竇本旺 馬 杰

(安徽省宿州學(xué)院附屬實驗中學(xué),234099)

北師大版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊第二章“函數(shù)”中的第一節(jié)“生活中的變量關(guān)系”是“函數(shù)”一章的起始課,具有統(tǒng)領(lǐng)本章的作用.這節(jié)課內(nèi)容以復(fù)習(xí)為主,僅有“分段函數(shù)”一個新知識點.因此除了抓住教學(xué)中的重難點之外,還可借用互聯(lián)網(wǎng)資源,有效用好教室中的希沃白板,豐富課堂內(nèi)容,提升數(shù)學(xué)理解能力,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.本文對此進行探究.

一、教學(xué)設(shè)計

課前準(zhǔn)備用希沃課件循環(huán)播放圖片,內(nèi)容包括歐拉、萊布尼茨、李善蘭三位數(shù)學(xué)家的簡介和重要成就.

設(shè)計意圖營造數(shù)學(xué)課堂氛圍,這三位數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有很大的成就.歐拉、萊布尼茨對現(xiàn)代函數(shù)的定義發(fā)展具有重要的推動作用,我國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的《代數(shù)學(xué)》,促進了中國近代數(shù)學(xué)的發(fā)展.

1.創(chuàng)設(shè)情境,回顧概念

利用希沃白板播放《烏鴉喝水》的視頻.

問題設(shè)計生活中經(jīng)常見到一些相互關(guān)聯(lián)的變量,這是小學(xué)時我們學(xué)過烏鴉喝水的故事,你能從這故事中,找出哪些是常量?哪些是變量嗎?你是如何判斷的?

預(yù)設(shè)回答常量有瓶子的體積、高度、瓶口的大小等,變量有水的高度、石子的數(shù)量等.在變化過程中數(shù)值始終不變的量叫做常量,數(shù)值發(fā)生變化的量叫變量,變量又可以分為自變量和因變量.

設(shè)計意圖從熟悉的故事出發(fā),建立數(shù)學(xué)場景,復(fù)習(xí)常量、變量、依賴關(guān)系,引入新課.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、分析生活中的現(xiàn)象.讓學(xué)生知道在一個變化過程中,哪些數(shù)值改變,哪些數(shù)值不變,以此可以分辨出來常量、變量、依賴關(guān)系等.

2.展示材料,深化概念

例12018年12月,我國高速公路總里程數(shù)為14萬公里,位居全球第一,近兩年里程數(shù)仍在遞增.截止2020年年底,我國的公路總里程為519.81萬公里,其中高速公路里程為16.1萬公里,極大地促進了我國經(jīng)濟的發(fā)展.為了安全和節(jié)約空間,高速公路上常見的加油站經(jīng)常在地下建造圓柱體儲油罐儲存汽油.如圖1，已知該儲油罐的長度d，截面半徑r是常量,油面高度h,油面寬度w，儲油量V是變量.

問題設(shè)計儲油量V與油面高度h有依賴關(guān)系嗎?與油面寬度w呢?V與h和V與w之間的依賴關(guān)系有不同之處嗎?

預(yù)設(shè)回答儲油量V與油面高度h存在著依賴關(guān)系,也與油面寬度w存在著依賴關(guān)系.對于油面高度h的每一個取值,都有唯一的儲油量V和它對應(yīng).但是,對于一個油面寬度w的值,卻對應(yīng)著兩個不同的儲油量V.

例2自2008年京津城際列車開通運營以來,高速鐵路在中國大陸迅猛發(fā)展,和諧號、復(fù)興號等已成為一張靚麗的中國名片.截止2017年年底,中國高鐵運營里程突破25 000 km.現(xiàn)正建設(shè)以八橫八縱為骨架的高速鐵路網(wǎng).圖2表示的是中國高鐵年運營里程的變化.

問題設(shè)計根據(jù)圖2,高鐵運營里程與年份之間存在著怎樣的依賴關(guān)系?從圖2可以看出增長最多的是哪一年嗎?

預(yù)設(shè)回答隨著時間的變化,高鐵運營里程也在變化,它與年份存在著依賴關(guān)系,從2008年到2017年,高鐵運營里程是不斷增加的,與前一年相比,2014年增長得最多.

設(shè)計意圖通過這兩個材料,讓學(xué)生回顧兩個變量之間的依賴關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的讀圖、識圖的能力,為理解函數(shù)關(guān)系創(chuàng)造條件.

問題設(shè)計你能回憶出初中階段函數(shù)的定義嗎?根據(jù)函數(shù)的概念，你能指出例1與例2中,哪些依賴關(guān)系是函數(shù)關(guān)系?為什么?

預(yù)設(shè)回答有兩個變量x和y,對于變量x的每一個值,變量y都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么y就是x的函數(shù),其中x是自變量,y是因變量.

在例1中,由于油面高度h的每一個取值,都有唯一的儲油量V和它對應(yīng),因此儲油量V是油面高度h的函數(shù).而取一個油面寬度w的值,對應(yīng)著兩個不同的儲油量V,所以儲油量V不是油面寬度w的函數(shù).同理,在例2中,高鐵運營里程是年份時間的函數(shù).

設(shè)計意圖通過追問,讓學(xué)生體會依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別,從而更好地把握函數(shù)概念的本質(zhì).

小結(jié)函數(shù)概念中需注意:凡是要確定兩個變量具有函數(shù)關(guān)系,就要判斷“對于變量x的每一個值, 變量y都有唯一確定的值和它對應(yīng)”.若兩個變量之間存在依賴關(guān)系,且對于其中一個變量的每一個值都有另一個變量的唯一值和它對應(yīng),則這兩個變量之間具有函數(shù)關(guān)系,所以,依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系,但函數(shù)關(guān)系一定是依賴關(guān)系;研究函數(shù)關(guān)系時,通常要指明自變量和因變量,因為兩者交換位置后不一定還存在函數(shù)關(guān)系.

3.閱讀材料,理解本質(zhì)

例3彈簧的伸長量x與彈力y滿足函數(shù)關(guān)系y=kx,其中k為勁度系數(shù).

例4表1記錄了幾個不同氣壓下水的沸點:

表1

例5綠化可以改變小環(huán)境氣候.某市有甲、乙兩個氣溫觀測點,觀測點甲的綠化優(yōu)于觀測點乙,圖3是這兩個觀測點某一天的氣溫曲線圖.為了方便比較,將兩條曲線畫在同一直角坐標(biāo)系中.

例6某地電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電,采取階梯電價,即按月用電量分段計費辦法.居民每月應(yīng)繳電費y(單位:元)與用電量x(單位:kW/h)的關(guān)系是

函數(shù)的圖象,如圖4.

預(yù)設(shè)回答在例3中,對于變量“伸長量”的每一個值,變量“彈力”都有唯一確定的值和它對應(yīng),彈力y是伸長量x的函數(shù).在例4中,對于變量“氣壓”的每一個值,變量“沸點”都有唯一確定的值和它對應(yīng),沸點是氣壓的函數(shù).在例5中,每一條曲線都表示了一個函數(shù)關(guān)系,反映的都是對于“時間”的每一個值,都有唯一確定的“氣溫”值和它對應(yīng).因此,每一條曲線都表示“氣溫”值是“時間”的函數(shù).在例6中,對于變量“用電量(x)”的每一個值,變量“應(yīng)繳電費(y)”都有唯一的值與之對應(yīng),所以應(yīng)繳電費是用電量的函數(shù).

例3是用解析式表示函數(shù);例4是用列表法表示函數(shù);例5是用圖象法表示函數(shù);例6既用了解析式又用到圖象法表示函數(shù),其中例6的解析式是分段函數(shù).

設(shè)計意圖初中數(shù)學(xué)教材中已學(xué)習(xí)過函數(shù)的三種表示方法,教材故意設(shè)計包含三種不同的表示方法的背景材料,用直觀的內(nèi)容幫助學(xué)生回憶函數(shù)知識,例6的設(shè)置引出分段函數(shù)的概念,也比較自然,為接下來的學(xué)習(xí)作充分的鋪墊.

4.課堂總結(jié),整體把握

利用希沃白板展示思維導(dǎo)圖(如圖5).

設(shè)計意圖讓學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容有一個整體的認識,培養(yǎng)學(xué)生利用思維導(dǎo)圖領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識的習(xí)慣,提升學(xué)生的邏輯思維能力.

5.布置作業(yè),強基固本

(1)習(xí)題2-1A組第1,2,3題;

(2)拓展作業(yè):從網(wǎng)絡(luò)上或圖書館,學(xué)習(xí)函數(shù)的起源、發(fā)展歷程方面的資料.

二、教學(xué)思考

1.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界

“數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象”[1].本節(jié)所有例題中的材料背景,都與實際問題有關(guān),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活密切關(guān)聯(lián)性,說明生活處處皆數(shù)學(xué)，只要有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的眼睛,就能從實際問題中,抽象出依賴關(guān)系、函數(shù)關(guān)系,特別是在內(nèi)容安排上“蘊知識于無形”,自然地呈現(xiàn)出函數(shù)的三種表達方法,促進對數(shù)學(xué)概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.內(nèi)容的安排符合知識的發(fā)展脈絡(luò)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心概念之一,德國數(shù)學(xué)家克萊因曾說過:“函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂”.函數(shù)的概念,也是學(xué)生進入高中階段遇到的第一個較難理解的知識點,因此教材為了化解難點,特意安排本節(jié)內(nèi)容,這也符合函數(shù)自身的發(fā)展歷史,由18世紀(jì)中期的“變量依賴”說,到19世紀(jì)的“變量對應(yīng)”說,再到20世紀(jì)后演變成“集合對應(yīng)”說[2].這種安排促進學(xué)生對函數(shù)知識的建構(gòu),符合螺旋上升獲得知識的規(guī)律.

3.希沃白板的運用提升教學(xué)效率

在電子技術(shù)的運用上,希沃課堂里面資料豐富,包含圖片、音頻、視頻等素材,情境優(yōu)美,功能強大,既能擴大課堂容量,又能拓寬數(shù)學(xué)教學(xué)空間.現(xiàn)代信息技術(shù)的有效運用,對積極調(diào)動學(xué)生探索知識的欲望,激發(fā)學(xué)生的深度思考,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、創(chuàng)造性,深化函數(shù)概念的理解提供技術(shù)支持.

4.材料的設(shè)置激發(fā)學(xué)生的民族自豪感

例題材料的背景中有高速公路建設(shè)、高鐵的風(fēng)采、氣溫測量和電力分配的智能化,既能從數(shù)學(xué)的角度理解函數(shù)概念,又展現(xiàn)社會主義建設(shè)的偉大成就,增強學(xué)生的民族自豪感,對堅定中國特色社會主義的“道路自信”有著重大意義.

“單薄”的教學(xué)內(nèi)容如何上出“豐滿”的教學(xué)效果？這就需要有把握課程的全局視野.優(yōu)化課程結(jié)構(gòu),精選數(shù)學(xué)內(nèi)容,突出教學(xué)主線,既要從知識的發(fā)展脈絡(luò)講解,又要從學(xué)生的發(fā)展去設(shè)計教學(xué),樹立“學(xué)生為本”的理念,只有充分理解教材背后的設(shè)計意圖,才能取得良好的教學(xué)效果.“萬山磅礴,必有主峰”.本節(jié)的“主峰”就是利用詳實的材料,凸顯函數(shù)的內(nèi)容脈絡(luò),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力,這也符合章建躍教授所講的“四個理解”即理解教材、理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)的教學(xué)理念.