廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363123) 楊 坤 林運(yùn)來

1 試題呈現(xiàn)

在如圖1所示的Rt△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，BC=5，P為AC上一動(dòng)點(diǎn),則2BP+AP的最小值為.

圖1

本題是典型的胡不歸問題,題雖小,意且長(zhǎng). 出自先秦佚名的《國風(fēng)·邶風(fēng)·式微》的胡不歸問題,由于其較強(qiáng)的文學(xué)性和源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的數(shù)學(xué)文化日益成為中學(xué)數(shù)學(xué)考試中的熱點(diǎn)難點(diǎn)問題.筆者查閱資料發(fā)現(xiàn),長(zhǎng)久以來關(guān)于胡不歸問題的解法相對(duì)單一(解法1),且僅僅局限于幾何構(gòu)造,較少代數(shù)解法.隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入,解法應(yīng)該逐步多樣.基于維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論,解題教學(xué)也要基于學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平,為此根據(jù)學(xué)生的不同學(xué)習(xí)階段,筆者依次提供以下解法:

2 解法探究

圖2

評(píng)注：解法1是胡不歸類型的典型解法,在初中學(xué)完直角三角形即可應(yīng)用.但學(xué)生初次接觸時(shí)極難想到提系數(shù),只有經(jīng)過啟發(fā)練習(xí)后才能初步掌握.

圖3

評(píng)注：解法2學(xué)完相似三角形即可應(yīng)用,但此法是非典型的線段構(gòu)造,強(qiáng)調(diào)的是動(dòng)點(diǎn)的軌跡(軌跡方程).

圖4

評(píng)注：解法3在學(xué)完一元二次方程即可應(yīng)用,但是要求較高的數(shù)學(xué)抽象能力和極好的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

評(píng)注：解法4在學(xué)習(xí)完三角函數(shù)即可應(yīng)用,但由于對(duì)此種問題的三角換元望而卻步,實(shí)際教學(xué)效果一般.

評(píng)注：解法5在學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)后即可應(yīng)用,但高中生雖然會(huì)導(dǎo)數(shù)求最值,卻對(duì)根式求導(dǎo)不敢輕易嘗試.

3 解后反思

根據(jù)維果斯基最近發(fā)展區(qū)理論,解題教學(xué)一定要掌握學(xué)生目前的發(fā)展水平,進(jìn)而設(shè)置與之相當(dāng)?shù)念}目,激發(fā)其興趣,利用其潛能,從而超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一階段的發(fā)展水平，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個(gè)發(fā)展區(qū)的發(fā)展.為完成此目標(biāo),示范、引導(dǎo)和激勵(lì)學(xué)生掌握多種不同階段和層次的解法,以及各種解法之間的對(duì)比也是尤為必要的.當(dāng)然,本文中的幾種解法并未窮盡所有解法思路.但是,這些不同的解法涉及到許多的解題思路,運(yùn)用了不少知識(shí)點(diǎn),解題教學(xué)中多進(jìn)行此種小題的解題思維訓(xùn)練,能有助于進(jìn)一步減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),提高學(xué)生的邏輯思維水平,從而達(dá)到提升學(xué)生的創(chuàng)新精神和探索能力.