陳宗青

（重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶 401331）

0 引言

運籌學既是一門應用數(shù)學專業(yè)必修課程，也是一門管理類的專業(yè)基礎課。運籌學是二十世紀三四十年代發(fā)展起來的一門新興交叉學科[1]，在新時代的背景下，運籌學的思想已經(jīng)滲透到了大數(shù)據(jù)和人工智能各個方面。

在傳統(tǒng)的運籌學教學過程中，發(fā)現(xiàn)存在下問題：教學內(nèi)容多而且雜，不同知識點之間的關(guān)系不是很大；學生覺得學習難度大、學習熱情低；難以培養(yǎng)學生獨立思考和解決問題的能力等問題。為了提高學生課程學習的主動性和學習效率，培養(yǎng)學生獨立分析解決實際問題的能力，改革“以教為中心”的傳統(tǒng)教學方式，我們將BOPPPS教學模型引入到《運籌學》的課堂教學中。

1 BOPPPS教學模型概述

BOPPPS模型是一個重在強調(diào)學生參與和反饋的全閉環(huán)教學過程模型[2]，該模型以教學目標的達成作為核心將課堂教學過程可以規(guī)劃分為6個階段，依次為：導入（Bridge-in）、學習目標（Objective）、前測（Pre-test）、參與式學習（Participatory Learning）、后測（Post-assessment）和總結(jié)（Summary）。

《運籌學》課程內(nèi)容有很強的應用背景，通過BOPPPS教學法激發(fā)學生學習興趣和主動性，有效進行課堂互動的學習目標[2]；同時，它也對原有傳統(tǒng)課堂形式較為單一，學生被動接受大量知識的模式提出新思路。

2 基于BOPPPS模型的“最短路問題”教學設計

教材清華大學出版社錢頌迪主編的《運籌學》第四版[3]8.3節(jié)課程“最短路問題”為例，按照BOPPPS教學法的模式，面向應用數(shù)學專業(yè)高年級本科生同學設計一堂45分鐘的課堂教學。

（1）導入（3分鐘）。課堂引入，借助諺語“條條大路通羅馬”：去羅馬的途徑不止一條，如何選擇最好的一個？這里的“最好”可以是路程最短、用時最短、花費最少，都可以歸結(jié)為“最短路問題”，這里的最短路是兩頂點之間權(quán)重之和最小的路徑。最短路問題作為一個經(jīng)常被用到的基本工具，可以解決生產(chǎn)生活中的許多問題，比如導航路線推薦，管道鋪設，工序流程安排等等。生活中常用的例子：手機導航中的道路推薦，比如百度地圖中推薦線路有“最快”“換乘最少”“收費最少”等等。今天要講的Dijkstra算法就是用來求解最短路問題的經(jīng)典算法。

（2）學習目標（2分鐘）。向?qū)W生描述學習目標：理解并能描述算法的思想和適用條件，并能使用該算法求解最短路問題。

（3）前測（3分鐘）。借助地圖的圖結(jié)構(gòu)建模過程通過提問的方式復習圖的相關(guān)概念，地點抽象頂點，單向車道抽象成有向邊。邊的權(quán)值代表兩點之間道路的長度。這個圖可以記為G(V,A,W)，其中是頂點集合，有向邊集合AV×V,W:A→R。

（4）參與式學習（20分鐘）。首先描述性的給出Dijkstra算法的基本思路：若序列{v1,…,vn-1,vn}是從v1到vn間的最短路，則序列{v1,…,vn-1,vn}必為從v1到vn-1的最短路。如圖1所示，假定 v1→v2→v3→v4是 v1到 v4的最短路，則 v1→v2→v3一定v1是v3到的最短路；如若不然，v1→v5→v3一定是到的最短路，則有v1→v5→v3→v4是v1到v4的更短的路，矛盾。

圖1

然后如何遞歸地使用這個思想逐步求解v1到各定點的最短路。舉個例子說明一下這個算法。

例：已知如圖2所示的單行線交通網(wǎng)，每弧旁的權(quán)重表示通過這條單行線所需要的費用?，F(xiàn)在某人要從v1出發(fā)，通過這個交通網(wǎng)到v7去，求總費用最小的旅行路線。

圖2

根據(jù)算法思想，從v1出發(fā)，逐步求出v1到各頂點的最短路，直至得到v1到v7的最短路。在算法執(zhí)行過程中對每個頂點vi使用雙標記法進行標記，分別記錄v1到達該頂點的路的上一個頂點vj和路的長度di；標號分為臨時標號和永久標號，永久標號表示求解了v1到該點的最短路。帶領學生完成開始的步驟：①作為初始對標號為[v1,0]，這個標號是永久標號；②v1出發(fā)到達的頂點是v2，v3，v4分別標號為[v1,6],[v1,3][v1,1],此時可以斷定v1到達哪個頂點的路是最短路？讓學生在思考中記錄v4的標號為永久標號。讓學生在嘗試中應用算法的思想完成后續(xù)的步驟，期間可能會發(fā)生更新標號的問題，讓學生在參與中解決困難。然后，總結(jié)歸納遇到的困難和解決方法，講解如何通過反向追蹤法借助永久標號得到最短路。最后，借助負權(quán)算法的失效的例子，給出算法的適用條件：所有權(quán)值非負。

（5）后測（10分鐘）。選擇一個賦權(quán)有向圖作為隨堂練習，做為進階選擇一個賦權(quán)無向圖作為作業(yè)。讓學生在復現(xiàn)算法步驟的同時靈活運用。

（6）總結(jié)（3分鐘）。總結(jié)算法的思想和執(zhí)行步驟，并歸納算法的優(yōu)缺點。通過算法的適用條件引出新課內(nèi)容：逐次逼近算法。

3 結(jié)語

在該節(jié)課中，筆者結(jié)合BOPPPS六步教學法講最短路問題的相關(guān)知識點，通過上述六個模塊的連貫構(gòu)成一個有效地完整課堂過程。實踐表明，該過程中充分考慮了教師教和學生學的特點，強調(diào)師生參與式互動學習的核心環(huán)節(jié)，教師借助 BOPPPS六步教學法可以高效的設計一堂生動有趣的課程，不僅提高了備課的效率，而且有效促進學生積極參與課堂學習，能充分激發(fā)和調(diào)動學生學習興趣，教學效果得到明顯改善。因而，這種教學模式對于運籌學課程來說都具有很強的適應性和可操作性，可大規(guī)模推廣應用。