李一杰，張成園，石 薇，康曉珅，龔 麗，許廣智

(遼寧大學 物理學院，遼寧 沈陽 110036)

狹義相對論中，洛倫茲變換決定不同慣性參考系間時空坐標的變換關系.取閔氏時空坐標，沿x方向相對運動的S′與S系間的洛倫茲變換有如下形式

(1)

此時，洛倫茲變換矩陣Λ是正交對稱的實矩陣.引入參考系間的相對快度η后，洛倫茲矩陣寫成下式:

(2)

式中，η與參考系相對運動速度v的關系為

(3)

由線性代數(shù)知識，對稱實矩陣能夠對角化，得到其主值. 洛倫茲變換矩陣對角化及其意義是什么，少有教材、文獻討論，下文內容由此展開.

1 洛倫茲矩陣的對角化

將對稱矩陣對角化，需要先解矩陣的特征方程，以得到相似變換正交矩陣.解洛倫茲變換矩陣的特征方程[1]，有

Λa=λa

(4)

求出特征值λ及特征矢量a，結果在表(1)中給出.由特征方程的含義，可見式(4)表示在矩陣Λ作用下，矢量a方向不變，大小縮放λ倍.所以，表(1)結果表明參考系變換下有4個時空方向上四維矢量的方向保持不變，a1、a2、a3、a4分別是這4個時空方向上的單位矢量.(這里注意，矢量a3和a4的大小實際為0.)

a1、a2分別對應沿y、z空間軸的類空矢量，參考系變換下，沿y(z)的矢量仍然沿y(z)軸.a1、a2對應的特征值為1，所以矢量大小也保持不變，即垂直于參考系相對運動方向的空間距離大小不變.

為了理解a3、a4的意義，繪制xOct平面上的時空圖(圖1)[2].圖中選取S系作基準，ct及x軸分別畫成豎直及水平.OB、OA分別是沿x軸正、反方向運動的真空中光子世界線.S′系坐標軸ct′及x′分居OB兩側且與之夾角相等.

圖1 時空圖中兩慣性參考系下的真空光子時空坐標

時空圖采用閔氏度規(guī)而非歐氏度規(guī)，ct′(x′)軸由ct(x)軸經式(1)的洛倫茲偽轉動(正交變換)得到，致使ct′及x′看似非正交實則正交[3].ct′(x′)與ct(x)軸間的夾角即為相對快度η.作AC、BD平行于x′軸，則它們垂直于OC，有∠CAF=∠DBF=η.A、B兩點在兩參考系下的時空坐標分別寫為(這里略去y、z坐標)

(5)

(6)

可見a3、a4對應xOct面上的類光單位矢量，即平行于OA、OB的單位矢量.參考系變換下，類光矢量依然是類光的.但不同參考系下，非xOct面上的類光矢量(對應真空中與x軸有一定夾角傳播的光或電磁波)，矢量方向改變，這表現(xiàn)為真空中非x軸方向的光或電磁波空間中傳播方向改變，即是光/電磁波的光行差現(xiàn)象.而xOct面上類光矢量的方向不變[式(5)和式(6)]，表現(xiàn)為沿x軸(即參考系相對運動方向)的光/電磁波依然沿x軸.

注意到△BDF、△OEF是閔氏時空中直角三角形，利用時空圖中的幾何關系[2]，得到

(7)

類似地，△ACF、△OEF是閔氏時空中直角三角形，有

(8)

容易驗證a1、a2、a3、a4線性無關，這樣就能以它們所在矢量方向為軸建立時空坐標系.為了更加符合相對論的標號習慣，以下討論中，重新定義基矢(e0≡a4,e1≡a3,e2≡a1,e3≡a2)，則任一四維時空矢量展開為cTe0+Xe1+Ye2+Ze3，(cT,X,Y,Z)為新坐標系中的各坐標分量.此坐標系稱為光錐坐標系，在粒子物理中有廣泛應用[4].兩條光子世界線分別充當時間軸和一條空間軸，相當于這里構建了處于光速的慣性觀者參考系，所以光錐坐標系是光子的共動系.另外注意到，e2、e3相互正交且與e0、e1正交，但e0與e1非正交，有(e0)Tge1≠0,其中g=diag(1,-1,-1,-1)是閔氏時空度規(guī).所以光錐坐標系不是正交坐標系，而是四維時空斜交坐標系，其度規(guī)也不同于閔氏度規(guī).

此時，參考系變換下的矢量變換規(guī)則變?yōu)?/p>

(9)

其中，ΛLC由下面的相似變換對洛倫茲變換矩陣進行對角化得到

ΛLC=P-1ΛP=diag(e-η,eη,1,1)

(10)

相似變換正交矩陣P由下式給出

P=PT=P-1=(e0,e1,e2,e3)

(11)

ΛLC的對角元對應表1中洛倫茲變換矩陣的特征值.由此可見，洛倫茲變換矩陣的對角化即是從一般慣性系變換到光錐坐標系的過程，對角元(即洛倫茲變換矩陣的主值)對應某時空點在參考系變換下各光錐坐標分量發(fā)生縮放的倍數(shù).

表1 洛倫茲矩陣的特征值及特征矢量

那么，光錐坐標(cT,X,Y,Z)與一般慣性系時空坐標(ct,x,y,z)有怎樣的對應關系呢？首先，易見Y、Z與y、z分別對應相等.再由

(ct,x,y,z)T=cTe0+Xe1+Ye2+Ze3=

cTa4+Xa3+Ya1+Za2

(12)

將一般慣性系中ai,i=1,2,3,4的形式(即表1結果)代入，即可求得.有

(13)

解得

(14)

定義某時空點p光錐坐標系下X方向速率為Vp，則求得它與一般慣性系中三維速率vp關系為

(15)

2 結語

本文在四維閔氏時空中，討論了洛倫茲變換矩陣對角化的意義. 洛倫茲變換矩陣的對角化是將一般慣性參考系變換到光錐坐標系的過程. 如果采用復四維歐氏空間，洛倫茲變換矩陣是包含虛數(shù)矩陣元的厄米矩陣，經過幺正變換后的結果依然得到式(10). 類比量子力學，光錐坐標系則相當于洛倫茲變換矩陣的自身表象.

本文內容可以作為狹義相對論課程的擴展知識引入課堂，幫助學生加深對洛倫茲變換及相對論時空特性的理解.文中推導作為應用閔氏時空圖定量分析[2]的一個簡單例子，能使得學生更好地認識時空圖法.