孟偉業(yè)

(江蘇省揚州大學附屬中學,225002)

前蘇聯(lián)數(shù)學家奧加涅相說:“必須重視,很多習題潛藏著進一步擴展其數(shù)學功能與教育功能的可行性.” 我市2020屆高三5月份模擬考試第18題是一道涉及最值、定值的解析幾何題,就是這樣的一道好題.筆者對此從解法探究、試題背景、遷移舉例三個方面進行了思考,使問題在探究中呈現(xiàn)更多的精彩.

一、試題呈現(xiàn)

(1) 求橢圓E的標準方程;

(2) 求線段CD長的最大值;

二、解法探究

如下的解法1是命題組提供的參考答案.

3x2+4tx+2t2-2=0.

①

評注第(2)問通過聯(lián)立方程組及利用弦長公式將弦CD的長表示為t的函數(shù)關系式,可求出最值;第(3)問的得分率較低,解答需在側重坐標運算的同時關注整體結構,才能使問題順利解決.若在解題教學中僅按參考答案去講解,對學生無疑是“入寶山而空返”.我們應該多些追問,比如學生“卡殼”之處在哪里?能一題多解嗎?本題有何背景?還能有何變式?如此等等.沒有了這些追問,就難以體會到問題的活力與價值.

通過分析學生的解題過程,發(fā)現(xiàn)“卡殼”之處主要有:

下面給出這一轉化的詳解.

通過前面的計算我們可得到AC⊥AD,由圖形的對稱性易知BC⊥BD,所以點A,B,C,D均在以線段CD為直徑的圓上.為此,參考文[1]給出如下的解法.

②

三、追根溯源

結合文[1],可知這道模擬題的命題背景正是橢圓中的四點共圓定理,在此我們僅給出文[2]中相應的結論.

根據(jù)上述背景,對直線AB,CD及橢圓E作一般化的推廣,可得下列遷移的結論.

(1)|MA||MB|=|MC||MD|;

(2)若直線BC,AD的斜率存在,則kBC+kAD=0.

提示由kAB與kCD互為相反數(shù),根據(jù)四點共圓定理得A,B,C,D四點共圓,再由相交弦定理即可得|MA||MB|=|MC||MD|;反之,由A,B,C,D四點共圓,根據(jù)四點共圓定理,得斜率存在時kBC+kAD=0.

類似地,我們也可以將這里的結論推廣到雙曲線、拋物線.下面僅給出雙曲線和拋物線中的兩道相關的試題,供大家練習.

(1) 求C的方程;

練習2已知直線l:y=x+m交拋物線C:y2=4x于A,B兩點.

(2) 若點M,N在拋物線C上,且關于直線l對稱,求證:A,B,M,N四點共圓.