廣東省佛山市順德區(qū)李偉強職業(yè)技術(shù)學(xué)校 (528300) 王曉敏

拋物線具有豐富的幾何性質(zhì)，如果在解題的過程中能靈活地運用相關(guān)性質(zhì)，那么在解題的過程中就可以起到事半功倍的效果.筆者在研究一道拋物線相關(guān)問題時，就從中總結(jié)了多條相關(guān)性質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)其中隱含了一個“阿基米德三角形”.

一、題目及分析

如圖1，過點Q(-2,m)作拋物線y2=8x的兩條切線，切點分別為A，B，直線QA，QB分別交y軸于C，D兩點，若S△QAB=6S△QCD，求m的值.

圖1

分析：觀察可知，點Q位于拋物線的準(zhǔn)線，過該點作拋物線切線所構(gòu)成的切點弦[1]必經(jīng)過拋物線的焦點.為此，我們可以利用焦點弦這一信息來計算△QAB的面積.為了計算△QCD的面積，還需考慮點C，D所滿足的幾何關(guān)系.

二、解法呈現(xiàn)

為了解決上述問題，現(xiàn)將解題過程分解為如下幾個環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：切點弦AB過焦點F

解法二：(以極點極線[2]的意義求解)根據(jù)極點極線的幾何意義可得以點Q為極點，對應(yīng)的極線為切點弦所在的直線，即直線AB.根據(jù)極點極線的代數(shù)意義可得，當(dāng)點Q的坐標(biāo)為(-2,m)時，其關(guān)于拋物線y2=8x的極線方程為AB:my=4(x-2)，即可得該方程恒過拋物線的焦點(2,0).

環(huán)節(jié)二：計算△QAB的面積

根據(jù)上述證明過程可知直線AB恒過焦點(2,0)，可設(shè)直線方程為AB:x=ty+2.設(shè)該直線對應(yīng)的極點為T(x0,y0)，利用極點極線的代數(shù)意義可得直線AB的方程應(yīng)為AB:y0y=4(x+x0).根據(jù)兩直線方程相同，可得x0=-2，y0=4t，結(jié)合點Q的坐標(biāo)可得m=4t.

說明：該表達的意義在于以直線AB為基本量，能極大地簡化后續(xù)的運算以及證明.

環(huán)節(jié)三：關(guān)于點C，D的幾何性質(zhì)

如圖2，分別過點A，B，F(xiàn)作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，N，F(xiàn)′.根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，切線QA為∠MAF的角平分線，易知△MAF為等腰三角形，故直線QA經(jīng)過MF的中點.考慮△MFF′，MF與y軸的交點即為MF的中點.綜上可得：QA與y軸的交點C為MF的中點.同理，QB與y軸的交點D為NF的中點(證明過程詳見后文).

圖2

在直角梯形AMNB中，可得∠MAB+∠NBA=180°，從而AQ⊥BQ，即四邊形QDFC為矩形.

環(huán)節(jié)四：計算△QCD的面積

三、總結(jié)試題所蘊含的一般性質(zhì)

在上述解題過程中，出現(xiàn)了很多與拋物線相關(guān)的幾何性質(zhì)，現(xiàn)對出現(xiàn)的性質(zhì)進行梳理.

圖3

性質(zhì)3 如圖4，已知拋物線y2=2px(p>0)，分別過點A，作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，N，過點A，B作拋物線的切線lA，lB交于點Q，則有AQ⊥BQ，即四邊形QDFC為矩形.

圖4

只要將上述證明過程中的問題進行一般化處理即可得到上述性質(zhì)的證明，本文不再贅述，現(xiàn)僅介紹一下性質(zhì)2的證明過程.

關(guān)于光學(xué)性質(zhì)的證明，可以通過角平分線的性質(zhì)以及切線的極限定義進行幾何方面的證明，也可利用代數(shù)方程進行證明.本文僅介紹第二種證明思路.

證明：如圖5，設(shè)點A的坐標(biāo)為(x1,y1)，根據(jù)極點極線的結(jié)論過點A的切線方程為lA:y1y=p(x+x1).該直線與x軸的交點為T(0,-x1)，結(jié)合拋物線的定義可得TF=AF，即可得△ATF為等腰三角形，從而即可得切線l為∠MAF的角平分線.

圖5