江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星匯學(xué)校(215127) 田 瀟

數(shù)學(xué)模型是特定類型的題目可以概括為一種思想方法來解決問題,歸納數(shù)學(xué)模型可以幫助學(xué)生在解題中高效的,高質(zhì)量的解決問題,不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,還能提高學(xué)生對(duì)問題認(rèn)識(shí)的深度和知識(shí)理解的系統(tǒng)性.本文是依據(jù)學(xué)生在利用勾股定理解決問題過程中出現(xiàn)解題困難、思考不到位,不能夠靈活運(yùn)用知識(shí)解決此類問題的現(xiàn)象.針對(duì)此問題,筆者為了讓學(xué)生加強(qiáng)理解,從題目中總結(jié)規(guī)律,建立模型,再運(yùn)用這模型去解決共性問題,所以便于學(xué)生理解和掌握,筆者給這類型的題目總結(jié)了一個(gè)模型“一棵大樹”,這樣貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),來源于生活的額模型有助于學(xué)生理解和自主構(gòu)建知識(shí)體系,從而能夠靈活運(yùn)用模型高效解題,鞏固所學(xué)內(nèi)容,提升自己的思維能力.

1 定理再現(xiàn),追本溯源

勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖，∵∠C=90°,∴a2+b2=c2.

勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的,它是直角三角形的重要性質(zhì),它把三角形有一個(gè)直角“形”的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三邊之間的“數(shù)”的關(guān)系,它是數(shù)形結(jié)合的典范.定理的作用是已知直角三角形的兩邊,求第三邊.利用好這個(gè)關(guān)系它可以解決許多直角三角形中的計(jì)算和應(yīng)用問題.提出定理是能夠在解題中幫助學(xué)生再次把握和理解模型的基本條件和存在模式,揭示模型產(chǎn)生的根源,符合學(xué)生的認(rèn)知心理,從而為利用模型解決問題做好鋪墊.

2 經(jīng)典例題,提煉模型

(1)如第1題圖一棵大樹在其三分之一的D處折斷,量得AC=5米,則旗桿原來的高度為____.

(2)已知,如第2題圖,長(zhǎng)方形ABCD中,AB=3,AD=9,將此長(zhǎng)方形折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,折痕為EF,則ΔABE的面積為( )

A.6 B.8 C.10 D.12

第1題

第2題

分析第一題中已知CD=1/2AD,AC=5.第二題已知條件需要利用翻折的性質(zhì)去挖掘隱藏的條件,通過翻折其實(shí)已知條件是AE+ED=AD=9,AB=3.二個(gè)典型例題存現(xiàn)出的條件都是相仿的,已知兩邊固定關(guān)系,第三邊具體長(zhǎng)度,通過構(gòu)造或已知所在的直角三角形,從而利用勾股定理解決問題.

兩個(gè)例題從基本題型出發(fā),利用典型題目啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主探索,自主研究,教師啟發(fā)引導(dǎo),分析隱形條件,思考解決問題辦法,找到共性思路,為提出模型做好鋪墊.分析典例條件引導(dǎo)學(xué)生思考,已知兩邊關(guān)系和一邊具體的值,要求第三邊,需要找到或構(gòu)建直角三角形,利用勾股定理解決問題的基本思路,基本模型思想.因而根據(jù)此典型題目提煉出模型思路:在直角三角形中,已知一變量,另外兩邊之間存在著一定的關(guān)系即已知a=x,c+b=y,利用a2+b2=c2解決問題,把直角“形”的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三邊之間的“數(shù)”的關(guān)系來解決問題.這樣我們就可以設(shè)一邊來表達(dá)與之相關(guān)的另一邊,從而利用勾股定理解決問題,初步形成了找到這類問題的共性方法“一棵大樹”模型.模型的提煉是重在啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生利用好條件,根據(jù)提煉出的模型完善所學(xué)知識(shí),靈活運(yùn)用模型,從而高效的解決問題.

3 變式練習(xí),鞏固模型

(3)已知矩形ABCD沿直線BD折疊,使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C′處,BC′與AD交于點(diǎn)E,AD=8,AB=4,求DE的長(zhǎng).

分析已知C′D=4,通過翻折,利用矩形的性質(zhì),發(fā)現(xiàn)ΔABEΔC′DE,得出AE+CD=AD=8.通過對(duì)已知條件和隱含條件的進(jìn)一步的分析,我們發(fā)現(xiàn)題目的解決方法最終回歸到“一棵大樹”模型的思路中.

(4)四邊形ABCD是一張矩形紙片,AB=6,AD=8,在AB上取一點(diǎn)E,將紙片沿DE翻折,使點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)F處,則AE的長(zhǎng)為______.

分析本題需要二次變換,通過翻轉(zhuǎn)得到ΔADEΔEDF,得出BE+EF=AB=6,再利用矩形的性質(zhì)和勾股定理已知量BF=2,這樣又可以轉(zhuǎn)換成“一棵大樹”模型.

(5)如圖,鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點(diǎn))相距25千米,C、D為兩個(gè)村莊(視為兩個(gè)點(diǎn)),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=15千米,CB=10千米,現(xiàn)要在鐵路上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E,使得C、D兩村到E的的距離相等,則E應(yīng)建在距A多少千米處?

分析根據(jù)AD=15,CB=10,AE+EB=AB=10,DE=CE條件,可借助兩個(gè)直角三角形來解決問題,從而把“兩棵大樹”模型通過設(shè)而不解轉(zhuǎn)化為“一棵大樹”模型.

通過變式練習(xí),對(duì)模型的基本條件重新構(gòu)建,讓學(xué)生在變式中感知,體驗(yàn),總結(jié)提煉出模型的變換思路,在變式練習(xí)滲透模型思想,完善知識(shí)體系,讓模型更具有活力.從復(fù)雜的圖形中提煉出模型的基本圖形,基本思路,讓學(xué)生對(duì)模型有個(gè)更加深刻的認(rèn)識(shí),加深了對(duì)模型的理解,從而抓住模型的本質(zhì),靈活運(yùn)用,舉一反三,從總結(jié)知識(shí)到模型提煉,自主構(gòu)建知識(shí)體系,三維角度提升學(xué)生解題能力,思維能力和創(chuàng)新意識(shí).

4 自主構(gòu)建,提升模型

(6)如圖,在波平如鏡的湖面上,有一朵盛開的美麗的紅蓮,它高出水面3尺.突然一陣大風(fēng)吹過,紅蓮被吹至一邊,花朵剛好齊及水面,如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為6尺,請(qǐng)問水深多少?

分析通過條件,我們知道紅蓮在吹動(dòng)到齊及水面時(shí)本身長(zhǎng)度不變,根據(jù)右圖可知,AC=6,AB=BC+3,這樣我們就可以轉(zhuǎn)化成“一棵大樹”模型,自主構(gòu)建直角三角形解決問題.

(7)如圖,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.現(xiàn)將線段AC沿AD折疊后,使點(diǎn)C落在AB上,求折痕AD長(zhǎng)度.

分析作出輔助線DH,利用折疊HE和勾股定理,得得出DH+DB=BC=4,BH=2,進(jìn)而轉(zhuǎn)換成“一棵大樹”模型.

分析給定具體的一邊長(zhǎng)和另外兩邊的數(shù)量關(guān)系.

分析給定一邊長(zhǎng),另兩邊長(zhǎng)不固定,放大兩邊的數(shù)量關(guān)系,發(fā)散學(xué)生的思維,提升模型的利用率,多角度,多思維,多方向的解決問題.

分析進(jìn)一步發(fā)散思維,提升對(duì)模型的思考維度,升華對(duì)模型的理解,從特殊到一般,由具體的邊長(zhǎng)變?yōu)椴淮_定的邊長(zhǎng),但模型思想的運(yùn)用本質(zhì)并不改變,從而強(qiáng)化了模型的存在性和合理性.

通過對(duì)實(shí)際問題的構(gòu)建轉(zhuǎn)換,使得模型更加具有說服性和傳承性,更讓學(xué)生通過自主構(gòu)建條件,從外化模型到內(nèi)化思維提升,從固定模式到自主構(gòu)建,從模仿解決到自我發(fā)展,把知識(shí)的運(yùn)用和解決升華到自我構(gòu)建,自我完善,為今后學(xué)習(xí)夯實(shí)了基礎(chǔ),提供了自我創(chuàng)新和發(fā)展的提供了基本思路,也為思維的提升和解決問題的能力發(fā)展找到了方向.

5 實(shí)際運(yùn)用,深化模型

(9)閱讀:如圖1,在直角ΔABC中,∠C=90°,AC,BC為直角邊,AB為斜邊,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則a2+b2=c2.

圖1

例如,AC=8,BC=6,則可得10.根據(jù)閱讀材料,完成題目:

如圖2有一塊直角三角形的綠地,量得兩條直角邊長(zhǎng)分別為6cm,8cm.現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形,且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形,求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).

圖2

分析建模型,用模型都是為了更好的解決生活問題.本題給定一個(gè)具體的直角邊長(zhǎng),利用模型分類思考,自主構(gòu)建解決問題的框架.

在教學(xué)中,教師要關(guān)注解題的方法,思路的提煉和總結(jié),加強(qiáng)數(shù)學(xué)解題方法的延伸和升華,啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理概念的再造和完善,從而在解題中培養(yǎng)學(xué)生分析問題,提出問題,解決問題的能力.

教學(xué)反思模型是解決問題的一種思路,幫助學(xué)生能夠在共性問題中找到一種規(guī)律,幫助學(xué)生高效的解決問題.在教學(xué)中我們應(yīng)該更多的關(guān)注學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系,從學(xué)生的學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)出發(fā),關(guān)注學(xué)生的思考過程,給學(xué)生思考的時(shí)間和空間,讓學(xué)生在解題中總結(jié)歸納知識(shí),主動(dòng)自主的構(gòu)建知識(shí)體系,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),在今后的解題中能夠逐漸養(yǎng)成運(yùn)用模型思想和數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考問題解決問題,不斷增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,解決問題的能力.

課堂教學(xué)要依托一定的模型思想,培養(yǎng)學(xué)生的良好解題習(xí)慣,增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的理解,讓學(xué)生在解題中自主提升,在解題匯總完善所學(xué)知識(shí),在解題中鍛煉解題能力,在解題中提升數(shù)學(xué)思維.

用模型是為了更好的提高解題的效率,當(dāng)然在用模型中怎樣做到不拘泥模型的束縛,需要我們老師在選題和啟發(fā)引導(dǎo)方面要根據(jù)模型的規(guī)律,注重學(xué)生對(duì)模型的知識(shí)的理解,對(duì)模型產(chǎn)生過程的探究,提高學(xué)生的解題技能和技巧,平時(shí)教學(xué)中注重能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生多角度,多思維的思考,不受模型的約束,又能借助模型產(chǎn)生過程和思想提升學(xué)生的總結(jié)能力和再造能力.模型只是一種解決共性問題的思路,我們關(guān)注更多的是學(xué)生自我能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng),這樣,學(xué)生在今后的解題中,能夠靈活運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí),所構(gòu)建的知識(shí)體系來解決問題,提煉深化,不在畏懼難題,具備了一套自己解決問題的“通解”模型.