淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (235000) 莫煥群廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院 (530006) 毋曉迪
習(xí)題作為學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)學(xué)以致用的重要資源,既是理解教科書(shū)并達(dá)到有效學(xué)習(xí)的輔助工具,也是評(píng)估學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)是否達(dá)成的核心載體.當(dāng)前習(xí)題課普遍存在的問(wèn)題是,教師注重在自己的經(jīng)驗(yàn)范疇內(nèi)預(yù)設(shè)問(wèn)題,忽視學(xué)生在問(wèn)題情景中的真實(shí)想法.此外,習(xí)題教學(xué)方式單一,主要以“知識(shí)點(diǎn)+講解”套解試題模式循環(huán)進(jìn)行,長(zhǎng)此以往,學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)難以落實(shí)到求是求真的層面,難以實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生解題素養(yǎng)的目的.為此,要以培育和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為著力點(diǎn),需改觀傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)模式,重新定位習(xí)題教學(xué)目標(biāo).基于此,筆者以學(xué)生如何在習(xí)題教學(xué)中引發(fā)高階思維活動(dòng),增強(qiáng)遷移應(yīng)用能力,實(shí)現(xiàn)知識(shí)深度理解為導(dǎo)向目標(biāo),精準(zhǔn)重組習(xí)題教學(xué)內(nèi)容,合理選取教學(xué)方式,使習(xí)題教學(xué)成為促成學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的門(mén)徑.
在教育理論知識(shí)的學(xué)習(xí)和研究中,發(fā)現(xiàn)維果茨基認(rèn)知發(fā)展理論說(shuō)、布魯納的認(rèn)知層次發(fā)現(xiàn)說(shuō)等對(duì)本研究具有指導(dǎo)價(jià)值和意義.
一是維果茨基認(rèn)知發(fā)展理論說(shuō).維果茨基認(rèn)為人的認(rèn)知水平可以劃分為“已知區(qū)”、“最近發(fā)展區(qū)”和“未知區(qū)”三個(gè)層次.這三層次在學(xué)習(xí)活動(dòng)中可以呈相互轉(zhuǎn)化、螺旋上升態(tài)勢(shì).對(duì)于提出過(guò)易或過(guò)難的問(wèn)題會(huì)減弱學(xué)生求知欲望的這一觀念,需啟發(fā)教師重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生“已知區(qū)”與“最近發(fā)展區(qū)”的維系點(diǎn).這一維系點(diǎn)即為知識(shí)的增長(zhǎng)點(diǎn),利于新知識(shí)的同化與完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),使“最近發(fā)展區(qū)”化歸為“已知區(qū)”.
二是布魯納的認(rèn)知—發(fā)現(xiàn)理論說(shuō).如圖1所示,布魯納將學(xué)生的行為從簡(jiǎn)到繁進(jìn)行排序,并認(rèn)為好奇心是學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力,其中直覺(jué)思維在學(xué)習(xí)活動(dòng)中起到舉足輕重的作用,并促使學(xué)習(xí)成為一個(gè)逐步探究的過(guò)程,同時(shí)提醒教師在教學(xué)中著重關(guān)注學(xué)生的信息加工和提取.
圖1
學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中思維處于內(nèi)隱狀態(tài),教師要有意引導(dǎo)學(xué)生挖掘問(wèn)題的“題眼”,而學(xué)生對(duì)關(guān)鍵信息進(jìn)行提取、分析、加工及表征等一系列操作,需要學(xué)生高階思維深度參與.
例1 已知點(diǎn)P在直線l:x+y-3=0上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)O是原點(diǎn),點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(2,0)、(1,0),點(diǎn)A為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且有∠ACB=2∠AOB,求∠APC的最大值.
由題干信息作出直觀圖2,由關(guān)聯(lián)條件并思考問(wèn)題:如何轉(zhuǎn)化關(guān)鍵信息∠ACB=2∠AOB?
此時(shí),我們應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”,窺視學(xué)生能否自主挖掘信息,由于點(diǎn)A是個(gè)動(dòng)點(diǎn),取不同位置時(shí)的點(diǎn)Ai(i=1,2,3,...),如圖2所示,連接AO、AC,將新舊知融合關(guān)聯(lián),引導(dǎo)學(xué)生突破以下關(guān)鍵點(diǎn):
圖2 圖3 圖4
關(guān)鍵點(diǎn)1:∠ACB=∠AOB+∠CAO,得∠AOB=∠CAO,即|CO|=|CA|=1.
關(guān)鍵點(diǎn)2:|CA|=1,知?jiǎng)狱c(diǎn)A到定點(diǎn)C的距離為定長(zhǎng)1,即點(diǎn)A只能在以點(diǎn)C為圓心,半徑為1的圓周上運(yùn)動(dòng),如圖3所示.
再提出問(wèn)題:點(diǎn)A是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn),它們分別運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置時(shí),∠APC的值最大?
關(guān)鍵點(diǎn)3:不論點(diǎn)A、P運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置,∠APC一定是個(gè)銳角,采取“動(dòng)”點(diǎn)A、“靜”點(diǎn)P相結(jié)合思路,如圖4,得到當(dāng)AP與圓C相切時(shí)∠APC取得最大值.
自然得到問(wèn)題:當(dāng)點(diǎn)P在直線l:x+y-3=0上運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置時(shí),|CP|最小?
在本題的解析過(guò)程中,首先理清問(wèn)題的來(lái)龍去脈,學(xué)生需要逐一突破關(guān)鍵信息,自然而然地把環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題進(jìn)行思路轉(zhuǎn)化,融數(shù)、形、意三方面為一體來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是高階思維能力的直接體現(xiàn),促進(jìn)深度學(xué)習(xí)主動(dòng)生成.
一般地,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),需要多知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)交匯.若知識(shí)關(guān)聯(lián)程度較弱,不利于促進(jìn)學(xué)生有效提取、挖掘、檢索以及深加工關(guān)鍵信息.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力和遷移應(yīng)用能力的培養(yǎng)與發(fā)展與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善程度密切相關(guān).換句話說(shuō),在習(xí)題教學(xué)時(shí),通過(guò)問(wèn)題解決窺視學(xué)生在知識(shí)關(guān)聯(lián)程度上暴露出的認(rèn)知缺陷,為完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),增強(qiáng)遷移應(yīng)用能力起到助推作用.
本題以向量模長(zhǎng)運(yùn)算問(wèn)題為落腳點(diǎn),如何發(fā)掘并關(guān)聯(lián)題干中給出的已知條件是本題的核心突破點(diǎn),我們可以通過(guò)求向量模長(zhǎng)設(shè)置問(wèn)題情境.
針對(duì)上述預(yù)設(shè)的問(wèn)題,將挖掘并關(guān)聯(lián)出的突破點(diǎn)逐一擊破.
預(yù)設(shè)問(wèn)題2:針對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)1,接下來(lái)如何運(yùn)算?對(duì)所求式子直接平方可以嗎?
預(yù)設(shè)問(wèn)題3:針對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)2,你能快速運(yùn)算求解嗎?
通過(guò)本習(xí)題的預(yù)設(shè)的教學(xué)設(shè)計(jì),在解決問(wèn)題的的思維脈絡(luò)上,選擇出合適的起點(diǎn),步步遵循學(xué)生思維規(guī)律,以向量模長(zhǎng)運(yùn)算為突破口,實(shí)現(xiàn)多知識(shí)深度關(guān)聯(lián),滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想,通過(guò)不同角度描述向量模長(zhǎng),采取不同解法求解向量模長(zhǎng)最值,讓學(xué)生切身體悟基礎(chǔ)知識(shí)深度轉(zhuǎn)化與關(guān)聯(lián)的價(jià)值.
數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)能力屬于高階思維能力.強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型建構(gòu),推舉教學(xué)目標(biāo)進(jìn)階,有助于發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng),有效培育學(xué)生綜合分析能力,提升信息的重組與整合能力[1].
例3 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,BC=3,點(diǎn)D是邊BC的一個(gè)三等分點(diǎn),且∠BAC=60°,求AD的最大值.
圖5
圖6
圖7
因此,在習(xí)題教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生模型的構(gòu)建要基于簡(jiǎn)化研究對(duì)象為原則,要關(guān)注研究問(wèn)題的本質(zhì)特征,我們是為了掌握基本解題方法而去建構(gòu)模型,進(jìn)而在學(xué)生可望又可及的認(rèn)知范圍內(nèi)形成知識(shí)橫向和縱向螺旋上升的立體結(jié)構(gòu).從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解,促使牢固把握解題的通性通法.
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們常會(huì)遇到題干抽象過(guò)程復(fù)雜的題目,如何尋求問(wèn)題的突破口是解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn),許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)推知與論證,并科學(xué)規(guī)范表達(dá)、運(yùn)算,進(jìn)而一步一步深入分析.習(xí)題教學(xué)中,思路自然清晰、富有條理是我們竭力追求的效果.為此,要使學(xué)生解題素養(yǎng)得以發(fā)展和提升,在習(xí)題教學(xué)中形成有序的解題思維,那么培養(yǎng)學(xué)生的有序邏輯推理習(xí)慣是必要的[2].筆者認(rèn)為習(xí)題教學(xué)中,對(duì)于問(wèn)題的解決的流程可以經(jīng)歷圖8所示的步驟.
圖8
數(shù)學(xué)問(wèn)題解決要從問(wèn)題的本身出發(fā),問(wèn)題的本身就是思維的起點(diǎn),也是教學(xué)活動(dòng)中要進(jìn)行啟發(fā)、探究和設(shè)問(wèn)等環(huán)節(jié)的出發(fā)點(diǎn).例如階段性考試,多數(shù)情況下是把剛學(xué)過(guò)系列知識(shí)“現(xiàn)炒現(xiàn)賣(mài)”,固然在短時(shí)間內(nèi)能看到立竿見(jiàn)影的效果,但這與對(duì)知識(shí)的鞏固路徑不盡一致.
事實(shí)上,我們平時(shí)遇到的問(wèn)題,尤其是綜合復(fù)習(xí)階段,不可能都是與我們剛學(xué)過(guò)的知識(shí)產(chǎn)生關(guān)聯(lián).為此,固定模式套解題的方式顯然不可取,在分析問(wèn)題的過(guò)程中,要從問(wèn)題的本身出發(fā),培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維,搭建問(wèn)題解決的腳手架,并促使問(wèn)題步步深入[3].唯有如此,學(xué)生思維的創(chuàng)新性才得以激發(fā),對(duì)提升和發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)具有促進(jìn)意義.
解題步驟的思維顯化呈現(xiàn),是直接作用于習(xí)題教學(xué)效果的評(píng)價(jià).若教師在問(wèn)題解決的過(guò)程中沒(méi)有摸清學(xué)生的思路,“強(qiáng)制”要求學(xué)生按照自己思緒套路出牌,教學(xué)活動(dòng)就會(huì)形成教師“一言堂”的態(tài)勢(shì),學(xué)生思維深刻性的培育便不可企及.
鑒于此,在習(xí)題教學(xué)中,對(duì)于解題步驟的探究論證,要聯(lián)系學(xué)生的思維實(shí)際,揣摩學(xué)生心理狀態(tài),在啟發(fā)中要與學(xué)生的思維同步,把握學(xué)生思維規(guī)律,預(yù)設(shè)學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中可能凸顯出的各種思維活動(dòng),給學(xué)生留出思考的時(shí)間并及時(shí)排除思路偏移,活化學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維.
在習(xí)題教學(xué)中,多數(shù)教師青睞于運(yùn)用多種方法達(dá)到問(wèn)題解決的目的,啟發(fā)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題,進(jìn)而提高思維發(fā)散性與求異性;提高問(wèn)題解決的應(yīng)變與貫通能力,加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理等的理解與深化運(yùn)用.
而我們?cè)诹?xí)題教學(xué)時(shí),常遇到教師講授了多種問(wèn)題解決的方法和思路,但是學(xué)生也感嘆:“這樣的解題方法我想不到”,如果教師中斷解釋或者避開(kāi)深入討論某些解題方法,那么習(xí)題教學(xué)就會(huì)變成“走馬觀花”式羅列解法的教學(xué).因此,習(xí)題教學(xué)的方法應(yīng)考慮學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,避免為追求習(xí)題解題的深度而超出學(xué)生自然而然地接受知識(shí)的范疇,應(yīng)適可而止,使學(xué)生切身感悟到方法可望又可及,方能有所知、有所悟,這樣一來(lái),習(xí)題教學(xué)的課堂生成會(huì)主動(dòng)達(dá)成.