福建省廈門第一中學(xué) (361003) 王淼生

1 聯(lián)考真題呈現(xiàn)

試題在①tanB=2tanC，②3b2-a2=12，③bcosC=2ccosB三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解決該問題.

問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C及其對邊a，b，c，若c=2，且滿足，求△ABC的面積的最大值.(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)(2021年名校聯(lián)盟優(yōu)質(zhì)校高三大聯(lián)考第18題)

2 結(jié)構(gòu)不良試題

Reitman(1965)首次從認知心理學(xué)層面提出結(jié)構(gòu)良好問題與結(jié)構(gòu)不良問題的理論.將這一理論遷移到數(shù)學(xué)問題，形成結(jié)構(gòu)良好試題與結(jié)構(gòu)不良試題.長期以來，高考數(shù)學(xué)試題中主要考查結(jié)構(gòu)良好試題.隨著高考命題理念從最早的“知識立意”到后來的“能力立意”再到如今的“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”轉(zhuǎn)變，旨在優(yōu)化學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生智力，提升學(xué)生素養(yǎng)，落實立德樹人的根本任務(wù).自從2016年教育部考試中心提出構(gòu)建高考評價體系以來，近年逐步出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題，并越來越受到關(guān)注.盡管目前對結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)試題還沒有統(tǒng)一的、權(quán)威的、標準的定義，但遵循數(shù)學(xué)學(xué)科特點，依據(jù)Reitman理論，一線教師將那些初始狀態(tài)(條件、信息)、目標狀態(tài)(確定、開放)和解決問題策略(方法、途徑)等因素中至少有一項沒有明確界定的數(shù)學(xué)試題稱為結(jié)構(gòu)不良試題.據(jù)此可知，本題屬于典型的三角知識模塊下的初始狀態(tài)不夠清晰的結(jié)構(gòu)不良試題.

3 深入剖析條件

波利亞在名著《怎樣解題》中提出解題四部曲：剖析條件、擬定計劃、實施計劃、回顧反思.由于本題初始狀態(tài)中有三個選項供選擇，因此深入剖析條件，厘清條件之間的關(guān)系，對最終解決問題具有決定性作用.

(1)逐個條件單獨分析

僅從單個條件看，條件①：tanB=2tanC中僅僅涉及角，由此聯(lián)想到遇切化弦，或直線斜率，或構(gòu)造直角三角形；條件②：3b2-a2=12中僅僅涉及邊且出現(xiàn)邊的平方，由此聯(lián)想到余弦定理；條件③：bcosC=2ccosB中既有角又有邊，由此聯(lián)想到利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊，或正弦定理轉(zhuǎn)化為角，或應(yīng)用射影定理.

(2)全部條件整體分析

既然有三個條件供選擇，哪三個條件之間是否有關(guān)聯(lián)呢？

由此說明條件①、②與③相互等價，從而，無論選擇條件①、②還是③，△ABC的面積的最大值都是相同的.

(3)待求結(jié)論條件分析

本題關(guān)鍵在于將已知條件①，或②，或③，結(jié)合公共條件c=2，積極地向上述三角形面積公式“靠近”，尋覓已知條件與求解結(jié)論對接的“橋梁”，形成解決問題的“抓手”，進而借助數(shù)學(xué)方法(如配方、基本不等式等)求出最值，其本質(zhì)就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程.

4 立足核心素養(yǎng)的解題教學(xué)

盡管條件①、②與③相互等價，但仍有不少考生難以入手，這是導(dǎo)致考生放棄的主要原因.解題教學(xué)中該如何決策呢？

(1)側(cè)重代數(shù)(運算)視角——以條件②為“抓手”，著力培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

倘若從條件②出發(fā)，可得以下構(gòu)思過程：

既然可以從cosA入手，是否也可以從cosB或cosC入手呢？其實，類似于上述解法1與解法2，針對角B、角C分別得到解法3、解法4及解法5、解法6(過程略).

評注：以條件②為抓手，屬于典型的代數(shù)解法，有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的核心就是理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果.其中，解法1與2、解法3與4、解法5與6本質(zhì)相同(即運算對象)，掌握運算法則(面積公式)、探究運算方向(瞄準面積公式)、選擇運算方法(代入、配方、基本不等式)、設(shè)計運算程序(先求余弦值，再求正弦值)、求得運算結(jié)果，但是仔細體會卻有細微差異，主要表現(xiàn)為用選擇(1)還是選擇(2)代入，導(dǎo)致運算步驟與運算量不同.至于解法7，如果直接全部展開，運算量很大，于是將l與l-c、l-a與l-b兩兩結(jié)合，并借助平方差公式優(yōu)化運算，這正是培養(yǎng)運算素養(yǎng)的關(guān)鍵所在.教學(xué)中應(yīng)該將運算過程詳細展示，必要時還要給出特寫“鏡頭”，將培養(yǎng)運算素養(yǎng)的舉措落到實處.

(2)側(cè)重幾何(圖形)視角——以條件①為抓手，著力培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

評注：直觀想象就是借助于見到的或想象的幾何圖形進行直觀感知、整體把握的能力.克萊因認為：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上.”史寧中指出，在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來，而不是“證”出來的.就本題而言，條件①：tanB=2tanC通過構(gòu)造三角形，將三角(代數(shù))問題轉(zhuǎn)為具有幾何直觀的圖形，實現(xiàn)由數(shù)思形、以數(shù)構(gòu)形，不僅大大簡化了運算，而且凸顯問題的本質(zhì)，即上述解法8、解法9及解法10的實質(zhì)就是對于斜邊為定值的直角三角形，當且僅當?shù)妊切螘r，直角三角形面積最大.

(3)側(cè)重解析(數(shù)形結(jié)合)視角——以條件①、②為抓手，著力培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)，因此數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，其中最為常見的就是建立適當坐標系，將圖形中的元素用坐標來表示，進而轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.

評注：在解析視角下，通過推理及坐標運算，純代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具有幾何意義的相關(guān)問題，這正是邏輯推理素養(yǎng)的體現(xiàn).邏輯推理素養(yǎng)是描述思維品質(zhì)中深刻性的重要指標之一.數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的邏輯推理是指依據(jù)一些事實和命題，按照數(shù)學(xué)邏輯規(guī)則得到新命題的思維過程.邏輯推理能夠揭示出隱藏在情境中的事物或現(xiàn)象背后的本質(zhì)規(guī)律，并預(yù)見事物或現(xiàn)象的發(fā)展進程.上述解法11與解法12，不僅簡捷地求出了△ABC的面積的最大值，而且發(fā)現(xiàn)了本質(zhì)規(guī)律：由于c=2，即|AB|=2，滿足條件的動點C的軌跡是一個定圓.

5 結(jié)構(gòu)不良試題的解題教學(xué)是落實核心素養(yǎng)的良機

本題是一道典型的結(jié)構(gòu)不良試題，盡管條件①、②與③相互等價，但是條件①、②與③的功能與側(cè)重點不盡相同.其中，條件②側(cè)重于代數(shù)視角，這就是上述解法1—解法7的由來；條件①側(cè)重于幾何視角，這就是上述解法8—解法10的由來；同時條件①與條件②兼具數(shù)形雙重“身份”，這就是上述解法11、解法12的由來.命題專家精心設(shè)計三個選項，意在詮釋《新課標》基本理念：以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，面向全體學(xué)生，人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

事實上，條件③：bcosC=2ccosB?sinBcosC=2sinCcosB.倘若從條件③出發(fā)，還可以得到以下賞心悅目的構(gòu)思過程(解法13、解法14)，極大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.不僅學(xué)會了知識與技能，而且展示了過程與方法，更加凸顯了情感態(tài)度價值觀的培養(yǎng).

相對于初始條件明晰、目標設(shè)置明確、解題方法明顯的結(jié)構(gòu)良好試題，結(jié)構(gòu)不良試題具有難度高、跨度大、視角廣、路徑多的特點.教師在解題教學(xué)過程中，根據(jù)具體問題，引領(lǐng)學(xué)生多角度分析、多途徑思考，提出多種解決方案，達到優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性與創(chuàng)造性.

林崇德教授把學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中，逐步形成的適合個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力界定為核心素養(yǎng).依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特征，《新課標》明確提出六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，既各有側(cè)重，又形成和諧統(tǒng)一，你中有我，我中有你，形成和諧有機整體.比如，在涉及概率統(tǒng)計模塊的結(jié)構(gòu)不良試題，主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)；在涉及立體幾何模塊知識的結(jié)構(gòu)不良試題，主要培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì).在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(概念傳授、解題教學(xué))中，持之以恒地重視核心素養(yǎng)，樹立優(yōu)化核心素養(yǎng)的意識，落實培養(yǎng)核心素養(yǎng)的措施，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情景，感悟數(shù)學(xué)的思想方法，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗，在潛移默化中形成和發(fā)展核心素養(yǎng).