黃小燕 劉祥云

(江蘇省興化中學(xué)，225700)

課本上的習(xí)題是專家從題海中精心挑選出來的,題目本身具有豐富的內(nèi)涵和廣闊的外延,如果僅僅是將習(xí)題匆匆做一遍,習(xí)題的效用會大打折扣,同時也失去了進(jìn)行更深層次的探究的機(jī)會,所以有效利用課本習(xí)題是當(dāng)前高考復(fù)習(xí)減負(fù)增效,擺脫題海的重要渠道.筆者以2019年人教版《數(shù)學(xué)》(必修二)第39頁第3題為例,從問題的解法、問題背景、高考鏈接、性質(zhì)探究四個角度談?wù)務(wù)n本習(xí)題效用的利用.

一、一題多解，拓展思維

解法1幾何法

解法2坐標(biāo)法

解法3基底法

解法4投影向量法

如圖3,過點(diǎn)A作線段MN延長線的垂線,垂足為D,分別過點(diǎn)B,C作BB′⊥AD,CC′⊥AD,垂足分別為B′,C′.

評注一題多解可以加強(qiáng)對知識點(diǎn)的認(rèn)識,增強(qiáng)與相關(guān)知識建立有效聯(lián)系的方法和技能,將解決問題的角度提升到思想的層面.幾何關(guān)系、坐標(biāo)、基底、投影向量是向量問題中常見的四種解決方式,通過它們建立知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián),實(shí)現(xiàn)了從數(shù)到形、由形到數(shù)的有效聯(lián)系途徑,有助于學(xué)生開拓視野、拓展能力.

二、歸納總結(jié)，升華認(rèn)知

三、真題探尋，理解運(yùn)用

例1(2015年全國高考題)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是______.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

(2)由橢圓的對稱性可知直線CD經(jīng)過的定點(diǎn)必在x軸上.不妨設(shè)定點(diǎn)為Q,設(shè)點(diǎn)C(3cosα,sinα),D(3cosβ,sinβ).

評注本題圖5把完全四邊形作為基本圖形隱藏在解三角形問題和解析幾何問題中.本解法表明利用梅涅勞斯定理解題是一個全新的途徑,實(shí)現(xiàn)了從課本習(xí)題到高考真題的飛躍.這也提示我們在研究課本習(xí)題時要注重對基本圖形的認(rèn)識,對基本圖形要進(jìn)行深層次的探究.

四、探究性質(zhì)，提升素養(yǎng)

評注本題中推出的四個結(jié)論就是三角形“四心”的向量關(guān)系式,完全四邊形中向量的形式就是三角形“四心”的統(tǒng)一形式,由此實(shí)現(xiàn)了從一般到特殊的探究過程.

數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動是新課標(biāo)中四個主題之一,而課本習(xí)題是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動的重要素材,利用好典型的例題和習(xí)題,根據(jù)題目的背景和內(nèi)涵進(jìn)行數(shù)學(xué)探究,進(jìn)而提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和興趣,對素養(yǎng)提升有很大的幫助.