四川省成都市第七中學(xué)(610041) 巢中俊 羅志英 張世永

1 研究的問(wèn)題

帶單位外接圓約束且三邊之和為定值的三角形面積問(wèn)題就是單位圓內(nèi)接三角形的等周問(wèn)題[1].自然會(huì)考慮兩邊之和為定值的情形,事實(shí)上這個(gè)問(wèn)題已有結(jié)論:已知ΔABC的外接圓半徑為R,sinA+sinC=l(l＜2).則ΔABC面積S的取值范圍是

下面將結(jié)合解三角形、解析幾何、微積分、不等式給出一個(gè)有趣的新證明[3].

2 問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

不妨設(shè)ΔABC的外接圓半徑R=1,于是|BA|+|BC|=2l,則點(diǎn)B是ΔABC的外接圓與一橢圓的一個(gè)交點(diǎn).以邊AC所在直線為x軸,邊AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖1.

圖1

設(shè)ΔABC的外接圓圓心O1(0,h),則?1＜h＜1,點(diǎn)B(x,y)滿足的方程組是:

的值域問(wèn)題.下面我們用導(dǎo)數(shù)和不等式工具求解這個(gè)函數(shù)值域問(wèn)題.

3 轉(zhuǎn)化問(wèn)題的求解

3.1 情形1

3.2 情形2

對(duì)(4)式使用不等式放縮得

3.3 情形3