鄭 曉，張國鋒

(北京航空航天大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100191)

量子不確定關(guān)系表明，即使我們知道了量子態(tài)的全部信息，也無法同時(shí)精確地預(yù)測任意兩個(gè)互不對易的可觀測量的測量結(jié)果. 如我們所知，可觀測量測量結(jié)果的不確定度可以用熵和方差來度量，所以量子不確定關(guān)系又可以分為基于熵的不確定關(guān)系[1-3]和基于方差的不確定關(guān)系[4-9]. 而噪聲-擾動不確定關(guān)系[10]研究的是測量噪聲與測量擾動之間的關(guān)系，對于兩個(gè)非對易的可觀測量，當(dāng)我們對其中一個(gè)可觀測量測量的時(shí)候，必然會有噪聲，同時(shí)也會對與其非對易的物理量帶來擾動，噪聲-擾動不確定關(guān)系表明當(dāng)測量噪聲很小的時(shí)候，測量所帶來的擾動就會很大，反之，如果擾動很小，那么噪聲必然會很大. 量子不確定關(guān)系和噪聲-擾動不確定關(guān)系都被廣泛的應(yīng)用于量子信息科學(xué)的每一分支中，比如，量子非克隆理論、量子密碼、糾纏探測、量子自旋壓縮、量子度量學(xué)和量子時(shí)鐘同步等.

本文主要回顧了量子不確定關(guān)系和噪聲-擾動不確定關(guān)系的發(fā)展歷程，以及兩者之間的主要區(qū)別，同時(shí)介紹了關(guān)于兩者的一些最新的研究進(jìn)展，希望能對量子不確定關(guān)系和噪聲-擾動不確定關(guān)系的研究有所啟示.

1 量子不確定關(guān)系

根據(jù)測量所涉及的子系統(tǒng)的個(gè)數(shù),不確定關(guān)系可以分為單體不確定關(guān)系和多體條件不確定關(guān)系，下面我們將分別介紹這兩種類型的不確定關(guān)系.

1.1 單體不確定關(guān)系

通常我們說的量子不確定關(guān)系指的都是單體不確定關(guān)系，它表明：對于一個(gè)量子態(tài)來說，即使人們知道了量子態(tài)的完整信息，也無法精確預(yù)測兩個(gè)彼此不對易可觀測量的測量結(jié)果.其原理可以用一個(gè)不確定關(guān)系游戲來描述：游戲的參與者有Alice和Bob兩個(gè)人，首先，Bob制備出量子態(tài)|φA〉 ，并將這個(gè)態(tài)發(fā)送給Alice，因?yàn)榱孔討B(tài)|φA〉是Bob制備出來的，所以Bob掌握了量子態(tài)|φA〉的所有信息；其次，Alice在兩個(gè)不對易的可觀測量R和S中選擇一個(gè)測量，并將她選擇的測量告訴Bob；最后，Alice對量子態(tài)|φA〉進(jìn)行測量，然后由Bob來猜測Alice的測量結(jié)果. 對Bob來說，如果Alice選擇的測量是R，對應(yīng)測量結(jié)果的不確定度可以用R的方差來表示，反之，如果Alice選擇的測量是S，那么對應(yīng)結(jié)果的不確定度可以用S的方差來度量. 不確定關(guān)系所表達(dá)的本質(zhì)就是這兩個(gè)非對易可觀測量不能同時(shí)精確測量.

從這個(gè)不確定關(guān)系游戲中可以看出，Alice每次只選擇一次測量，所以在游戲中并不存在對一個(gè)粒子進(jìn)行兩次測量. 整個(gè)量子態(tài)都是Bob制備的，所以Bob掌握了整個(gè)量子態(tài)的信息，也就是說在量子力學(xué)中即使掌握了系統(tǒng)量子態(tài)的全部信息，測量結(jié)果依然是不確定的，所以量子不確定關(guān)系是量子力學(xué)的內(nèi)在屬性.

除了方差之外，測量結(jié)果的不確定度還可以用熵來度量，所以不確定關(guān)系可以分為方差的不確定關(guān)系和熵的不確定關(guān)系. 其中比較有代表性的方差不確定關(guān)系有文獻(xiàn)[4,5]中構(gòu)造的乘積形式的不確定關(guān)系，和文獻(xiàn)[6,7]中推導(dǎo)出來的和的不確定關(guān)系，值得說明的是這兩個(gè)不確定關(guān)系都能夠被文獻(xiàn)[8]中構(gòu)造的一個(gè)基于方差的統(tǒng)一不確定關(guān)系理論體系所統(tǒng)一，對于熵的不確定關(guān)系來說，其中最具代表性的就是文獻(xiàn)[1]中構(gòu)造出的不確定關(guān)系.

1.2 多體不確定關(guān)系

量子單體不確定關(guān)系表明即使Bob掌握了粒子A的量子態(tài)的所有信息，不對易可觀測量的測量結(jié)果的不確定度依然不會被同時(shí)精確預(yù)測.于是人們就不斷去思考如何才能使Bob能夠精確地預(yù)測Alice的測量結(jié)果，即如何突破傳統(tǒng)的不確定關(guān)系. 在2010年，Berta等人通過引入一個(gè)與被測粒子A糾纏的量子存儲系統(tǒng)，構(gòu)造了一個(gè)量子存儲支撐下的熵的不確定關(guān)系[3]:

(1)

該不確定關(guān)系表明用Bob和Alice的系統(tǒng)之間的量子糾纏，可以大幅度提高Bob對Alice測量結(jié)果的預(yù)測精度，進(jìn)而突破傳統(tǒng)熵不確定關(guān)系的限制.

其實(shí)上面所介紹的量子存儲支撐下的熵的不確定關(guān)系中所引入的量子存儲系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)條件系統(tǒng)，因此，量子存儲支撐下的熵的不確定關(guān)系本質(zhì)上是基于兩體系統(tǒng)的條件熵的不確定關(guān)系.有了基于條件熵的不確定關(guān)系，人們自然也會去想構(gòu)造條件方差的不確定關(guān)系，但是由于傳統(tǒng)的條件方差定義還存在很多缺陷，至今還沒有有效的兩體和多體條件方差不確定關(guān)系.最近，Zheng成功的解決了這個(gè)問題，在文獻(xiàn)[9]中構(gòu)造了一個(gè)基于量子控制的多體條件方差的不確定關(guān)系:

(2)

表示條件期望的方差與條件期望方差的平均值，由于兩個(gè)量具有比較復(fù)雜的表達(dá)式，我們在這里就不展示了，詳細(xì)形式可以參考文獻(xiàn)[9].

上面的不確定關(guān)系其實(shí)也可以用圖1中的不確定關(guān)系游戲來描述[9]：(i) Bob制備出了N+1個(gè)粒子，分別標(biāo)記為，A，C1，C2，…，CN，然后將粒子A發(fā)送給Alice.(ii) Alice在一組彼此不對易的可觀測量{Q1，Q2，…，QK}中選擇1個(gè)測量，比如她選擇了Qk，并將她選擇的測量告訴Bob，這里需要說明的是在這一步中，Alice只選擇她將要進(jìn)行的測量，并不進(jìn)行真正的測量，真正的測量將在第(iv)步進(jìn)行.(iii) 根據(jù)Alice提供的信息，以及Bob所掌握的關(guān)于量子態(tài)的信息，Bob選擇1個(gè)合適的測量，記為Ok，然后分別對C1，C2，…，CN系統(tǒng)進(jìn)行Ok測量.(iv) Alice對粒子A進(jìn)行她在第2步就選定的測量，即Qk.

圖1 關(guān)于量子控制協(xié)助下的多體條件方差不確定關(guān)系原理演示圖[9]

Bob根據(jù)其所掌握的關(guān)于量子態(tài)的所有信息以及Alice通過經(jīng)典通信告訴他的信息所選擇的在C1，C2，…，CN進(jìn)行的測量Qk，主要是用于控制整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài)從而能夠盡可能的減少Alice對粒子A所進(jìn)行的局域測量結(jié)果的不確定度.因此，我們將粒子A稱為被測系統(tǒng)，將粒子C1，C2，…，CN稱為控制系統(tǒng).對應(yīng)地，我們稱作用在控制系統(tǒng)上的測量為量子控制[9].從掌握了量子控制系統(tǒng)的Bob的角度來說，當(dāng)被測系統(tǒng)A和控制系統(tǒng)之間存在糾纏的話，Alice在測量系統(tǒng)上進(jìn)行的測量的不確定度將會被減少，對應(yīng)的不確定關(guān)系即量子控制協(xié)助下的多體條件方差不確定關(guān)系式(2).

(3)

也就是說，從Bob的角度來看，在量子控制的協(xié)助下，傳統(tǒng)不確定關(guān)系的下限就被突破了. 此外，如果被測系統(tǒng)和控制系統(tǒng)之間沒有任何糾纏，然后我們就會發(fā)現(xiàn)在這種情況下，對控制系統(tǒng)的操作不會對測量系統(tǒng)產(chǎn)生任何影響，這樣的量子控制協(xié)助下多體條件方差不確定關(guān)系式(2)的下限將會變成Ltra，就是說不確定關(guān)系式(2)將會退化成傳統(tǒng)的不確定關(guān)系.

根據(jù)上面的討論，從量子控制協(xié)助下多體條件方差不確定關(guān)系式(2)中可以看出，由于量子控制的引入，我們可以利用量子資源-糾纏來突破傳統(tǒng)的不確定關(guān)系. 此外，我們還可以看出，相對于量子存儲支撐下的熵的不確定關(guān)系，新得到的不確定關(guān)系式(2)是適用于多體系統(tǒng)的不確定關(guān)系，即可以引入任意多個(gè)控制系統(tǒng).這個(gè)不確定關(guān)系不僅將不確定關(guān)系擴(kuò)展到了多體，深化了我們對不確定關(guān)系的認(rèn)知，還在多體糾纏探測中有非常重要的應(yīng)用，詳細(xì)的介紹可以參考文獻(xiàn)[9].

2 噪聲-擾動不確定關(guān)系

噪聲-擾動不確定關(guān)系最初是由海森伯根據(jù)γ輻射思想實(shí)驗(yàn)提出的，他認(rèn)為在對系統(tǒng)進(jìn)行位置測量的時(shí)候，測量的噪聲與測量對系統(tǒng)動量的擾動之間的乘積不會小于?/2.隨后這一噪聲-擾動不確定關(guān)系就被推廣至任意可觀測量[10]：

(4)

其中，A和B為兩個(gè)任意彼此不對易的可觀測量，A是用于探測可觀測量A的測量儀器，ψ表示系統(tǒng)所處的量子態(tài)(A,ψ,A)表示在用儀器A去探測可觀測量A時(shí)的噪聲，η(B,ψ,A)表示在用儀器A去探測可觀測量A時(shí)對可觀測量B的擾動. 因此，上面的噪聲-擾動不確定關(guān)系表示，當(dāng)用任一測量儀器對可觀測量A進(jìn)行測量時(shí)，如果A和B是彼此不對易的，那么測量A的噪聲與測量過程對B產(chǎn)生的擾動的乘積將大于一個(gè)與態(tài)相關(guān)的下限，通常表現(xiàn)為測量噪聲越小，那么測量對其非對易量所帶來的擾動就會越大，反之，如果測量對非對易量所帶來的擾動比較小，那么測量的噪聲就會很大.

為了更加深刻的理解噪聲-擾動不確定關(guān)系的物理意義，接下來將通過一個(gè)具體的測量的過程來介紹(A,ψ,A)和η(B,ψ,A)具體表達(dá)式[10]，先做如下假設(shè)：

1) 記被探測系統(tǒng)為S，系統(tǒng)S所處的量子態(tài)為|ψ〉，將探測儀器中探針系統(tǒng)記為P；

2) 假設(shè)整個(gè)探測過程歷時(shí)Δt，即探測從t時(shí)開始到t+Δt時(shí)結(jié)束，整個(gè)探測過程可以用幺正演化U描述，其中U是S?P復(fù)合系統(tǒng)中的幺正算符；

3) 假設(shè)系統(tǒng)P在t時(shí)刻的量子態(tài)為|φ〉，則可以得到整個(gè)復(fù)合系統(tǒng)在t時(shí)刻的量子態(tài)為|ψ〉?|φ〉；

4) 假設(shè)探測儀器A是通過P系統(tǒng)中的可觀測量M來探測S系統(tǒng)中可觀測量A的信息，即M是探測儀器最終顯示“讀數(shù)”的可觀測量.那么在海森伯表象下，用Ain和Min分別表示算符A和M在t時(shí)刻的狀態(tài)，用Aout和Mout分別表示算符A和M在t+Δt時(shí)刻的狀態(tài).于是可以得到Ain=A?I，Min=I?M，Aout=U?AinU，Mout=U?MinU；

5) 在海森伯表象下，記算符B在探測開始時(shí)的狀態(tài)為Bin，在探測結(jié)束時(shí)的狀態(tài)為Bout. 于是，可以得到噪聲和擾動的表達(dá)式為[10]

(A,ψ,A)=ψ?φ|(Mout-Ain)2|ψ?φ1/2

(5)

(B,ψ,A)=ψ?φ|(Bout-Bin)2|ψ?φ1/2

(6)

隨著對噪聲-擾動不確定關(guān)系的不斷深入研究，人們發(fā)現(xiàn)上面的噪聲-擾動不確定關(guān)系(4)并不具備普適性，在某些情況下該噪聲-擾動不確定關(guān)系可能被違背. 隨后，Ozawa推導(dǎo)出了一個(gè)更具有普適性的噪聲-擾動不確定關(guān)系[10]:

(7)

其中σ(A)和σ(B)分別表示可觀測量A和B的方差.

3 區(qū)別

根據(jù)前兩節(jié)的介紹我們可以看出，量子不確定關(guān)系和噪聲-擾動不確定關(guān)系是兩個(gè)不同的概念.量子不確定關(guān)系表明，對于任意量子態(tài)，即使人們掌握了量子態(tài)的所有信息，也不能精確預(yù)測兩個(gè)非對易可觀測量的測量結(jié)果.這里的不能同時(shí)精確預(yù)測可以理解為，人們通過相同的手段制備大量量子態(tài)相同的系統(tǒng)[6]，然后將這些系統(tǒng)分為兩組，其中一組測量可觀測量A，另外一組測量可觀測量B，那么測量結(jié)果的方差將遵循不確定關(guān)系，即如果A和B不對易，那么它們的方差不能很小，人們不能同時(shí)精確預(yù)測非對易的A和B的測量結(jié)果.可見，量子不確定關(guān)系并不涉及一個(gè)測量量對另外一個(gè)測量量的影響，也不涉及對一個(gè)量子系統(tǒng)進(jìn)行聯(lián)合測量，它們是對相同態(tài)進(jìn)行測量，但是并不是一個(gè)系統(tǒng)，其實(shí)不確定關(guān)系本質(zhì)上可以理解為非對易量沒有共同本征態(tài)[6].

噪聲-擾動不確定關(guān)系研究的是測量噪聲和測量對其非對易可觀測量帶來擾動之間的關(guān)系.當(dāng)人們對系統(tǒng)的某個(gè)可觀測量進(jìn)行測量的時(shí)候，測量會對系統(tǒng)帶來擾動，這個(gè)擾動必然會體現(xiàn)在其非對易可觀測量對應(yīng)的測量結(jié)果上，噪聲-擾動不確定關(guān)系表明如果噪聲小則擾動大，反之如果擾動小則噪聲大.可以看出噪聲-擾動不確定關(guān)系研究的是在一個(gè)量子系統(tǒng)上一個(gè)測量對其非對易量的影響，并不會涉及多個(gè)量子系統(tǒng)，其實(shí)噪聲-擾動不確定關(guān)系本質(zhì)上可以理解為不能對一個(gè)量子系統(tǒng)進(jìn)行兩個(gè)非對易的量的聯(lián)合測量[6]. 需要說明的是，雖然量子不確定關(guān)系和噪聲-擾動不確定關(guān)系是兩個(gè)不同的概念，但是它們都是量子力學(xué)固有的屬性，是量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)最本質(zhì)的區(qū)別之一.

4 小結(jié)與展望

在本文中，我們主要介紹和討論了量子不確定關(guān)系和噪聲-擾動不確定關(guān)系的異同點(diǎn).量子不確定關(guān)系表明兩個(gè)非對易可觀測量的方差不能被同時(shí)精確測量，主要可以分為基于方差的不確定關(guān)系和基于熵的不確定關(guān)系，其中，量子存儲支撐下的熵的不確定關(guān)系和量子控制協(xié)助下的多體條件方差不確定關(guān)系表明在糾纏的作用下傳統(tǒng)量子不確定關(guān)系的下限可以被突破.噪聲-擾動不確定關(guān)系研究的是測量中的噪聲和測量對其非對易物理量的擾動之間的關(guān)系，與量子不確定關(guān)系不同，噪聲-擾動不確定關(guān)系沒有那么多形式，比較具有代表性的就是Ozawa在文獻(xiàn)[10]中構(gòu)造的噪聲-擾動不確定關(guān)系.根據(jù)這些介紹我們可以發(fā)現(xiàn)量子不確定關(guān)系和噪聲-擾動不確定關(guān)系是兩個(gè)不同的概念，希望這些討論對兩者以后的發(fā)展會有所幫助.