]. Chaos， Solitons and Fractals，2003，16（1）：13-26.

[15]? ?VAKHNENKO V O，PARKES E J，MORRISON A J. A B?cklund transformation and the inverse scattering transform method for the generalised Vakhnenko equation[J]. Chaos， Solitons and Fractals，2003，17（4）：683-692.

[16]? ?NAHHAS A E. Analytic approximations for the one-loop soliton solution of the Vakhnenko equation[J]. Chaos， Solitons and Fractals，2009，40（5）：2257-2264.

[17]? ?HIROTA R，SATSUMA J. N-soliton solutions of model equations for shallow water waves[J]. Journal of the Physical Society of Japan，1976，40（2）：611-612.

[18]? ?LI B Q. Loop-like kink breather and its transition phenomena for the Vakhnenko equation arising from high-frequency wave propagation in electromagnetic physics[J]. Applied Mathematics Letters，2021，112：106822.

[19]? ?ABDOU M A，SOLIMAN A A，ELGARAYHI A. New periodic solitary wave solutions for an extended generalization of Vakhnenko equation[J]. Journal of the Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences，2015，18（C）： 99-101.

[20]? ?LI B Q，MA Y L，MO L P，et al. The N-loop soliton solutions for （2+1）- dimensional Vakhnenko equation[J].Computers and Mathematics with Applications，2017，74（3）：504-512.

New periodic solitary wave solutions for generalized Vakhnenko

equation

YANG Chuan1， LI Donglong2， ZHOU Hong1

（1. School of Electronic Information Engineering， Liuzhou Vocational and Technical College， Liuzhou 545006， China; 2.College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： Periodic solitary wave solutions of the generalized Vakhnenko equation are obtained by? ? ? Hirota method and the extended homoclinic test method.

Key words： Hirota method; extended homoclinic test method; generalized Vakhnenko equation;? ? ? ? ?periodic solitary wave solution

（責(zé)任編輯：于艷霞）