周達仁 盧奐采 程相樂 McFarland D.Michael

(浙江工業(yè)大學機械工程學院,杭州 310023)

半空間中聲源直接輻射聲場重構的實施需要構造以邊界聲阻抗為參量的半空間基函數,邊界聲阻抗的獲取則通常需要借助原位測量方法.基于半空間球面波基函數疊加的聲場重構方法,通過在聲源近場布置全息測量面和一支參考傳聲器采集聲壓,并以參考傳聲器聲壓重構誤差取得最小值為準則,估算各全息測點的聲壓反射系數,就能在邊界阻抗未知條件下實現聲源直接輻射聲壓的重構,從而擺脫了常規(guī)方法對聲阻抗原位測量技術的依賴.本文的目的是對這一方法進行詳細的參數討論,并在估算聲壓反射系數的基礎上,進一步對邊界聲阻抗加以重構,提出一種基于近場聲全息的聲阻抗測量方法.以球形聲源為例,對聲阻抗和聲源直接輻射聲壓的重構進行了仿真,定量地分析參考傳聲器坐標、邊界有效流阻率和邊界孔隙度隨深度的降低率等參數對重構精度的影響.

1 引言

近場聲全息[1]利用布置在振動結構近場的全息測量面采集聲場信息,結合聲場重構算法,可實現結構表面和三維空間中的聲壓、流體介質質點振速和聲強等聲學量分布的可視化,為結構聲源的識別和定位提供技術支撐.近四十年來,傅里葉聲學法[2]、逆邊界元法[3]、球面波函數疊加法[4]和等效源法[5]等系列近場聲全息方法的相繼提出,標志著近場聲全息在自由聲場中的數學建模和工程實施已經形成較為成熟的理論體系.這些方法利用Helmholtz 方程的基本解,即自由空間格林函數建立結構表面聲學量與空間場點聲學量之間的關聯(lián),通過求解逆問題,將全息測量面上的聲學量映射到重構面.然而,現實的測量環(huán)境通常不易滿足理想的自由空間的要求.例如,對于潛艇等大型裝備而言,其聲輻射指標的測試通常只能在存在反射邊界的船塢中進行,這使得測量值不可避免地受邊界反射的影響,而不能真實反映聲源的直接輻射量,更不能結合建立在自由空間中的近場聲全息方法來實施聲源直接輻射聲場的重構.因此,研究含有反射邊界的半空間中聲源直接輻射聲場重構的理論和方法,對于近場聲全息進一步走向復雜環(huán)境下的工程應用具有重要意義.

半空間邊界的聲學特性可由聲阻抗率表征.在工程環(huán)境中,邊界聲阻抗率的幅值一般為有限數值,這一類邊界稱作有限聲阻抗邊界或阻抗邊界.參照近場聲全息在自由空間的聲場重構理論,在含阻抗邊界的半空間中,若要實施聲源直接輻射聲場的重構,先要構造以邊界阻抗為參量的、滿足Helmholtz 方程和邊界條件的半空間格林函數,建立半空間中場點聲學量與聲源表面聲學量之間的關聯(lián).Zea 和Arteaga[6,7]參照傅里葉聲學法,將半空間聲壓場表述為一組平面波基函數及其在邊界處激發(fā)的反射波函數的疊加,提出了專門針對平面形狀聲源直接輻射聲場的重構方法.Zhao 和Wu[8]將球面坐標系中的自由空間格林函數替換為半空間格林函數,參照逆邊界元法,對半空間中振動結構表面的聲學量進行了重構.Bi 等[9?11]參照等效源法,使用一組半空間格林函數的線性疊加來表述全息測量聲壓,通過求解半空間格林函數系數,實現半空間聲學量的重構.Pan 等[12,13]將時域的半空間格林函數引入到等效源法中,對半空間瞬態(tài)聲場進行了重構.

上述方法將邊界阻抗作為參量分別引入傅里葉聲學法、逆邊界元法和等效源法的數學模型,建立半空間聲場的數學模型和相應的聲場重構算法.由此可知,聲場重構的實施一般需要預先原位測得邊界阻抗作為已知量.材料的聲阻抗、聲壓反射系數和吸聲系數等聲學特性的原位測量技術[14],經過六十多年的發(fā)展,隨著聲場建模方案的不斷優(yōu)化和傳感器技術的革新,而趨于多元化和精確化.其中,以近場聲全息的數學模型為基礎、結合傳聲器陣列作為前端的原位測量技術,因其相比于傳統(tǒng)的雙傳聲器法具有更強的抗測量噪聲干擾的能力,而受到研究者的關注.Tamura[15]在聲源和材料之間布置雙層平面?zhèn)髀暺麝嚵?基于傅里葉聲學法,在波數域內分離出各波數分量的入射聲壓角譜和反射聲壓角譜,計算出材料的聲壓反射系數.Hald等[16]基于統(tǒng)計最優(yōu)近場聲全息法,使用雙層平面?zhèn)髀暺麝嚵胁杉晧盒畔?計算出材料的聲阻抗、聲壓反射系數和吸聲系數.Richard 和Fernandez-Grande[17]使用等效源法,結合球面?zhèn)髀暺麝嚵凶鳛闇y量前端,重構出材料表面的聲壓和質點振速分布,進而計算出聲阻抗和吸聲系數.Dupont 等[18]基于球面近場聲全息的數學模型,使用球面?zhèn)髀暺麝嚵凶鳛闇y量前端,同樣是通過重構材料表面的聲壓和質點振速分布,而得到聲阻抗和吸聲系數.總之,由于近場聲全息具有對聲學量重構的強大能力,將其應用于材料聲學特性的建模與原位測量,是一條高效的解決途徑.

近期,Zhou 等[19,20]參照球面波函數疊加法,將半空間聲壓場表述為一組半空間球面波基函數的線性疊加,通過求解基函數的系數,獲取聲源在自由空間中輻射聲壓場的基函數系數,進而實現含阻抗邊界半空間中聲源直接輻射聲場的重構.Zhou 等[20]進一步提出,在全息測量面的一側設置一支參考傳聲器,并定義全息測量面的聲壓反射系數均值,以參考傳聲器所在位置的聲壓重構誤差為最小為原則估算出反射系數均值,就可以近似計算半空間球面波函數.從而,在邊界阻抗未知的情況下,也可以實現聲源直接輻射聲場的重構.

適用于邊界阻抗為未知量的聲場重構方法,不再需要在現場布置標準聲源和特定分布的傳感器來預先測量邊界阻抗,擺脫了常規(guī)方法對聲阻抗原位測量技術的依賴,從而在很大程度上提高了工程實施效率.然而,現有的研究僅對該方法在一種阻抗參數條件下的聲壓重構進行了初步的仿真和實驗驗證,參考傳聲器坐標和邊界阻抗等參數的變化對聲壓反射系數均值計算和聲壓重構誤差的影響機理尚未得到研究.因此,本文將系統(tǒng)地考察該方法在不同參考傳聲器坐標和邊界參數條件下,對聲源直接輻射聲壓的重構精度;同時在估算聲壓反射系數均值的基礎上,重構邊界的聲阻抗率,為聲阻抗的原位測量提供一種基于近場聲全息的解決方案.

2 數學模型

2.1 基于半空間球面波基函數疊加的聲場重構理論基礎

在含阻抗邊界的半空間中,如圖1 所示,聲源幾何中心O1到邊界距離記為hs,以O1在邊界的投影O為原點建立全局坐標系,其中,O1的全局坐標為xO1(0,0,hs).那么,聲源在半空間中任一場點x的穩(wěn)態(tài)聲壓響應phalf(x;ω) 為聲源直接輻射與邊界反射貢獻的總聲壓,可以用不同階次的半空間球面波基函數的線性疊加來表述[20]:

圖1 半空間聲場示意圖 (a)聲源、傳聲器陣列和阻抗邊界的布置;(b)聲源幾何中心及其關于邊界的鏡像點與場點、阻抗邊界之間的幾何關系Fig.1.Schematic of the half-space sound field:(a) Setup of the source,the microphone array and the impedance boundary;(b) geometric relationship between the geometric center of the source,the mirror point,the field point and the impedance boundary.

其中,ψjhalf(x;ω) 為滿足Helmholtz 方程和阻抗邊界條件的半空間球面波基函數[19,20],ω為聲波角頻率,j為基函數展開項序數,J為基函數展開項項數;cj(ω)為待求解的基函數展開項系數.

分別以O1及其關于邊界的鏡像點O2為坐標原點建立局部坐標系,場點x在兩局部坐標系中的坐標分別記為x1≡(r1,θ1,?1) 和x2≡(r2,θ2,?2),它們與全局坐標x之間的關系為

其中,ez為z向單位向量.利用兩組局部坐標,ψjhalf(x;ω)可以表示為[20]

其中,ψj(x|x?hsez;ω) 為表述聲源直接輻射的第j項球面波函數,ψj(x|x+hsez;ω) 為表述鏡像虛源輻射的第j項球面波函數;Rp(θ2;ω) 為聲壓反射系數.

球面波函數在球面坐標系中的表達式為[4]

聲壓反射系數Rp(θ2;ω) 的表達式為[21]

式中,β為歸一化的邊界聲導納,

其中,Z為邊界聲阻抗率,ρ0為半空間流體介質密度,c為聲速,Z0為歸一化的邊界聲阻抗率.注意到,(5)式與平面入射波在邊界的聲壓反射系數形式相同,所以(3)式右邊的第2 項對反射聲場的表述是近似解.隨著場點與邊界之間距離的增大,且大于半個聲波波長時,場點接收到的反射波趨近于平面波,(3)式趨于精確解[21].另外,當邊界聲阻抗率逐漸增大,阻抗邊界向完全剛性邊界轉變時,半空間任意場點的反射系數均逐漸趨近于1,此時,(3)式也趨于精確解.

如圖1(a)所示,布置傳聲器陣列作為全息測量面,根據(1)式,可以得到如下線性方程組:

其中,上標?表示對矩陣求偽逆:

其中,上標H 表示矩陣的共軛轉置.

當(7)式的系數向量{C(ω)}J×1確定之后,在半空間或者聲源表面的任意場點處,半空間總聲壓和聲源直接輻射聲壓可由如下兩式重構:

2.2 邊界阻抗和聲源直接輻射聲壓的重構

由(3)式、(5)式和(6)式可知,半空間球面波函數以邊界阻抗和場點坐標作為參量,因此,當邊界阻抗未知時,為了計算各全息測點的半空間球面波函數,首先需要對各測點的聲壓反射系數進行估算.

對于具有有限聲阻抗的物理邊界而言,測點的聲壓反射系數為有界函數,滿足如下關系:

2)建立如圖2 所示的直角坐標系,其中,橫軸和縱軸分別為Rp的實部Re[Rp] 和虛部Im[Rp].以坐標原點為中心畫單位圓,對圓內區(qū)域劃分網格,設置橫軸和縱軸方向的網格步長各為?x和?y.由第τ個網格節(jié)點的坐標可確定反射系數Rpτ,作為的備選值,其中,τ1,2,···,T,T為節(jié)點總數.

圖2 單位圓內部區(qū)域的網格劃分Fig.2.Mesh of the region inside the unit circle.

3)設定基函數展開項數J的取值上限為Jmax.將基函數展開項數和反射系數均值的一組備選值(J,Rpτ)賦給(7)—(10)式,再以全息聲壓值作為輸入,重構參考測點處的半空間總聲壓并計算重構值與測量值的相對誤差E:

如此遍歷 (J,Rpτ)的所有備選值,將E取得最小值Emin時所對應的反射系數確定為反射系數均值.

3 數值仿真驗證

對脈動球聲源和阻抗邊界構成的半空間聲場進行仿真.脈動球、傳聲器陣列、參考傳聲器和阻抗邊界的布置如圖3(a)所示.脈動球半徑a0.05 m,表面振動速度V00.01 m/s ,球心O1距離阻抗邊界hs0.30 m.傳聲器陣列為平面陣列,孔徑為0.15 m×0.15 m,其上均布 6×6 個聲壓測點,相鄰測點間距為0.03 m.陣列面與阻抗邊界平行,兩者距離ha0.20 m.聲源和陣列面的幾何中心均位于z軸.陣列測點的編號如圖3(b)所示,其中,第1 號測點坐標為 (?0.075 m,0.075 m,0.200 m),第36 號測點坐標為 (0.075 m,?0.075 m,0.200 m).參考傳聲器坐標設為xref(0,0,0.05 m).假定阻抗邊界坐標為z0,其表面聲阻抗率滿足聲阻抗模型[22]:

圖3 仿真聲場示意圖 (a)脈動球聲源、傳聲器陣列、參考傳聲器和阻抗邊界的布置;(b)陣列上傳聲器的編號Fig.3.Schematic of the simulated sound field:(a) Setup of the dilating sphere source,the microphone array,the reference microphone and the impedance boundary;(b) the indices of the microphones mounted on the array.

其中,σe為邊界有效流阻率,αe為邊界孔隙度隨邊界深度的降低率,f為聲波頻率.選取參數σe和αe的值分別為38kPa·s/m2和15m?1.空氣介質密度ρ01.20 kg/m3,聲速c343m/s.在仿真計算中,根據脈動球聲源在自由空間中的輻射聲壓場和在半空間中激勵的聲壓場的解析表達式[20],得到聲源直接輻射聲壓的理論值和傳聲器測量的半空間總聲壓值.考慮傳聲器測量誤差的影響,對傳聲器陣列和參考傳聲器測得的半空間總聲壓值附加信噪比為30 dB 的高斯白噪聲.

為了對聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓重構精度進行定量分析,定義聲阻抗率的重構值與理論值Z0之間的相對誤差為

定義聲源直接輻射聲壓重構值與理論值之間的相對誤差為

首先給出頻率f1700 Hz 工況下,聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓重構的結果.當頻率f1700 Hz時,由(15)式給定的邊界聲阻抗率為Z02.06+2.23i,再根據(5)式和(6)式,可得位于全息測量面的場點聲壓反射系數Rp(θ2;ω) 的變化范圍為0.565 ≤Re[Rp]≤0.573,0.311 ≤Im[Rp]≤0.315.這表明,在本算例所設定的聲場參數條件下,全息測量面的場點聲壓反射系數隨著θ2的變化,在很小的范圍內波動.

設定網格步長為?x?y0.01,基函數展開項數取值上限為Jmax4 ,計算反射系數均值當基函數展開項數J1 時,參考測點的半空間總聲壓重構的相對誤差取得最小值Emin0.75%,求得反射系數均值0.57+0.33i.

圖4(a)所示為當J1 時,參考測點的總聲壓重構的相對誤差E隨反射系數Rp變化的三維曲面分布.從圖4(a)可知,曲面上存在唯一的極小值點0.57+0.33i;并且,隨著Rp與之間的距離的增大,E逐漸增大.當展開項數J取2,3 和4 時,也能得到與圖4(a)所示相似的圖像.這表明,總是存在一個反射系數均值,使得基于半空間球面波函數疊加的數學模型對陣列測點和參考測點的半空間總聲壓同時具有最高的描述精度.因此,以參考測點的總聲壓重構的相對誤差取得最小值為準則,來求取反射系數均值是可行的.圖4(b)所示為陣列測點的聲源直接輻射聲壓重構的相對誤差εpres隨反射系數均值變化的三維曲面分布,其中,基函數展開項數J1.與圖4(a)相似,圖4(b)中也存在著唯一的極小值點0.58+0.33i;隨著與之間距離的增大,εpres呈增大趨勢.圖4(b)表明,總是存在一個反射系數均值,使得基于半空間球面波函數疊加的數學模型對陣列測點的半空間總聲壓和聲源直接輻射聲壓同時具有最高的描述精度.從而,以反射系數均值近似陣列測點的聲壓反射系數,對半空間總聲壓場進行建模,能實現對聲源直接輻射聲壓的精確重構.當求得的越逼近其最優(yōu)值時,聲源直接輻射聲壓重構的精度越高.為了使盡可能地逼近,則需要通過合理地設置參考傳聲器的坐標來實現.

圖4 相對誤差的曲面圖 (a)誤差E 隨反射系數 Rp變化的分布;(b)誤差 εpres隨反射系數均值 變化的分布Fig.4.Surface plot of the relative error:(a) The error E versus reflection coefficient Rp;(b) the error εpres versus mean value of the reflection coefficient .

在求得反射系數均值之后,令xcent(0,0,0.20 m),θ2,cent0,利用(14)式和(16)式,得到聲阻抗率重構值為1.93+2.25i,重構值與理論值之間的相對誤差為εimp4.41 %.

利用(7)—(9)式和(11)式,重構出陣列各測點處聲源的直接輻射聲壓響應.圖5 為無量綱聲壓幅值|p/(ρ0cV0)|在陣列測點的分布曲線,包括半空間總聲壓值、聲源直接輻射聲壓的重構值和理論值.從圖5 可見,半空間總聲壓值相對于聲源直接輻射聲壓理論值存在明顯的偏差,說明傳聲器陣列測得的總聲壓被邊界反射污染,完全不能反映聲源真實的直接輻射量.而在聲場重構之后,聲源直接輻射聲壓重構值與理論值的分布曲線能夠很好地吻合.在本工況下,聲壓重構的相對誤差為εpres0.29%.結果表明,該方法能以較高的精度抑制阻抗邊界反射的影響,重構脈動球聲源直接輻射的聲壓場,也能較為精確地重構邊界聲阻抗率.

圖5 半空間總聲壓、聲源直接輻射聲壓的重構值和聲源直接輻射聲壓的理論值在陣列測點的分布Fig.5.Sound pressure distributions at the measurement points on the array,including the total values in the halfspace,the reconstructed values and the benchmark values radiated directly from the source.

進一步,對頻率f=100—3300 Hz 范圍內的其他工況進行考察,得到如圖6 所示的相對誤差εimp和εpres隨頻率f的變化曲線.圖6 顯示,對于多數頻率工況,εimp均保持在25%以下,表明本方法具有一定的對聲阻抗率的重構精度;僅在f=100 和300 Hz 兩個低頻工況下,εimp>60%,這是因為在低頻條件下,聲波波長較長,使得陣列接收到的反射聲波偏離假定的平面波模型較遠.εpres在整個頻率范圍內保持在2.5%以下,且在大多數頻率工況保持在1.5%以下,表明本方法具有較高且穩(wěn)定的對聲源直接輻射聲壓的重構精度.圖6 所示的兩條誤差曲線隨頻率的變化趨勢具有一定的相似性,這是因為聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓重構的精度均依賴于聲壓反射系數均值與其最優(yōu)值的逼近程度.需要說明的是,對于多數頻率工況,圖6 所示結果并非本方法所能取得的最小誤差,因為參考傳聲器坐標的設置會對重構精度產生較大影響.

圖6 聲阻抗率重構的相對誤差 εimp 和聲源直接輻射聲壓重構的相對誤差 εpres 隨頻率f 的變化曲線Fig.6.Relative error of the reconstructed specific acoustic impedance εimp and the relative error of the reconstructed sound pressure εpres radiated directly from the source versus frequency f.

4 參數討論

本節(jié)考察參考傳聲器坐標以及邊界有效流阻率、邊界孔隙度隨深度的降低率等參數對聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓重構精度的影響.仿真聲場的布置如圖3(a)所示,聲源、傳聲器陣列和阻抗邊界的相關參數,以及測量信號信噪比和網格劃分步長等參數的初始值與第3 節(jié)一致.參數討論遵循單一變量的原則,即當考察某一參數的變化對重構精度的影響時,其他參數保持不變.

4.1 參考傳聲器坐標

首先考察參考傳聲器坐標xref的變化對邊界聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓重構精度的影響.注意到,在圖3(a)所示的聲場布置中,球聲源的幾何中心正對著全息測量面的幾何中心,兩者均位于z軸,使得全息測量面接收到的聲能量主要集中在入射角為0 的方向.因此,為了充分獲取該方向的聲場信息,將參考傳聲器置于z軸,其坐標記為xref(0,0,zref).考察zref的變化所導致的聲阻抗率重構的相對誤差εimp和聲源直接輻射聲壓重構的相對誤差εpres的變化,考察范圍為zref=0—0.19 m.當頻率f100 Hz,900 Hz,1700 Hz,2500 Hz和3300 Hz時,使用本方法所得到的εimp和εpres曲線分別如圖7(a)—(e)所示.

圖7 聲阻抗率重構的相對誤差 εimp和聲源直接輻射聲壓重構的相對誤差 εpres隨參考傳聲器坐標 zref的變化曲線 (a)f 100 Hz;(b) f900 Hz;(c) f1700 Hz;(d) f2500 Hz;(e)f 3300 HzFig.7.Relative error of the reconstructed specific acoustic impedance εimp and the relative error of the reconstructed sound pressure εpres radiated directly from the source versus coordinate of the reference microphone zref:(a) f100 Hz;(b) f900 Hz;(c) f1700 Hz;(d) f2500 Hz;(e) f3300 Hz.

先觀察聲壓重構的相對誤差εpres隨參考傳聲器坐標zref的變化趨勢.首先,在圖7 所示的5 幅子圖中,隨著zref增大,εpres曲線均呈現出一定程度的振蕩,在zref0.19 m 處取得最大值;隨著聲波頻率f的增大,曲線振蕩的次數增多. 例如,當f900 Hz時,曲線僅有1 個波谷;當f3300 Hz時,波谷的個數增加至4 個;而當f100 Hz 時,εpres單調遞增,曲線不存在波谷.其次,對比在不同的f條件下,εpres所取得的最小值,發(fā)現在低頻時,εpres的最小值相對較大,而在高頻時較小.例如,當f100 Hz時,εpres的最小值為 1.44% ,當f2500 Hz和3300 Hz 時,εpres的最小值僅為0.47%和 0.12%.再次,觀察不同的f條件下,εpres曲線的波谷所對應的zref值,可以發(fā)現,在zref約為 1/4 聲波波長時,曲線第1 次出現波谷,而相鄰兩個波谷之間的間隔約為 1/2聲波波長.例如,當f2500 Hz時,對應聲波波長為 0.137 m,εpres曲線的第1 波谷在zref0.03 m 處,第1 波谷與第2 波谷的間隔為 0.06 m,第2 波谷與第3 波谷的間隔為0.07 m.

上述現象表明,參考傳聲器坐標的設置會對聲壓重構精度產生較大影響,并隨著聲波頻率的不同而呈現差異.當頻率較低,聲波波長較長時,傳聲器陣列接收到的邊界反射波偏離平面波假設較遠,此時,基于半空間球面波函數疊加的半空間數學模型對總聲壓場的描述精度較低,使得εpres曲線的最小值大于高頻工況下的最小值;同時,由于波長較長,參考傳聲器在較小范圍內的移動對其所測得的半空間總聲壓并無太大影響,導致εpres隨zref的增大,呈緩慢地單調遞增趨勢.因此,在低頻工況下,宜將參考傳聲器設置在緊靠阻抗邊界處.

隨著頻率逐漸增大,聲波波長變短,半空間數學模型對總聲壓場的描述精度提高,使得εpres曲線的最小值降低;同時,當參考傳聲器坐標zref改變時,測得的總聲壓隨著zref的變化而發(fā)生周期性變化,使得εpres曲線出現振蕩.此時,宜將參考傳聲器設置在距離阻抗邊界約 1/4 聲波波長處.

邊界聲阻抗率重構的相對誤差εimp曲線與εpres曲線的變化趨勢具有相似性,僅在頻率f100 Hz的工況略有差異.兩條曲線具有相似性,是因為聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓的重構均基于反射系數的估算,其重構精度同時取決于所求得的反射系數均值是否能逼近于其最優(yōu)值.而差異性則表明,聲阻抗率的重構精度對所求得的反射系數均值更為敏感.這是因為聲壓的重構是以陣列測得的一組總聲壓值作為輸入,反射系數均值近似實際反射系數所引入的誤差,會在求解基函數系數時得到補償.相比而言,聲阻抗率是根據反射系數均值直接計算得到,反射系數均值與其最優(yōu)值的偏離程度直接對聲阻抗率的重構結果產生影響.

4.2 邊界參數

考察不同邊界阻抗條件下,本方法對聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓的重構精度.為了更符合物理實際,仍然假定邊界聲阻抗率符合聲阻抗模型(15)式,通過考察有效流阻率σe和孔隙度隨深度的降低率αe兩個邊界參數,來間接考察邊界阻抗的變化所產生的影響.

首先,考察參數σe的變化對重構精度的影響,考察范圍為σe10—1000 kPa·s/m2.設定聲波頻率f1700 Hz,孔隙度隨深度的降低率αe15 m?1,網格步長?x?y0.001.由4.1 節(jié)可知,參考傳聲器的坐標會極大地影響重構精度,見圖7(c).在此,考察參考傳聲器坐標在較優(yōu)配置和較差配置條件下,參數σe的變化對重構精度的影響.在圖7(c)所示誤差曲線的“波峰”和“波谷”附近選取4 個點,其橫坐標依次為0,0.05,0.10 和0.15 m.在這4 個參考傳聲器坐標條件下,使用本方法重構邊界聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓,所得相對誤差εimp和εpres隨參數σe的變化曲線分別如圖8(a)—(d)所示.

先觀察聲壓重構的相對誤差εpres隨有效流阻率σe的變化.在圖8(a)和圖8(c)中,隨著σe的增大,εpres呈單調遞增趨勢.在圖8(b)和圖8(d)中,εpres隨著σe的增大而單調遞減.

圖8 聲阻抗率重構的相對誤差 εimp和聲源直接輻射聲壓重構的相對誤差 εpres隨邊界參數 σe的變化曲線 (a) zref 0;(b)zref 0.05 m;(c) zref 0.10 m;(d)zref 0.15 mFig.8.Relative error of the reconstructed specific acoustic impedance εimp and the relative error of the reconstructed sound pressure εpres radiated directly from the source versus boundary parameter σe:(a) zref 0;(b) zref 0.05 m;(c) zref 0.10 m;(d) zref 0.15 m.

注意到,參數σe的增大,導致邊界聲阻抗率增大,一方面會使得邊界反射聲在半空間總聲壓場中所占比重增大.由于基于半空間球面波函數疊加的半空間數學模型對總聲壓場的描述是近似解,對邊界反射聲的描述精度較低,所以,隨著邊界反射聲所占比重的增大,半空間數學模型對總聲壓場的描述精度將會降低.另一方面,隨著邊界聲阻抗率增大,阻抗邊界逐漸向完全剛性邊界轉變,半空間任意場點的反射系數均逐漸趨近于1,數學模型由近似解轉變?yōu)榫_解,導致對總聲壓場的描述精度提高.這兩種效應對聲壓重構精度的影響完全相反,哪一種效應占主導作用則取決于參考傳聲器坐標的設置.

在圖8(a)和圖8(c)中,參考傳聲器坐標對應圖7(c)所示曲線的波峰,所求出的反射系數均值偏離其最優(yōu)值,以該反射系數均值近似實際反射系數之后,所得半空間數學模型對邊界反射聲的描述精度較低.隨著反射聲在總聲壓場中所占比重的增大,聲壓重構精度逐漸降低,εpres逐漸增大.在圖8(b)和圖8(d)中,參考傳聲器坐標對應曲線的波谷,所求出的反射系數均值接近其最優(yōu)值,半空間數學模型對總聲壓場描述精度相對較高.同時,隨著σe的增大,半空間數學模型趨近于精確解,使得聲壓重構精度提高,εpres逐漸減小.

在圖8 所示的4 幅子圖中,聲阻抗率重構的相對誤差εimp隨有效流阻率σe的增大均呈遞增趨勢.這表明,邊界反射聲在半空間總聲壓場中所占比重是影響聲阻抗率重構精度的主要因素.由于聲壓反射系數均值的求取是以參考測點處總聲壓重構的相對誤差為最小作為準則,當邊界反射聲所占比重逐漸增大時,為了使得總聲壓的重構誤差最小,算法會自動調整反射系數均值,使其偏離于全息測量面幾何中心處的實際反射系數,因此,εimp隨著σe的增大而逐漸增大.

接著,考察孔隙度隨深度的降低率αe這一邊界參數的變化對重構精度的影響,考察范圍為αe=10—250 m–1.設定聲波頻率f1700 Hz,有效流阻率σe=38 kPa·s/m2,網格步長?x?y0.001.當zref分別為0,0.05,0.10 和0.15 m 時,使用所提方法重構邊界聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓,所得相對誤差εimp和εpres隨參數αe的變化曲線分別如圖9(a)—(d)所示.

先觀察εpres的變化趨勢.在圖9(a)和圖9(c)中,隨著αe的增大,εpres單調遞增;而在圖9(b)和圖9(d)中,εpres呈下降趨勢.這一變化趨勢與圖8所示類似,因為與參數σe一樣,參數αe的增大同樣能使得邊界聲阻抗率增大,而產生了兩種影響聲源直接輻射聲壓重構結果的效應.這兩種效應對聲壓重構精度的影響機理已如前所述.

觀察εimp的變化趨勢發(fā)現,在圖9(a)和圖9(c)中,εimp隨αe的增大而逐漸增大,僅在αe=250 m–1時,圖9(c)中的εimp略有減小,這與圖8(a)和圖8(c)中的變化趨勢相似.而在圖9(b)和圖9(d)中,εimp隨著αe的增大,呈現先減小后增大、或先增大后減小的趨勢,這與圖8(b)和圖8(d)所示的單調變化趨勢有所不同.這是因為,由聲阻抗模型(15)式可知,參數αe的增大所引起的邊界阻抗的變化幅度遠遠不及參數σe.盡管邊界反射聲所占比重在一定范圍內的增大會導致εimp增大,然而,由于參考傳聲器處于波谷,邊界阻抗的增大使得半空間數學模型的描述精度提高,所求得的反射系數均值能夠在一定程度上逼近于最優(yōu)值,這兩種因素的共同作用使得圖9(b)和圖9(d)中的εimp曲線呈現出非單調變化的趨勢.

圖9 聲阻抗率重構的相對誤差 εimp和聲源直接輻射聲壓重構的相對誤差 εpres隨邊界參數 αe的變化曲線 (a) zref 0;(b) zref 0.05 m;(c) zref 0.10 m;(d)zref 0.15 mFig.9.Relative error of the reconstructed specific acoustic impedance εimp and the relative error of the reconstructed sound pressure εpres radiated directly from the source versus boundary parameter αe:(a) zref 0;(b) zref 0.05 m;(c) zref 0.10 m;(d) zref 0.15 m.

5 結論

基于半空間球面波基函數疊加的聲源直接輻射重構方法,將半空間總聲壓表述為有限項半空間球面波基函數的疊加,建立半空間各場點總聲壓之間、以及場點總聲壓與聲源直接輻射聲壓之間的數學關系,通過在聲源近場布置聲壓全息測量面并設置一支參考傳聲器,估算各全息測點的聲壓反射系數,進而重構聲源直接輻射的聲壓場.從而,該方法的提出擺脫了常規(guī)方法對于聲阻抗原位測量技術的依賴,極大地提高了工程實施的效率.本文對這一方法進行詳細的參數討論,并在估算聲壓反射系數的基礎上,進一步對邊界聲阻抗加以重構,提出一種基于近場聲全息的聲阻抗測量方法.

選取脈動球為聲源對象,選取以有效流阻率和孔隙度隨深度的降低率作為參數的聲阻抗模型來模擬實際的物理邊界,對邊界聲阻抗和聲源直接輻射聲壓的重構進行了仿真,定量地分析參考傳聲器坐標、邊界有效流阻率和邊界孔隙度隨深度的降低率等參數對重構精度的影響.結果表明,本文提出的方法在所考察的頻率范圍內,能夠精確地重構出脈動球聲源的直接輻射聲壓場,并能以一定的精度重構出邊界的聲阻抗;合理地設置參考傳聲器坐標對于提高邊界聲阻抗和聲壓重構精度至關重要,一般應將參考傳聲器設置在距離阻抗邊界約 1/4 聲波波長處,以獲取高精度的重構結果;當參考傳聲器坐標設置不合理時,有效流阻率和孔隙度隨深度的降低率兩個邊界參數的增大,均會導致聲阻抗和聲壓重構精度的降低;而當參考傳聲器坐標合理設置時,兩個邊界參數的增大均會促進聲壓重構精度的提高.

本文的研究內容為半空間中聲源直接輻射聲場重構方法在實施過程中的參數設置提供了參考,也為邊界聲阻抗的原位測量開辟了新途徑.